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Vidéo question :: Calcul de l’angle de lancement d’un projectile Physique • Première année secondaire

Un ballon a été lancé du sol selon un angle 𝜃 avec un vecteur vitesse 𝑣. Le ballon a atteint une hauteur maximale de 8 m et une portée maximale de 15 m. Calculez la valeur de 𝜃. Soit 𝑔 = 10 m / s².

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Transcription de la vidéo

Un ballon a été lancée du sol selon un angle 𝜃 avec un vecteur vitesse 𝑣. Le ballon a atteint une hauteur maximale de huit mètres et une portée maximale de 15 mètres. Calculez la valeur de 𝜃. Soit 𝑔 égal à 10 mètres par seconde au carré. (A) 82,4 degrés, (B) 64,9 degrés, (C) 46,8 degrés et (D) 28,1 degrés.

Dans cette question, on nous a dit qu’un ballon est lancée du sol selon un angle 𝜃 par rapport à l’horizontale. Nous savons également que la hauteur maximale de la trajectoire du ballon est de huit mètres et que la distance horizontale entre le point où le ballon a été lancé et le point où il atteint à nouveau le sol est de 15 mètres. Sur la base de ces informations, nous devons calculer l’angle 𝜃 entre l’horizontale et la direction du vecteur vitesse initiale du ballon 𝑣.

Pour calculer 𝜃, commençons par appeler 𝑇 majuscule le temps pour compléter toute sa trajectoire. Puisque nous allons ignorer toute résistance de l’air agissant sur le ballon, nous pouvons supposer que la trajectoire est symétrique par rapport au milieu de la trajectoire et que le ballon se trouve à sa hauteur maximale, exactement à mi-chemin de son voyage, à l’instant 𝑇 majuscule sur deux.

Ensuite, il convient de noter que l’accélération de pesanteur est de 10 mètres par seconde au carré. Cela n’agira que dans la direction verticale, puisque la force de gravité sur le ballon agit vers le sol. En d’autres termes, si la direction horizontale est étiquetée 𝑥 et la direction verticale est étiquetée 𝑦, on peut dire que l’accélération dans la direction 𝑦, 𝑎 indice 𝑦, est égale à moins 10 mètres par seconde au carré, ou moins 𝑔 telle qu’elle a été donnée dans la question.

La raison pour laquelle cette grandeur est négative est que nous avons implicitement supposé le mouvement vers le haut comme positif lorsque nous étiquetons la hauteur maximale du ballon comme plus huit mètres. Le ballon a bougé vers le haut jusqu’à atteindre un déplacement vertical maximal de huit mètres, donc une accélération vers le bas aura une valeur négative. On nous a également dit dans la question que le ballon est lancé avec un vecteur vitesse 𝑣. Nous pouvons trouver les composantes horizontale et verticale de ce vecteur vitesse, de sorte que nous pouvons traiter le mouvement horizontal et vertical du ballon séparément.

Rappelons que la vitesse horizontale initiale de la balle, que nous appellerons 𝑣 indice 𝑥, est égale à 𝑣 multipliée par le cosinus de l’angle 𝜃. De même, la composante verticale initiale du vecteur vitesse, 𝑣 indice 𝑦, est égale à 𝑣 multipliée par le sinus de 𝜃. La raison pour laquelle nous faisons cela est parce que nous pouvons étudier le mouvement horizontal et vertical de la balle individuellement, ce qui rendra nos calculs plus simples à traiter.

Par exemple, rappelons que pour un objet se déplaçant à un vecteur vitesse constante, le vecteur vitesse de cet objet est égale au déplacement de l’objet divisé par le temps nécessaire pour parcourir ce déplacement. Nous pouvons appliquer cette équation au mouvement horizontal de la balle car dans cette direction, la vitesse de la balle est en effet constante.

Ainsi, en libérant de l’espace pour travailler, nous constatons que la vitesse horizontale de notre balle, 𝑣 fois le cosinus de 𝜃, est égale au déplacement horizontal 𝑠 indice 𝑥 divisé par le temps nécessaire pour déplacer cette distance, que nous avons appelée 𝑇 majuscule. Nous connaissons la valeur de 𝑠 indice 𝑥 - c’est 15 mètres - mais nous ne la remplacerons pas dans l’équation tout de suite.

Tout d’abord, appliquons les équations cinématiques au mouvement horizontal et vertical de la balle. Rappelons que les équations cinématiques ne peuvent être appliquées qu’aux objets se déplaçant avec une accélération constante. Le ballon correspond à ce critère, car il a une accélération constante vers le bas due à la pesanteur. La première équation cinématique que nous rappelons est celle-ci. La vitesse finale d’un objet, 𝑣 indice f, est égale à la vitesse initiale, 𝑣 indice i, plus l’accélération, 𝑎, multipliée par le temps pendant lequel il se déplace 𝑡.

Nous pouvons l’appliquer au mouvement vertical du ballon entre le moment où est lancé et où il atteint sa hauteur maximale. La vitesse verticale finale de la balle dans ce scénario est nulle. Lorsque le ballon est à sa hauteur maximale, elle doit avoir exactement une vitesse verticale nulle. Parce que si ce n’était pas vrai, alors il continuerait soit vers le haut, ou il n’aurait pas encore arrivé à la hauteur maximale, et donc la hauteur maximale aurait autre valeur. Ainsi, 𝑣 indice f 𝑦 est égal à la vitesse verticale initiale, qui est 𝑣 fois le sinus de 𝜃, plus l’accélération, qui est moins 𝑔, multipliée par le temps pendant lequel le ballon se déplace.

Puisque nous n’étudions le mouvement que jusqu’à ce que la balle atteigne la hauteur maximale, la durée de ce parcours est 𝑇 majuscule divisé par deux, la moitié du temps pour le mouvement entier. Nous pouvons réorganiser ces deux équations que nous avons trouvées pour isoler 𝑣 dans les deux cas. Pour cette équation, où 𝑣 indice f 𝑦 est égal à zéro, nous trouvons que 𝑣 est égal à 𝑔 fois 𝑇 majuscule divisé par deux fois le sinus de 𝜃. Et la première équation peut être réarrangée pour devenir 𝑣 est égal à 𝑠 indice 𝑥 divisé par 𝑇 majuscule fois le coinus de 𝜃.

Ensuite, nous pouvons identifier les deux membres à droite de ces équations car elles sont toutes les deux égales à 𝑣. Lorsque nous faisons cela, nous pouvons réorganiser l’équation une fois de plus. Ainsi, notre équation devient 𝑠 indice 𝑥 multiplié par le sinus de 𝜃 divisé par le cosinus de 𝜃 est égal à 𝑔 fois 𝑇 majuscule au carré, le tout divisé par deux. La raison pour laquelle nous réorganisons comme ça est parce que le sinus de 𝜃 divisé par le cosinus 𝜃 est égal à la tangente de 𝜃.

Ensuite, nous pouvons appliquer une autre équation cinématique au mouvement vertical de la balle. Cette équation nous dit que le déplacement d’un objet est égal à la vitesse initiale multipliée par le temps de déplacement plus un demi fois l’accélération fois le temps au carré.

Pour le ballon qui tombe de sa hauteur maximale vers le sol, le déplacement vertical est moins 𝑠 indice 𝑦, la vitesse verticale initiale est nulle, l’accélération est moins 𝑔 et le temps est 𝑇 majuscule divisé par deux. En éliminant le terme qui est nul, vu que la vitesse initiale est zéro, et en annulant les signes négatifs sur les deux autres termes, nous constatons que 𝑠 indice 𝑦 est égal à un demi de 𝑔 fois 𝑇 majuscule au carré sur quatre.

Une autre façon d’écrire la partie droite de cette équation est un quart fois un demi multiplié par 𝑔 fois 𝑇 majuscule au carré. La raison pour laquelle nous faisons cela est que l’équation précédente a également un demi 𝑔 fois 𝑇 majuscule au carré dans son côté droit. Cela signifie que nous pouvons égaler les deux membres de gauche compte tenu de ce facteur d’un quart. Nous trouvons que 𝑠 indice 𝑦 est égal à un quart multiplié par 𝑠 indice 𝑥 fois la tangente de 𝜃.

À ce stade, nous connaissons toutes les grandeurs de cette équation, à l’exception de 𝜃, donc nous pouvons réorganiser l’équation pour l’isoler. Nous trouvons que tangente de 𝜃 est égal à quatre fois 𝑠 indice 𝑦 divisé par 𝑠 indice 𝑥. Donc, 𝜃 est égal à l’arc tangente de cette grandeur. Nous substituons 𝑠 indice 𝑦 est égal à huit mètres et 𝑠 indice 𝑥 est égal à 15 mètres. Les unités de mètres dans le numérateur et le dénominateur s’annulent, ce qui est génial car nous avons besoin d’un nombre sans unité pour pouvoir en trouver l’arc tangente. Lorsque nous évaluons cette expression, nous trouvons que 𝜃 est égal à 64,88 et cetera. À une décimale près, cela devient 64,9 degrés.

En regardant en arrière nos options de réponse, nous voyons que cela correspond à l’option (B). Par conséquent, nous avons constaté que l’angle entre le sol et la vitesse initiale du ballon est de 64,9 degrés.

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