Transcription de la vidéo
Déterminez la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 sachant que 𝑥 est égal à six fois le logarithme népérien de 𝑛 à la puissance cinq et 𝑦 est égal à moins huit fois 𝑛 au cube.
Dans cette question, on nous donne 𝑥 et 𝑦 définis de manière paramétrique. Et nous devons utiliser ceci pour déterminer la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Et puisque 𝑥 est une fonction de 𝑛 et 𝑦 est également une fonction de 𝑛, on doit faire cela en utilisant la dérivation paramétrique. Pour faire cela, nous allons commencer par rappeler comment trouver la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥, lorsque 𝑦 et 𝑥 sont donnés de manière paramétrique. Nous savons que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à la dérivée par rapport à 𝑛 de d𝑦 par d𝑥 divisé par la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑛.
Par conséquent, pour trouver cette dérivée, nous devons chercher la dérivée d𝑦 par d𝑥 par rapport à 𝑛 puis diviser par la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑛. Cependant, il y a un petit problème. Nous ne connaissons pas la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 puisque 𝑦 est une fonction de 𝑛 et 𝑥 est une fonction de 𝑛. On doit donc trouver cela en utilisant la règle de la dérivation en chaîne. Et pour rendre cela plus facile, nous allons rappeler une légère variation de la règle de la dérivation en chaîne qui dit que d𝑦 par d𝑥 sera égal à la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑛 divisé par la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑛.
Nous pouvons maintenant utiliser toutes ces informations pour trouver la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Commençons par trouver la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥. Pour faire cela, nous devons trouver d𝑦 par d𝑛 et d𝑥 par d𝑛. Commençons par trouver la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑛. C’est la dérivée de moins huit 𝑛 au cube par rapport à 𝑛. Comme il s’agit d’un polynôme, nous pouvons le faire en utilisant la propriété de dérivation d’une puissance. Nous multiplions par l’exposant 𝑛 puis réduisons cet exposant de un. Nous obtenons moins huit multiplié par trois fois 𝑛 au carré, ce qui est moins 24 𝑛 au carré.
Nous voulons maintenant trouver une expression pour d𝑥 par d𝑛. Nous devons chercher la dérivée de six fois le logarithme népérien de 𝑛 à la puissance cinq par rapport à 𝑛. Et nous pourrions être tentés de le faire en utilisant la règle de la dérivation en chaîne puisqu’il s’agit de la composition de deux fonctions. Cependant, nous pouvons simplifier cela en utilisant la propriété des puissances pour les logarithmes. Nous élevons le logarithme népérien de 𝑛 à la puissance cinq. Et la propriété des puissances pour les logarithmes nous dit que si nous avons le logarithme d’une fonction ayant une puissance, nous pouvons le multiplier par l’exposant. Et nous savons que six fois cinq est égal à 30. Par conséquent, nous pouvons réécrire ceci comme la dérivée de 30 fois le logarithme népérien de 𝑛 par rapport à 𝑛.
Nous pouvons alors directement évaluer cela en rappelant que la dérivée de la fonction logarithme népérien est la fonction inverse. Ainsi, la dérivée de 30 fois le logarithme népérien de 𝑛 par rapport à 𝑛 est 30 sur 𝑛. Nous pouvons maintenant trouver d𝑦 par d𝑥 en prenant le quotient de ces deux expressions. Cela nous donne la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égal à moins 24𝑛 au carré divisé par 30 sur 𝑛. Et nous pouvons simplifier cela. Premièrement, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par 𝑛. Cela nous donne moins 24𝑛 au cube divisé par 30.
Ensuite, nous pouvons noter que moins 24 et 30 ont un facteur commun de six. Il s’élimine pour donner moins quatre sur cinq, donc d𝑦 par d𝑥 est égal à moins quatre cinquièmes 𝑛 au cube. Maintenant que nous avons une expression pour d𝑦 par d𝑥 et d𝑥 par d𝑛, nous pouvons utiliser notre formule pour trouver une expression pour d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. En substituant les expressions pour d𝑦 par d𝑥 et d𝑥 par d𝑛 dans cette formule, nous obtenons d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à la dérivée de moins quatre cinquièmes 𝑛 au cube par rapport à 𝑛 divisé par 30 sur 𝑛.
Commençons par simplifier le numérateur en évaluant la dérivée. Encore une fois, c’est la dérivée d’un polynôme. Nous allons donc le faire en utilisant la propriété de la dérivation d’une puissance. Nous multiplions par l’exposant 𝑛, qui est trois, et soustrayons un de cet exposant. Cela nous donne moins douze cinquièmes 𝑛 au carré. Et nous devons toujours diviser cela par 30 sur 𝑛. Nous devons maintenant simplifier. Encore une fois, nous allons commencer par multiplier le numérateur et le dénominateur par 𝑛. Cela nous donne moins douze cinquièmes 𝑛 au cube divisé par 30. Ensuite, diviser par 30 équivaut à multiplier par un sur 30. Cela nous donne l’expression suivante.
Enfin, nous pouvons remarquer que 12 et 30 ont tous les deux un facteur commun de six. Nous obtenons donc moins deux sur cinq multiplié par un sur cinq, ce qui est moins deux vingt-cinquièmes. Cela nous donne alors notre réponse finale. Si 𝑥 est égal à six fois le logarithme népérien de 𝑛 à la puissance cinq et 𝑦 est égal à moins huit 𝑛 au cube, alors la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à moins deux 𝑛 au cube divisé par 25.
