Vidéo : Classification des discontinuités

Classification des discontinuités

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Classification des discontinuités

Dans cette leçon, nous allons apprendre à identifier les différents types de discontinuité d’une fonction en un point donné. En pensant aux discontinuités, il est d’abord utile de récapituler la condition de continuité en un point. C’est quand la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 d’une certaine fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à la même fonction, évaluée lorsque 𝑥 égale 𝑎, 𝑓 de 𝑎. Bien entendu, cela implique que les limites gauche et droite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 doivent exister et concorder ensemble, et que 𝑎 doit appartenir à l’ensemble de définition de la fonction. Donc il faut que 𝑓 de 𝑎 soit définie. Lorsque la fonction 𝑓 de 𝑥 ne remplit pas la condition de continuité, on dit que notre fonction n’est pas continue. Si cela se produit en un point donné, alors on dit que nous avons une discontinuité. Envisageons maintenant les différentes manières dont cela peut se produire.

Notre premier cas est celui d’une discontinuité amovible. Cela se produit quand la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe et est finie. Cependant, 𝑓 de 𝑎 n’est pas égal à la valeur de cette limite. Pour illustrer ce type de discontinuité, voici l’exemple de la fonction 𝑓 un de 𝑥. Nous pouvons clairement voir que 𝑥 égale trois n’appartient pas à l’ensemble de définition de notre fonction. Et ceci est indiqué par le point creux sur notre graphique en ce point. 𝑓 un de trois n’est pas définie. Et c’est donc notre discontinuité amovible. Avant de poursuivre, voyons un autre exemple, la fonction 𝑓 deux, qui est définie de la même manière que 𝑓 un lorsque 𝑥 n’égale pas trois mais est définie comme un lorsque 𝑥 égale trois. Maintenant pour 𝑓 un et 𝑓 deux, la limite lorsque 𝑥 tend vers trois est égale à quatre.

Dans le cas de 𝑓 un, notre fonction n’était pas définie avec 𝑥 égale trois. Dans le cas de 𝑓 deux, notre fonction égale un lorsque 𝑥 égale trois. Ceci est noté par le point solide sur notre graphique. Dans les deux cas, toutefois, cela n’égale pas la valeur de la limite. Cela montre que notre fonction peut être définie ou non au point où existe notre discontinuité amovible. Un dernier conseil qui pourrait vous aider à vous rappeler, ces discontinuités sont nommées ainsi car il est possible de supprimer cette discontinuité en redéfinissant la fonction en un seul point, dans les deux cas, le point où 𝑥 égale trois.

Le type de discontinuité que nous allons envisager ensuite est appelé une discontinuité essentielle. Et elle s’appelle parfois une discontinuité inamovible. Celle-ci se produit lorsque la limite gauche, droite ou les deux limites de chaque côté lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 n’existent pas. Ici, il convient de rappeler que lorsque nous disons qu’une limite égale plus l’infini ou moins l’infini, il s’agit simplement d’une manière particulière d’exprimer que la limite n’existe pas. Exprimer la limite de cette manière nous fournit cependant des informations utiles sur notre fonction. Nous allons donc l’ajouter comme une note complémentaire à notre définition.

Pour illustrer ce type, voyons un exemple de fonction 𝑓 trois, qui est un sur 𝑥. Lorsque 𝑥 tend vers zéro de la gauche, notre fonction tendra vers moins l’infini. Et lorsque 𝑥 tend vers zéro de la droite, notre fonction tendra vers plus l’infini. De nouveau, l’infini étant un concept et non un nombre, ces limites n’existent pas. Cela répond à nos critères et nous avons donc une discontinuité essentielle en 𝑥 égale zéro. Il est important de noter que même si nous avions utilisé un exemple différent de fonction, 𝑓 quatre, où les limites gauche et droite tendent vers le même infini, qui dans ce cas est plus l’infini, et que nous pouvions dire que la limite normale lorsque 𝑥 tend vers zéro est égale à l’infini. Ceci satisferait néanmoins au critère de discontinuité essentielle en 𝑥 égale zéro, puisqu’aucune de ces limites n’existe.

Regardons maintenant un autre exemple de fonction. Dans le cas d’une fonction telle que sin un sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro de la gauche ou de la droite, la valeur de la fonction elle-même oscillera de plus en plus rapidement entre moins un et un. Selon ces informations, il n’est pas logique pour nous d’attribuer une valeur aux limites gauche ou droite, puisque 𝑓 cinq de 𝑥 semble tendre vers deux valeurs simultanément. Puisque nous disons que ces limites n’existent pas, cela répond à nouveau au critère d’une discontinuité essentielle en 𝑥 égale zéro. Pour terminer, bien que ces deux cas soient bien des discontinuités essentielles, nous utilisons parfois un langage plus spécifique pour les désigner, appelant le premier cas une discontinuité infinie et le deuxième, une discontinuité oscillante.

Le dernier cas que nous allons examiner est appelé une discontinuité de saut. Cela se produit quand les deux limites droite ou gauche lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existent et sont finies mais ne sont pas égales l’une à l’autre. Vous verrez souvent, mais pas toujours, une discontinuité de saut lorsqu’une fonction est définie par morceaux, comme dans l’exemple de la fonction 𝑓 six présenté ici. Si nous examinons la limite entre nos deux sous-fonctions, ce qui se produit lorsque 𝑥 égale deux, nous pouvons clairement voir que lorsque nous nous approchons de la gauche, 𝑓 de 𝑥 tend vers trois, et lorsque nous nous approchons de la droite, 𝑓 de 𝑥 tend vers deux.

Nous pouvons également noter la position du point creux et du point solide qui nous dit que 𝑓 de deux est définie ici et égale deux. Mais en réalité, pour une discontinuité de saut, ce fait ne nous intéresse vraiment pas. Puisque nos deux limites à droite et à gauche existent et sont finies mais ne sont pas égales entre elles, nous avons déjà rempli la condition pour une discontinuité de saut. En fait, il s’agirait du même cas, même si 𝑓 de deux était indéfinie, la caractéristique la plus importante étant le saut qu’on voit en 𝑥 égale deux. Bon, maintenant que nous avons vu les différents types de discontinuité, allons voir un exemple.

Trouvez le type de discontinuité de la fonction 𝑓 en 𝑥 égale zéro, 𝑥 égale deux, 𝑥 égale cinq et 𝑥 égale six, si elle a une discontinuité en ces points.

Pour cette question, on nous donne un graphique et on nous demande de déterminer si les discontinuités existent en certains points et de les classifier. Pour répondre à cette question, envisageons les différents types de discontinuité que nous connaissons, en particulier les caractéristiques de chacune que nous pourrions observer sur un graphique. Le premier type de discontinuité que nous connaissons est la discontinuité amovible. C’est quand la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe et est finie, et a une certaine valeur 𝐿 ici. Mais 𝑓 de 𝑎 n’égale pas cette valeur, 𝐿. En regardant notre graphique, nous voyons que lorsque 𝑥 tend vers deux de la gauche et de la droite, 𝑓 de 𝑥 tend vers un. En d’autres termes, la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 est égale à un.

Une autre chose que nous remarquons lorsque 𝑥 égale deux est que 𝑓 de deux n’est pas définie en un, indiqué par le point creux, mais plutôt définie en moins un, indiqué par le point solide. En d’autres termes, 𝑓 de deux égale moins un. Nous avons maintenant constaté que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 n’égale pas 𝑓 de deux. Et c’est la condition pour une discontinuité amovible. Nous avons donc répondu à la deuxième partie de la question. Passons maintenant au type suivant de discontinuité, la discontinuité essentielle. Cela se produit lorsque la limite gauche, la limite droite ou les limites gauche et droite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 n’existent pas. En regardant le graphique, nous voyons que lorsque 𝑥 tend vers six de la gauche et de la droite, nous voyons que la valeur de 𝑓 semble se rapprocher de moins l’infini.

Nous rappelons ici que lorsque nous disons qu’une limite égale l’infini, positif ou négatif, il s’agit simplement d’une manière particulière d’exprimer que la limite n’existe pas, puisque l’infini est un concept et non pas un nombre. Selon ces informations, nous avons satisfait à la condition d’une discontinuité essentielle, puisqu’au moins une de nos limites droite ou gauche n’existe pas. Et en fait, dans ce cas, les deux n’existent pas. Nous avons donc constaté qu’en 𝑥 égale six, nous avons une discontinuité essentielle. Enfin, pensons aux discontinuités de sauts. Celles-ci surviennent quand les deux limites gauche et droite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existent et sont finies mais ne sont pas égales entre elles. On regarde notre graphique encore une fois pour trouver les cas où cela pourrait être vrai.

En observant 𝑥 égale zéro, nous voyons que lorsque 𝑥 tend vers la gauche, la valeur de 𝑓 tend aussi vers zéro, alors que lorsque 𝑥 tend vers zéro de la droite, la valeur de 𝑓 tend vers trois. Nos deux limites gauche et droite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 existent et sont finies. Cependant, elles ne sont pas égales entre elles, ce qui est la condition pour une discontinuité de saut. Nous avons donc trouvé que 𝑓 représente une discontinuité de saut lorsque 𝑥 égale zéro. Pour terminer cette question, nous devons évaluer le point où 𝑥 égale cinq. Lorsque 𝑥 tend vers cinq de la gauche et de la droite, la valeur de 𝑓 tend vers trois. Puisque les deux limites droite et gauche existent et se concordent entre elles, nous pouvons donc également dire que la limite normale existe et prend cette même valeur.

Une autre chose que nous pouvons remarquer est que 𝑓 de cinq est définie en trois, comme le montre le point sur notre graphique. Maintenant, avec ces deux bits d’information, nous avons trouvé que la limite lorsque 𝑥 tend vers cinq de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑓 de cinq. Vous pouvez reconnaître ceci comme condition de continuité. Et nous avons donc prouvé que 𝑓 est continue lorsque 𝑥 égale cinq. Nous avons un coin pointu en ce point, ce qui signifie que 𝑓 n’est pas dérivable. Cependant, cela sort du cadre de cette vidéo. Puisque nous avons prouvé ici la continuité, nous pouvons par définition dire que 𝑓 n’a pas de discontinuité lorsque 𝑥 égale cinq. Avec cette information, nous avons répondu à la question et identifié toutes les discontinuités indiquées sur la représentation graphique de la fonction 𝑓.

Ok, nous avons vu quelques exemples graphiques de discontinuités. Mais allons maintenant voir des exemples algébriques dans lesquels aucun indice visuel n’est donné. La première chose à prendre en compte est que lorsqu’il s’agit d’une fonction définie par morceaux, il est toujours utile de vérifier et d’évaluer les limites entre les différentes sous-fonctions. Voyons un exemple.

Considérons que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale un moins 𝑥 lorsque 𝑥 est strictement inférieure à zéro, zéro lorsque 𝑥 égale zéro, et un plus deux 𝑥 lorsque 𝑥 est strictement supérieure à zéro. Première partie, que vaut 𝑓 de zéro ?

Pour cette question, on nous donne une fonction définie par morceaux, avec trois sous-fonctions différentes. Pour commencer, nous devons simplement évaluer 𝑓 lorsque 𝑥 égale zéro. En fait, la deuxième branche de notre sous-fonction définit ceci en nous disant que 𝑓 égale zéro lorsque 𝑥 égale zéro. On peut donc simplement dire que 𝑓de zéro égale zéro. Et nous avons répondu à la première partie de notre question.

Deuxième partie, quelle est la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de la gauche de 𝑓 de 𝑥 ?

Maintenant pour cette partie de la question, puisque 𝑥 tend vers zéro de la gauche, nous savons que 𝑥 est strictement inférieure à zéro. Et par conséquent, 𝑓 de 𝑥 est définie par notre première sous-fonction, un moins 𝑥. Lorsque nous trouvons notre limite, nous pouvons donc remplacer 𝑓 de 𝑥 par leur sous-fonction. Et nous pouvons alors résoudre ce problème en effectuant une substitution directe pour obtenir un moins zéro, ce qui est bien sûr égal à un.

Maintenant, nous pourrions remarquer ici que la troisième partie de notre question est très similaire, nous demandant plutôt la limite droite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥.

Lorsque 𝑥 est strictement supérieure à zéro, 𝑓 de 𝑥 est définie par la troisième sous-fonction, un plus deux 𝑥. Nous pouvons évaluer cette limite droite de la même manière, en définissant notre sous-fonction comme 𝑓 de 𝑥 et, encore une fois, en effectuant une substitution directe de 𝑥 égale zéro pour trouver que notre limite égale un. Nous avons maintenant répondu aux parties deux et trois de la question, et avons trouvé que nos deux limites gauche et droite lorsque 𝑥 tend vers zéro égalent toutes les deux un.

Enfin, dans la quatrième partie de la question, on nous demande quel type de discontinuité la fonction 𝑓 a en 𝑥 égale zéro ?

Pour cette partie de la question, nous rappelons d’abord que les deux limites droite et gauche que nous avons déterminées existent, sont finies et sont égales entre elles. En rassemblant ces deux informations, nous pouvons également conclure que la limite normale lorsque 𝑥 tend vers zéro existe aussi, qu’elle est finie et qu’elle a la même valeur, un. Revenons maintenant à notre réponse à la première partie. Nous avons trouvé que lorsque 𝑥 égale zéro, 𝑓 de zéro égale aussi zéro. En d’autres termes, 𝑓 de zéro égale zéro. Encore une fois, rassemblons nos informations. Nous avons constaté que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 existe et est finie mais n’égale pas 𝑓 de zéro.

Nous rappelons maintenant que c’est exactement la condition qu’il faut remplir pour obtenir une discontinuité amovible en 𝑥 égale zéro. Ainsi, nous avons répondu aux quatre parties de notre question. Lorsque 𝑥 égale zéro, nous avons évalué notre fonction, trouvé ses limites et classifié le type de discontinuité qui se produit. Pour conclure, si nous devions représenter notre fonction graphiquement, elle ressemblerait un peu à ceci. Et nous pourrions éliminer notre discontinuité amovible en redéfinissant 𝑓 de zéro égale un.

Bon, nous venons de voir une fonction définie par morceaux, mais dans de nombreux cas, notre fonction ne sera pas définie de cette façon. Un autre cas auquel il faut faire attention, c’est celui des fonctions rationnelles ou des fonctions avec des quotients sous la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥. En particulier, nous devrions prêter attention aux valeurs de 𝑥, ce qui rendra notre dénominateur ici 𝑄 de 𝑥 égal à zéro. En ces valeurs de 𝑥, nous diviserons par zéro. Et ainsi, nous savons que notre fonction 𝑓 de 𝑥 sera indéfinie. Il est important de noter que lorsque nous voyons qu’un dénominateur de zéro est possible en une certaine valeur de 𝑥, nous ne pouvons pas conclure immédiatement le type de discontinuité qui existera ici. Nous pouvons revenir sur deux des exemples que nous avons vus précédemment pour illustrer ceci.

Pour 𝑓 un, le dénominateur du quotient sera zéro lorsque 𝑥 sera égale à trois. Pour 𝑓 quatre, le dénominateur du quotient sera zéro lorsque 𝑥 sera égale à zéro. Bien que dans les deux cas nous observons un dénominateur nul, la première est une discontinuité amovible et la seconde une discontinuité essentielle, une discontinuité infinie. Afin de distinguer algébriquement entre les deux différents types, nous devrions toujours examiner nos limites, comme indiqué précédemment par les critères. Autre point, dans ces deux cas, il est très facile de trouver la valeur de 𝑥 qui rendra notre dénominateur égal à zéro. Dans d’autres cas, cependant, cela peut ne pas être immédiatement évident.

Nous considérons toujours que 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥. Mais imaginons que 𝑄 de 𝑥 soit un polynôme. Un outil que nous pouvons utiliser pour trouver que 𝑄 de 𝑥 égale zéro est le théorème de factorisation. Cela nous dit que si 𝑥 moins 𝑎 est un facteur de 𝑄 de 𝑥, alors 𝑄 de 𝑎 doit être égal à zéro. Par exemple, si 𝑄 de 𝑥 était une fonction du second degré et que nous pouvions la factoriser comme 𝑥 moins 𝑎 fois 𝑥 moins 𝑏, cela signifie alors que le dénominateur de notre fonction 𝑓 de 𝑥 serait nul lorsque 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏. Et par conséquent, nous devons évaluer notre fonction 𝑓 pour les discontinuités en ces valeurs de 𝑥. Voyons un exemple.

Considérez la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins cinq divisé par 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins 10. Trouvez toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction 𝑓 a des discontinuités. Déterminez le type de chaque discontinuité.

Pour commencer cette question, notons que 𝑓 de 𝑥 est une fonction rationnelle sous la forme de 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥. En voyant cette forme, nous pouvons nous rappeler que notre prochaine étape consiste à rechercher les valeurs de 𝑥 qui rendraient notre dénominateur, 𝑄 de 𝑥, égale à zéro. Un outil que nous pouvons utiliser pour nous aider à trouver ces valeurs est le théorème de factorisation. Cela nous dit que si 𝑥 moins 𝑎 est un facteur de 𝑄 de 𝑥, alors 𝑄 de 𝑎 doit être égal à zéro. Notre première étape devrait alors être d’essayer de factoriser notre dénominateur. Avec un peu d’inspection, nous pouvons factoriser notre dénominateur en 𝑥 plus deux fois 𝑥 moins cinq. Ici, le théorème de factorisation nous dit que lorsque 𝑥 égale moins deux ou lorsque 𝑥 égale cinq, notre dénominateur serait zéro. Et ainsi, 𝑓 de 𝑥 serait indéfinie.

Nous pouvons étendre un peu plus notre raisonnement pour dire que ce sont les valeurs en lesquelles nous allons trouver nos discontinuités. Mais il faudra regarder d’un peu plus près afin de déterminer leur type. Commençons par 𝑥 égale moins deux. Si nous devions prendre la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux 𝑓 de 𝑥, en utilisant la forme factorisée de notre dénominateur, et que nous adoptions une approche de substitution directe, nous constaterions bien sûr que notre limite n’existe pas, puisque nous savons déjà que nous avons une division par zéro. Encore une fois ici, trouver qu’une limite est égale à plus ou moins l’infini est une façon particulière d’exprimer que cette limite n’existe pas. Cette information à elle seule est suffisante pour conclure que ni la limite gauche ni la limite la droite n’existent non plus.

Cependant, regardons-les de plus près pour voir ce qui se passe. Nous adoptons une approche similaire ici, mais nous avons remarqué que puisque ces deux parenthèses sont égales et non nulles, nous pouvons les annuler. Nous avons également remarqué qu’au dénominateur de notre quotient, nous avons moins deux que nous approchons de la gauche et ajoutons deux. Cela signifie que nous avons un divisé par zéro. Mais nous tendons vers zéro de la gauche. Puisque nous approchons de zéro de la gauche, nous avons un nombre négatif. Et si nous divisons un par un nombre négatif infiniment petit, alors nous obtenons comme résultat moins l’infini. C’est une manière vague de comprendre si notre infini est positif ou négatif. Nous pourrions suivre le même processus pour déterminer que notre limite droite serait plus l’infini.

Bien que ces deux dernières étapes ne soient pas absolument nécessaires, cela nous donne une meilleure compréhension de ce que fera notre fonction lorsque 𝑥 tend vers moins deux de la gauche et de la droite, respectivement. Ici, nous avons trouvé que nos limites gauche et droite lorsque 𝑥 tend vers moins deux n’existent pas. Et donc, en ce point, nous avons une discontinuité essentielle. Et d’après ce qu’on a vu, nous pourrions plus spécifiquement classifier ceci comme une discontinuité infinie. Passons maintenant au cas où 𝑥 égale cinq. Nous évaluons la limite lorsque 𝑥 tend vers cinq de 𝑓 de 𝑥. Cette fois, la substitution directe nous conduit à la forme indéterminée de zéro sur zéro. Et nous allons utiliser une astuce différente pour résoudre ce problème.

Jusqu’à présent, nous avons presque ignoré le fait que notre fonction initiale 𝑓 de 𝑥 semble avoir un diviseur commun de 𝑥 moins cinq dans la moitié supérieure et inférieure du quotient. Si nous annulions ce diviseur, il nous resterait un sur 𝑥 plus deux. Maintenant, ici, nous il faut faire très attention à ne pas dire que c’est 𝑓 de 𝑥. Et au lieu de cela, nous l’appellerons autre chose, disons 𝑔 de 𝑥. Bien qu’il semble que 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 soient égales, cela n’est vrai que lorsque 𝑥 n’égale pas cinq, puisque nous savons que 𝑥 égale cinq n’appartient pas à l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥. Pourtant, elle appartient à l’ensemble de définition de 𝑔 de 𝑥. C’est là notre astuce. Puisque la limite concerne les valeurs de 𝑥 qui sont arbitrairement proches de cinq mais pas où 𝑥 égale effectivement cinq, nous pouvons dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers cinq de 𝑓 de 𝑥 égale la limite lorsque 𝑥 tend vers cinq 𝑔 de 𝑥.

Cela nous permet maintenant d’effectuer une substitution directe puisque 𝑥 égale cinq appartient à l’ensemble de définition de 𝑔 de 𝑥. Ce faisant, nous trouvons que la valeur de notre limite est un sur sept. Nous pouvons maintenant réfléchir à notre discontinuité. Nous avons trouvé que la limite lorsque 𝑥 tend vers cinq de 𝑓 de 𝑥 existe et est finie, et a comme valeur un sur sept. Cependant, nous avions précédemment conclu que lorsque 𝑥 égalait moins deux ou lorsque 𝑥 égalait cinq, 𝑓 de 𝑥 était indéfinie puisque nous avions une division par zéro. Par conséquent, 𝑓 de cinq est indéfinie. En rassemblant ces deux informations, nous constatons que la limite lorsque 𝑥 tend vers cinq de 𝑓 de 𝑥 existe, est finie, mais n’égale pas 𝑓 de cinq. C’est la condition exacte pour une discontinuité amovible en 𝑥 égale cinq. Nous avons maintenant la réponse complète à notre question.

Nous avons trouvé que la fonction 𝑓 a une discontinuité essentielle et infinie en 𝑥 égale moins deux. Et que 𝑓 a une discontinuité amovible en 𝑥 égale cinq. Si nous devions tracer la représentation graphique de 𝑓 de 𝑥, elle ressemblerait un peu à ceci. Pour terminer notre vidéo. Passons en revue quelques points clés. Lorsqu’une fonction ne satisfait pas la condition de continuité, elle est dite discontinue. Pour les discontinuités survenant en un point donné, nous avons appris à les classifier comme suit : premièrement, les discontinuités amovibles ; deuxièmement, les discontinuités essentielles, qui peuvent être sous-catégorisées en discontinuités infinies et oscillantes ; et enfin, des discontinuités de saut. Chacun des différents types de discontinuité a son propre ensemble de conditions décrites ici.

Lorsque vous recherchez des discontinuités, il est utile d’évaluer certains points d’une fonction. Pour les fonctions définies par morceaux, examinez les valeurs de 𝑥 à la limite entre les différentes sous-fonctions. Et pour les quotients tels que les fonctions rationnelles sous la forme 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥, recherchez les valeurs de 𝑥 où le dénominateur, 𝑄 de 𝑥, égale zéro. Pour terminer, dans certains cas où une fonction est définie en utilisant des valeurs absolues ou des puissances non entières de 𝑥, il est parfois possible de la reformuler sous une forme plus gérable, pouvant être par morceaux, ce qui faciliterait la recherche et la classification des discontinuités.

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