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Vidéo de question : Déterminer le rang d’une matrice Mathématiques

Utilisez les déterminants pour trouver le rang de la matrice augmentée du système d’équations suivant : 2𝑥+4𝑦=−3, 2𝑥+3𝑦=−6.

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Transcription de vidéo

Utilisez les déterminants pour trouver le rang de la matrice augmentée du système d’équations suivant. Deux 𝑥 plus quatre 𝑦 égale moins trois et deux 𝑥 plus trois 𝑦 égale moins six.

Commençons par identifier la matrice augmentée associée au système d’équations qui nous est donné. Une matrice augmentée comporte deux parties. Tout d’abord, puisque nous avons deux équations à deux inconnues, nous commençons par la matrice des coefficients de taille deux deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. La seconde partie de notre matrice augmentée contient les constantes des membres de droite de nos équations.

Dans notre cas, la matrice des coefficients est égale à deux, quatre, deux, trois. Les constantes des membres de droite de nos équations sont moins trois et moins six. Nous notons 𝐴 la matrice deux trois égale à deux, quatre, moins trois, deux, trois, moins six. On nous demande de déterminer le rang de cette matrice en utilisant les déterminants. Nous rappelons que le rang d’une matrice 𝐴, noté Rg de 𝐴, est le nombre de lignes ou de colonnes 𝑛 de la plus grande sous-matrice carrée de taille 𝑛 de la matrice 𝐴 dont le déterminant est non nul. Puisque notre matrice augmentée 𝐴 est une matrice deux trois, nous devons considérer les sous-matrices carrées de 𝐴 de taille deux.

Nous obtenons ces sous-matrices en supprimant l’une des colonnes de la matrice 𝐴. Puis, nous calculerons le déterminant de la matrice deux deux ainsi créée. Notons que si ce déterminant est nul, nous devrons répéter ce processus avec les autres sous-matrices deux deux de 𝐴. Pour les obtenir, nous supprimerons la première colonne de la matrice 𝐴, puis sa deuxième colonne. Le diagramme suivant est une aide visuelle très utile pour déterminer le rang d’une matrice deux deux. En examinant la matrice deux, quatre, deux, trois, nous constatons que ce n’est pas la matrice nulle. Par conséquent, le rang de 𝐴 n’est pas zéro.

Pour calculer le déterminant de cette matrice, nous soustrayons au produit de l’élément en haut à gauche et de l’élément en bas à droite le produit de l’élément en haut à droite et de l’élément en bas à gauche. Dans notre cas, cela nous donne deux fois trois moins quatre fois deux. Cela se simplifie en six moins huit, ce qui est égal à moins deux. Le déterminant de notre matrice deux deux n’est pas nul.

Par conséquent, nous pouvons conclure que le rang de la matrice augmentée associée au système d’équations donné dans l’énoncé est deux.

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