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Vidéo question :: 1 Physique • Première année secondaire

La figure montre trois vecteurs : 𝐀, 𝐁 et 𝐂. Laquelle des expressions suivantes définit 𝐂 en fonction de 𝐀 et 𝐁 ? [A] 𝐂 = 𝐀 + 𝐁 [B] 𝐂 = 𝐀 - 𝐁 [C] 𝐂 = 𝐁 - 𝐀 [D] 𝐂 = 2𝐀 - 𝐁 [E] 𝐂 = 2𝐁 - 𝐀

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Transcription de la vidéo

La figure montre trois vecteurs : 𝐀, 𝐁 et 𝐂. Laquelle des expressions suivantes définit 𝐂 en fonction de 𝐀 et 𝐁 ? Est-ce (A) 𝐂 égale 𝐀 plus 𝐁 ? (B) 𝐂 égale 𝐀 moins 𝐁. (C) 𝐂 égale 𝐁 moins 𝐀. (D) 𝐂 égale deux 𝐀 moins 𝐁. Ou (E) 𝐂 égale deux 𝐁 moins 𝐀.

Pour répondre à cette question, nous devons savoir comment additionner ou soustraire une certaine combinaison de vecteurs 𝐀 et 𝐁 pour produire le vecteur 𝐂. Voilà une bonne occasion pour nous entraîner à additionner ou soustraire des vecteurs par des méthodes algébriques.

Rappelons donc d’abord que nous pouvons représenter un vecteur comme étant une somme de plusieurs vecteurs unitaires le long des axes 𝑥 et 𝑦. Pour mieux comprendre, regardons ce vecteur donné 𝐀. Notez qu’il part de l’origine et pointe vers la gauche d’une unité et vers le bas de six unités. Maintenant, comme d’habitude, nous allons définir le sens vers la droite comme étant positif le long de l’axe des 𝑥 et vers le haut comme étant positif le long de l’axe des 𝑦. Ainsi, puisque le vecteur 𝐀 pointe vers la gauche d’une unité, nous disons qu’il a une composante horizontale de moins une unité. De même, nous disons que 𝐀 a une composante verticale de moins six unités, puisque nous avons défini le sens vers le bas comme étant négatif.

Il convient de rappeler que le vecteur unitaire le long de l’axe des 𝑥 est appelé vecteur 𝐢 et qu’il représente un vecteur d’une unité de longueur dans le sens positif de l’axe des 𝑥. De même, le vecteur unitaire le long de l’axe des 𝑦 est appelé vecteur 𝐣, et il représente un vecteur d’une unité de longueur dans le sens positif de l’axe des 𝑦. Donc, pour représenter le vecteur 𝐀 algébriquement, nous disons que 𝐀 égale moins un fois 𝐢 plus moins six fois 𝐣, ou simplement moins un 𝐢 moins six 𝐣.

Regardons ensuite le vecteur 𝐁. Il part également de l’origine, puis pointe vers le haut de deux unités et vers la gauche de cinq unités. Ainsi, nous disons que le vecteur 𝐁 est égal à moins cinq 𝐢 plus deux 𝐣.

Bon, maintenant que nous avons défini les vecteurs 𝐀 et 𝐁, commençons à réfléchir à la façon dont nous pourrions les combiner pour créer le vecteur 𝐂. Rappelons que lorsque nous additionnons ou soustrayons des vecteurs algébriquement, nous additionnons ou soustrayons simplement leurs composantes similaires : 𝐢 avec 𝐢 et 𝐣 avec 𝐣. Par exemple, voyons ce qui se passe lorsque nous additionnons 𝐀 et 𝐁. En additionnant leurs composantes horizontales, moins un 𝐢 plus moins cinq 𝐢 donne moins six 𝐢. Et en additionnant leurs composantes verticales, moins six 𝐣 plus deux 𝐣 donnent moins quatre 𝐣.

Ainsi, ce vecteur 𝐀 plus 𝐁 est-il égal au vecteur 𝐂 proposé dans l’option (A) ? Pour le savoir, utilisons le schéma pour déterminer les composantes horizontale et verticale de 𝐂. Remarquez que l’origine du vecteur se trouve en ce point ici et non pas à l’origine du repère. Donc, en commençant ici, 𝐂 pointe vers la droite de quatre unités et vers le bas de huit unités. Cela ne correspond pas au vecteur 𝐀 plus 𝐁 que nous venons de trouver. Nous pouvons donc éliminer l’option (A). Le vecteur 𝐂 est plutôt représenté algébriquement par quatre 𝐢 moins huit 𝐣.

Alors maintenant, au lieu de revoir toutes les options de réponse restantes, envisageons séparément les composantes 𝑥 et 𝑦 de ces trois vecteurs, et pensons à combiner les composantes semblables de 𝐀 et 𝐁 pour donner la composante respective de 𝐂. Commençons par les composantes verticales.

Pensons à la façon dont nous pouvons combiner moins six et deux pour obtenir moins huit. Eh bien, nous savons que moins six moins deux donne moins huit. Voilà donc un bon indice que le vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁 donne le vecteur 𝐂. Maintenant, en vérifiant les composantes horizontales, la soustraction du vecteur 𝐁 de 𝐀 donne moins un moins moins cinq, ce qui donne plus quatre, et c’est exactement égal à la composante horizontale du vecteur 𝐂. Cela confirme que le vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁 est égal au vecteur 𝐂. Nous savons donc que la réponse (B) est correcte. Cette expression définit correctement le vecteur 𝐂 en fonction des vecteurs 𝐀 et 𝐁.

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