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Vidéo de question : Déterminer les distances entre les points et les droites dans le plan Mathématiques

Caclulez la longueur de la perpendiculaire tracée depuis l’origine du repère à la droite d’équation −3𝑥 + 4𝑦 - 21 = 0 au centième près.

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Transcription de vidéo

Trouvez la longueur de la perpendiculaire allant de l’origine jusqu’à la droite moins trois 𝑥 plus quatre 𝑦 moins 21 égale zéro arrondi au centième près.

Caclulez la longueur de la perpendiculaire tracée depuis l’origine du repère à la droite d’équation moins trois 𝑥 plus quatre 𝑦 moins 21 est égal à zero au centième près. On nous demande de trouver la longueur perpendiculaire entre ce point et cette droite. Ainsi, nous cherchons la longueur du segment perpendiculaire qui commence à l’origine et qui passe par la droite.

Pour répondre à cette question, nous devons rappeler que nous avons une formule standard pour répondre à de telles questions. Si nous voulons calculer la distance perpendiculaire entre un point de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et une droite d’équation 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égal à zéro, alors nous avons la formule 𝑙, qui représente la longueur, est égale au module, ou à la valeur absolue, de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐 le tout divisé par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Ces lignes verticales au numérateur de la formule représentent le module ou la valeur absolue, ce qui signifie la valeur d’un nombre sans tenir compte de son signe. Ainsi, essentiellement, cela signifie sa distance à zéro. Le module de sept est sept, mais le module du moins sept vaut également sept. Ainsi, nous devons déterminer les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 un et 𝑦 un, puis les substituer dans la formule standard.

𝑥 un, 𝑦 un représentent tout d’abord les coordonnées du point à partir duquel nous tirons cette perpendiculaire. Dans notre question, ce point est l’origine. L’origine a pour coordonnées zéro, zéro. Par conséquent, les valeurs de 𝑥 un et 𝑦 un sont toutes deux nulles. Afin de trouver les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐, nous devons regarder l’équation de la droite: moins trois 𝑥 plus quatre 𝑦 moins 21 est égal à zéro.

Ainsi, en comparant ces deux formes, nous voyons que 𝑎 est égal à moins trois, 𝑏 est égal à quatre et 𝑐 est égal à moins 21. Maintenant, nous avons toutes les informations dont nous avons besoin pour pouvoir utiliser la formule. Nous devons donc substituer chacune des valeurs aux bons endroits.

Ainsi, dans le numérateur, tout d’abord, nous avons 𝑙 est égal au module de 𝑎 multiplié par 𝑥 un, soit moins trois multiplié par zéro, plus 𝑏 multiplié par 𝑦 un, soit quatre multiplié par zéro, puis plus 𝑐, donc plus moins 21. Ensuite, nous divisons par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, donc par la racine carrée de moins trois au carré plus quatre au carré. Ainsi, cela se simplifie en le module de moins 21 sur la racine carrée de neuf plus 16.

Maintenant, pour le module de moins 21, rappelez-vous que nous prenons la valeur du nombre, sans tenir compte du signe. Ainsi, le module de moins 21 est juste 21. Au dénominateur, neuf plus 16 égale 25. Nous avons donc 21 sur la racine carrée de 25. 25 est un carré et il a une racine carrée exacte, qui est de cinq. Notre réponse se simplifie donc en 21 sur cinq. En écriture décimale, 21 sur cinq est égal à 4,2.

Maintenant, la question nous demande de donner notre réponse au centième près. Notre réponse est actuellement au dixième près, nous avons donc juste besoin d’ajouter un zéro supplémentaire pour donner notre réponse dans le format demandé. Nous avons donc la longueur de la perpendiculaire entre l’origine et la droite spécifiée qui est de 4,20 unités de longueur. Nous utilisons des unités de longueur ici parce que nous ne connaissons pas l’échelle de la grille de coordonnées, nous ne pouvons donc pas dire que ce sont des centimètres ou des millimètres, etc. Nous devons utiliser les unités de longueurs générales.

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