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Vidéo de question : Utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle pour déterminer une longueur inconnue Mathématiques

Déterminez 𝑥 au centième près.

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Transcription de vidéo

Déterminez 𝑥 au centième près.

Dans cette question, on nous demande de calculer la valeur de 𝑥 au centième près. Nous constatons que 𝑥 est la longueur d’un côté dans un triangle rectangle. Nous pouvons voir qu’on nous donne la mesure d’un angle non droit de ce triangle rectangle ainsi que la longueur d’un de ses côtés. Rappelons alors que nous pouvons utiliser la trigonométrie des triangles rectangles pour déterminer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de la mesure d’un de ses angles et de la longueur d’un autre de ses côtés. Nous devons pour cela commencer par identifier les différents côtés de notre triangle rectangle. Nous devons désigner les trois côtés de notre triangle en fonction de leur position par rapport à notre angle de 55 degrés.

Tout d’abord, nous pouvons voir que le côté noté 𝑥 est opposé à notre angle de 55 degrés. Il s’agit donc du côté opposé. Ensuite, le côté le plus long d’un triangle rectangle, qui est aussi le côté opposé à l’angle droit, s’appelle l’hypoténuse. Dans notre triangle, il s’agit du côté de longueur 10. Enfin, nous appelons côté adjacent le côté qui est adjacent à notre angle de 55 degrés mais qui n’est pas l’hypoténuse. Nous l’appelons ainsi car il est adjacent à l’angle dont nous connaissons la mesure.

Nous devons maintenant déterminer lequel de nos rapports trigonométriques nous devons utiliser pour déterminer la valeur de 𝑥. Rappelons pour cela l’acronyme SOH CAH TOA. Dans notre triangle rectangle, nous voulons déterminer la longueur du côté opposé et nous connaissons la longueur de l’hypoténuse. Autrement dit, nous voulons déterminer O et nous connaissons la valeur de H. Ainsi, d’après l’acronyme SOH CAH TOA, nous devons utiliser S, où S représente la fonction sinus. Nous rappelons que la fonction sinus nous donne le rapport entre la longueur d’un côté opposé et la longueur de l’hypoténuse dans un triangle rectangle. Autrement dit, si 𝜃 est l’un des angles d’un triangle rectangle, alors la longueur du côté opposé à 𝜃 divisée par la longueur de l’hypoténuse est égal au sinus de 𝜃.

Dans notre cas, la valeur de 𝜃 est de 55 degrés, la longueur du côté opposé est 𝑥 et la longueur de l’hypoténuse est de 10. Ainsi, en appliquant la trigonométrie des triangles rectangles, nous obtenons que le sinus de 55 degrés est égal à 𝑥 divisé par 10. Pour déterminer la valeur de 𝑥, il suffit de multiplier par 10 des deux côtés. Cela nous donne que 𝑥 est égal à 10 fois le sinus de 55 degrés. Nous pouvons évaluer cela à l’aide de la calculatrice après avoir vérifié qu’elle est bien réglée en mode degré. La saisie de cette expression dans la calculatrice nous donne 8,191 etc.

Seulement, n’oublions pas qu’on nous demande de donner notre réponse au centième près. Ainsi, nous vérifions notre troisième chiffre après la virgule et nous constatons qu’il s’agit du chiffre un. Un étant inférieur à cinq, nous arrondissons au centième inférieur et nous obtenons une réponse finale de 8,19. Par conséquent, nous avons montré qu’au centième près, la longueur 𝑥 indiquée sur le diagramme est de 8,19.

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