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Vidéo de question : Déterminer la forme générale des primitives d’une fonction Mathématiques

Détermine la forme générale d’une primitive 𝐹(𝑥) de la fonction 𝑓(𝑥) = 4𝑥 (−𝑥 + 5).

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Transcription de vidéo

Déterminez la forme générale d’une primitive grand 𝐹 de 𝑥 de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à quatre 𝑥 multiplié par moins 𝑥 plus cinq.

Dans cette question, on nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥 et nous devons déterminer la forme générale d’une primitive de cette fonction 𝑓 de 𝑥. Nous allons l’appeler grand 𝐹 de 𝑥. Commençons par rappeler ce que signifie que grand 𝐹 de 𝑥 soit une primitive de petit 𝑓 de 𝑥. On dit que grand 𝐹 de 𝑥 est une primitive de petit f de 𝑥 quand grand 𝐹 prime de 𝑥 est égale petit 𝑓 de 𝑥. Autrement dit, la dérivée de grand 𝐹 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à petit 𝑓 de 𝑥. Généralement, on nous donne une fonction et on nous demande de la dériver. Mais, ici, on nous donne une fonction et on nous demande de déterminer la fonction qui est égale à cette fonction lorsqu’on la dérive. Ce procédé est appelé l’intégration.

Commençons par regarder de plus près la fonction petit 𝑓 de 𝑥. Elle vaut quatre 𝑥 multiplié par moins 𝑥 plus cinq. C’est une fonction qui a l’air complexe. Nous ne connaissons aucune fonction qui donne une fonction de cette forme lorsqu’on la dérive. Donc, nous allons simplifier l’expression de petit 𝑓 de 𝑥 en développant. En faisant cela, nous obtenons petit 𝑓 de 𝑥 égal à moins quatre 𝑥 au carré plus 20𝑥. Nous avons maintenant réécrit la fonction sous la forme d’un polynôme. Et nous connaissons beaucoup de choses sur la dérivation de ce type de fonctions. Donc, pour déterminer une primitive, commençons par rappeler comment dériver 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛.

La première chose à faire est de multiplier toute l’expression par l’exposant de 𝑥. Ici, cet exposant est égal à 𝑛. Il faut ensuite réduire l’exposant de un. Cela nous donne 𝑛 fois 𝑎 multiplié par 𝑥 puissance 𝑛 moins un. Cette règle est la règle de dérivation des puissances. Nous avons vu comment dériver un polynôme terme à terme pour obtenir un autre polynôme. Mais ce n’est pas ce qui nous intéresse dans cette question. Dans cette question, on nous donne une fonction et on doit trouver un polynôme égal à cette fonction lorsqu’on le dérive. En d’autres termes, nous essayons de faire l’inverse. Donc, pour cela, au lieu d’utiliser la règle de dérivation des puissances, nous allons essayer de faire l’inverse.

Alors voyons comment déterminer les primitives de fonctions sous cette forme. Lorsque nous avons utilisé la règle de dérivation des puissances, la dernière étape consistait à réduire l’exposant de un. Nous devons donc faire l’inverse. Donc, au lieu de réduire l’exposant de un, nous allons ajouter un à l’exposant. La première étape est donc d’ajouter un à l’exposant de 𝑥. Ensuite, nous devons faire l’inverse de la première étape de la règle de dérivation des puissances. Cette étape consistait à multiplier le coefficient par l’exposant de 𝑥. L’inverse est donc de diviser le coefficient par l’exposant de 𝑥. Mais rappelons que nous multiplions le coefficient par l’exposant initial. Il faut donc diviser le coefficient par le nouvel exposant de 𝑥.

Une autre façon de voir cela est de penser à ce qui se passerait si nous faisions de même avec 𝑛 fois 𝑎 multiplié par 𝑥 puissance 𝑛 moins un. Rappelons qu’à la fin nous souhaitons obtenir 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛. La première étape est d’ajouter un à l’exposant. Ici, l’exposant de 𝑥 est 𝑛 moins un. Donc, cela nous donne 𝑛 fois 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛. Ensuite, nous devons diviser le coefficient par le nouvel exposant. Dans notre cas, le nouvel exposant est 𝑛. Nous divisons donc le coefficient par 𝑛. Et bien sûr, nous pouvons simplifier 𝑛 divisé par 𝑛, ce qui donne un. Et nous voyons que cela nous donne 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛. Nous avons donc une méthode permettant de déterminer des primitives de fonctions ayant cette forme.

Mais il reste encore une chose à voir. C’est le fait que la dérivée de toute constante est toujours égale à zéro. Alors, qu’est-ce que cela signifie en pratique ? Considérons la dérivée de 𝑥 au carré plus un. Eh bien, nous savons que la dérivée de 𝑥 au carré est égale à deux 𝑥 et la dérivée de un est égale à zéro. Donc, 𝑥 au carré plus un est une primitive de deux 𝑥. Mais maintenant, considérons la dérivée de 𝑥 au carré plus trois. Encore une fois, nous allons dériver terme à terme. La dérivée de 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est égale à deux 𝑥 et la dérivée de la constante trois est égale à zéro. Donc, 𝑥 au carré plus trois est aussi une primitive de deux 𝑥. En fait, nous pouvons montrer que 𝑥 au carré plus n’importe quelle constante est une primitive de deux 𝑥.

Une façon de représenter cela est d’écrire 𝑥 au carré et ensuite d’ajouter n’importe quelle constante. Nous allons appeler cette constante 𝐶. Alors, nous savons que 𝑥 au carré plus 𝐶 est une primitive de deux 𝑥 quelle que soit la valeur de 𝐶. Et c’est ce qu’on appelle la forme générale des primitives d’une fonction. Donc, lorsqu’on cherche la forme générale des primitives d’une fonction, il faut rajouter une dernière étape qui consiste à ajouter une constante d’intégration généralement appelée 𝐶. Nous pouvons maintenant déterminer la forme générale des primitives de la fonction petit 𝑓 de 𝑥 qui nous est donnée dans la question.

Rappelons que puisque nous pouvons utiliser les règles de dérivation terme à terme, nous pouvons également utiliser les règles d’intégration terme à terme. Commençons donc avec le premier terme qui vaut moins quatre 𝑥 au carré. Il faut d’abord ajouter un à l’exposant. Ici, l’exposant de 𝑥 est deux, donc si nous ajoutons un, nous obtenons trois. Ensuite, deuxième étape, il faut diviser le coefficient par le nouvel exposant. Le nouvel exposant est égal à trois. Nous divisons donc toute l’expression par trois. Cela nous donne moins quatre 𝑥 au cube divisé par trois. Et la troisième étape consiste à ajouter une constante d’intégration. Mais nous pouvons le faire à la fin.

Appliquons maintenant le même procédé au deuxième terme. Ce terme peut aussi s’écrire 20 fois 𝑥 puissance un. De même, nous ajoutons un à l’exposant de 𝑥, ce qui fait deux, puis nous divisons par le nouvel exposant, deux. Cela nous donne 20𝑥 au carré divisé par deux. Bien sûr, 20 divisé par deux peut se simplifier en 10. Et rappelons que la dernière étape consiste à ajouter une constante d’intégration que nous allons appeler 𝐶. Et voici le résultat final.

Nous avons donc pu déterminer la forme générale des primitives grand 𝐹 de 𝑥 de la fonction petit 𝑓 de 𝑥 égale à quatre 𝑥 multiplié par moins 𝑥 plus cinq. Nous avons obtenu que grand F de 𝑥 est égal à moins quatre 𝑥 au cube divisé par trois plus 10𝑥 au carré plus une constante d’intégration 𝐶.

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