Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les propriétés d’addition dans un ensemble de nombres rationnels et à déterminer l'opposé. Commençons par rappeler ce que nous entendons par ensemble de nombres rationnels.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut être écrit comme une fraction 𝑎 sur 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 sont des entiers ; ce sont des nombres entiers. Des exemples de nombres rationnels sont 0,7, qui peut être écrit comme sept dixièmes, 19 et 0,3 récurrents, qui est équivalent à un tiers. Si un nombre n’est pas rationnel, on dit qu’il est irrationnel. Et quelques exemples sont 𝜋 et la racine carrée de deux. L’ensemble des nombres rationnels est l’ensemble de tous les nombres possibles qui satisfont à ce critère. Nous devrions également rappeler ce que nous entendons par l’opposé. Opposé signifie le contraire. Ainsi, lorsque nous appliquons une opération opposée, nous effectuons l’opération contraire. Cela a pour effet d’annuler l’opération précédente.
Alors, comment cela nous aide-t-il à définir l'opposé ? Nous disons que l'opposé d’un nombre 𝑎 est le nombre qui, ajouté à 𝑎, donne zéro. En d’autres termes, l'opposé est simplement le nombre négatif de ce nombre. Ainsi, l'opposé de 𝑎 est simplement moins 𝑎. Voyons un exemple.
Trouvez l'opposé de 0,7.
Nous disons que l'opposé d’un nombre est le nombre qui, ajouté à l’original, donne zéro. Posons l'opposé de 0,7 comme étant égal à 𝑥. Par la définition de l'opposé, on peut alors dire que 0,7 plus 𝑥 est égal à zéro. Nous pouvons penser à résoudre cette équation de la manière habituelle. Nous soustrayons 0,7 des deux membres. Zéro moins 0,7 est moins 0,7.
Et donc, nous trouvons que la valeur de 𝑥 et donc l'opposé de 0,7 est moins 0,7. Maintenant, en fait, cela a beaucoup de sens parce que nous savons que l'opposé d’un nombre est simplement le nombre négatif de ce nombre ; on change le signe. L'opposé de 0,7 est moins 0,7.
Nous allons maintenant considérer une nouvelle propriété appelée l’associativité. L’associativité de l’addition montre que nous pouvons additionner trois nombres ou plus, quelle que soit comment ils sont regroupés. Observons une droite numérique et voyons d’où elle vient. Disons que nous voulons additionner trois plus quatre plus un. Nous pourrions effectuer ce calcul de gauche à droite. Nous commençons à trois sur la droite numérique et nous additionnons quatre en se déplaçant un, deux, trois, quatre espaces vers la droite. Nous additionnons ensuite un en se déplaçant un espace supplémentaire vers la droite. Alternativement, nous pourrions commencer par additionner quatre et un. Cette fois, nous commençons de quatre et nous nous déplaçons un espace vers la droite. Ensuite, nous additionnons trois en se déplaçant un, deux, trois espaces vers la droite. Dans les deux cas, nous nous retrouvons à huit. Peu importe l’ordre dans lequel nous avons additionné. Maintenant, on va choisir un groupe de nombres aléatoires ici. Mais lorsque vous travaillez avec, par exemple, des fractions et des nombres décimaux, cette propriété peut être vraiment utile. Voyons à quoi cela ressemble.
Simplifiez cinq treizièmes plus trois quarts plus un quart en utilisant les propriétés d’addition.
D’après l’ordre des opérations, nous cherchons généralement à commencer en premier par le calcul entre parenthèses. Cela implique de trouver un dénominateur commun, puis d’additionner les numérateurs. Alternativement, nous rappelons que l’associativité de l’addition dit que nous pouvons additionner trois nombres ou plus, quelle que soit comment ils sont regroupés. Maintenant, bien sûr, s’il y avait, par exemple, des exposants ou des multiplications dans ce problème, nous aurions besoin d’être un peu plus prudent. Mais comme nous n’avons qu’une addition, nous pouvons le faire dans n’importe quel ordre.
Débarrassons-nous d’abord des parenthèses. Nous savons maintenant que nous pouvons facilement additionner trois quarts et un quart parce que leurs dénominateurs sont les mêmes. Nous additionnons simplement les numérateurs. Trois quarts plus un quart, c’est quatre quarts. Et bien sûr, si on obtient quatre quarts, on a essentiellement un. Ainsi, trois quarts plus un quart est égal à un. Et nous pouvons maintenant additionner cinq treizièmes et un. Maintenant, nous pouvons écrire ceci sous forme de nombre fractionnaire. Ce serait un et cinq treizièmes. Alternativement, pensons combien de un treizième se trouvent dans un. Un doit être égal à treize treizièmes. Et ainsi, cinq treizièmes plus un est égal à cinq treizièmes plus treize treizièmes.
Maintenant que leurs dénominateurs sont égaux, nous additionnons simplement les numérateurs. Et nous obtenons cinq treizièmes plus treize treizièmes égale dix-huit treizièmes. Nous avons simplifié cinq treizièmes plus les trois quarts plus le quart en utilisant la propriété associative. Et nous avons dix-huit treizièmes.
Dans notre exemple suivant, nous verrons comment identifier la propriété de l’associativité avec des nombres rationnels.
Quelle équation indique la propriété de l’associativité de l’addition ? Est-ce (A) un demi plus moins un demi est égal à zéro ? (B) Un demi plus deux tiers est égal à deux tiers plus un demi. Est-ce (C) un demi plus deux tiers égale sept sixièmes ? (D) Un demi plus deux tiers plus trois quarts est égal à un demi plus deux tiers plus trois quarts. Ou (E) deux tiers plus zéro égale deux tiers.
Rappelez-vous, l’associativité de l’addition dit que la somme de trois nombres ou plus reste la même, quel que soit comment les nombres sont regroupés. Donc, nous allons examiner chacune de nos équations et identifier laquelle de celles-ci satisfait l’associativité. Nous allons négliger (A) immédiatement. (A), en fait, nous montre un exemple de l'opposé. L'opposé de un demi est moins un demi parce que le résultat est zéro lorsque nous les additionnons. Et qu’en est-il de (B) ? Eh bien, non, la propriété de l’associativité nous dit que nous pouvons effectuer l’addition dans n’importe quel ordre lorsqu’il y a trois nombres ou plus, et peu importe comment ces trois nombres ou plus sont regroupés. Donc (B) n’indique pas que c’est l’associativité. (C) nous donne juste une équation. Il nous dit qu’un demi plus deux tiers est égal à sept sixièmes, et donc ce n’est pas (C).
Alors, qu’en est-il de (D) ? Nous avons en effet trois nombres de chaque membre de notre équation, et ils sont regroupés différemment des deux membres. Sinon, les nombres restent inchangés. Donc, oui, (D) indique la propriété de l’associativité de l’addition. Si nous effectuons d’abord un demi plus deux tiers, puis additionner trois quarts, cela équivaut à additionner un demi au résultat de deux tiers plus trois quarts. Et donc la réponse est (D). (D) indique la propriété de l’associativité de l’addition. Nous pouvons voir très clairement que ce n’est pas (E). Cela nous montre simplement que lorsque nous additionnons zéro et un nombre, il ne change pas.
Maintenant, concentrons-nous sur l’équation illustrée dans la partie (E). Deux tiers plus zéro est égal à deux tiers. Nous avons dit que cela nous montre que lorsque nous additionnons zéro et un nombre, nous conservons ce nombre d’origine. Cela a un nom spécial. Tout comme (A) est un exemple de l'opposé, (E) est un exemple de la propriété de l’élément neutre de l’addition. On dit que l’élément neutre de l’addition est le zéro, puisque l’addition de zéro à un nombre ne le change pas.
Quelle propriété d’addition est démontrée par un demi plus zéro égale un demi ?
Bien, nous savons que lorsque nous additionnons zéro et un nombre, le nombre lui-même ne change pas. Ceci est connu comme la propriété de l’élément neutre de l’addition. Et donc, la propriété d’addition démontrée par l’équation un demi plus zéro égale un demi est la propriété de l’élément neutre de l’addition.
Voyons un autre exemple sur comment utiliser les propriétés d’addition de nombres rationnels pour effectuer un calcul.
Trouvez la valeur de un quart plus trois quarts plus moins un quart.
Commençons par rappeler ce que nous voulons dire par la propriété de l’associativité de l’addition. L’associativité de l’addition indique que la somme de trois nombres ou plus est la même, quel que soit comment ces nombres sont regroupés. Et donc nous n’avons pas vraiment besoin des parenthèses. Nous pouvons l’écrire comme un quart plus trois quarts plus moins un quart. Et puis, puisque nous pouvons effectuer les additions dans n’importe quel ordre, nous allons regrouper un quart et moins un quart. Alors, pourquoi cela est utile ? Eh bien, ici, nous avons un exemple de l'opposé. L’opposé d’un nombre 𝑎 est le nombre que lorsque nous l’additionnons au nombre initial 𝑎, nous obtenons zéro. En réalité, il ne s’agit que de ce nombre avec un moins.
Dans les parenthèses ici, nous avons un quart et moins un quart. Et donc leur somme doit être nulle. Moins un quart est l'opposé de un quart. Et donc, en réalité, la somme que nous faisons maintenant est trois quarts plus zéro, qui est simplement trois quarts. Un quart plus trois quarts plus moins un quart est trois quarts.
Dans cette vidéo, nous avons appris que l'opposé d’un nombre est le nombre que lorsque nous l’additionnons à l’original, nous obtenons zéro. En effet, ce que nous faisons, c’est que nous additionnons la version négative de ce nombre, donc l'opposé de 𝑎 est moins 𝑎. Nous avons également vu que la propriété de l’associativité qui nous indique que nous pouvons additionner trois nombres ou plus, quelle que soit comment ils sont regroupés. Nous obtiendrons les mêmes résultats quel que soit l’ordre dans lequel nous effectuons le calcul. Nous avons également vu que l’élément neutre de l’addition est zéro. Lorsque nous additionnons zéro et un nombre, le nombre ne change pas.
