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Vidéo de question : Calcul de l’angle de lancement d’un projectile à partir de son altitude maximale Physique

Un projectile est lancé à une vitesse initiale de 28 m/s et a un déplacement vertical maximal vers le haut depuis sa position de lancement de 4,4 m. À quel angle au-dessus de l’horizontale le projectile est-il lancé ?

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Transcription de vidéo

Un projectile est lancé à une vitesse initiale de 28 mètres par seconde et a un déplacement vertical maximal vers le haut depuis sa position de lancement de 4,4 mètres. À quel angle au-dessus de l’horizontale le projectile est-il lancé ?

Commençons par dessiner un schéma pour ce scénario. Nous avons un projectile qui est lancé avec une vitesse initiale, que nous appellerons 𝑉. Et il est lancé à un angle au-dessus de l’horizontale, que nous appellerons 𝜃. La seule force agissant sur ce projectile est la gravité, et elle agit verticalement vers le bas. Elle aura comme grandeur la masse du projectile, que nous appellerons 𝑚, multipliée par l’accélération due à la gravité, qui est 𝑔. Cette force vers le bas fait que le projectile suit une trajectoire courbe dans l’air. Et à un moment donné sur ce chemin, il atteint un déplacement vertical maximal vers le haut par rapport à sa position de lancement. Ceci s’appelle aussi la hauteur maximale du projectile ou son altitude maximale. Et comme on nous indique dans la question, ce déplacement vertical maximal vers le haut est mesuré à partir de la position de lancement du projectile. Et nous l’appellerons ℎ.

En ce point, le vecteur vitesse vertical du projectile est égale à zéro. C’est parce que le projectile a atteint le point le plus élevé de sa trajectoire. Après cela, il commencera à se déplacer vers le bas.

Pour répondre à cette question, nous commencerons par calculer le vecteur vitesse vertical initial du projectile. Nous pouvons le faire en traçant un graphique du vecteur vitesse initial du projectile. Nous avons la vitesse initiale 𝑉 à un angle de 𝜃 au-dessus de l’horizontale. Nous pouvons voir que 𝑉 a une composante horizontale et une composante verticale. Nous nous intéressons à la composante verticale, et nous l’appellerons 𝑉 𝑦. Celles-ci forment un triangle rectangle. On peut donc dire que 𝑉 𝑦 est égal à 𝑉 multiplié par le sinus de 𝜃. Et nous allons noter cela ici, à gauche.

Donc, si nous connaissons le vecteur vitesse vertical initial du projectile, nous pouvons calculer l’angle sous lequel il est lancé parce que nous connaissons sa vitesse initiale. Nous connaissons également la hauteur maximale atteinte par le projectile. Nous appliquerons une équation pour un objet subissant une accélération constante qui relie le vecteur vitesse de l’objet en un point donné au cours de son mouvement au déplacement en ce point donné et à son vecteur vitesse initial.

L’équation indique que le vecteur vitesse au carré est égale au vecteur vitesse initial au carré plus deux multiplié par l’accélération multipliée par le déplacement. Si nous considérons le mouvement vertical du projectile, lorsque le projectile a une altitude maximale, son vecteur vitesse est égale à zéro. Nous avons calculé que son vecteur vitesse vertical initial est égale à 𝑉 sin 𝜃. L’accélération subie par le projectile vaut moins 𝑔. C’est négatif parce que la gravité agit vers le bas. C’est dans le sens opposée au déplacement vertical positif. Et le déplacement vertical du projectile est ℎ.

En substituant chacune de ces valeurs dans notre équation, nous obtenons zéro égal à 𝑉 multiplié par sin 𝜃 le tout au carré moins deux 𝑔ℎ. Nous devons réorganiser cela pour obtenir une expression pour 𝜃. Ajoutons d’abord deux 𝑔ℎ aux deux côtés de l’équation, ce qui signifie que ces termes de droite s’annulent. Ensuite, nous prendrons la racine carrée des deux côtés. Et la racine carrée de 𝑉 sin 𝜃 le tout au carré donne simplement 𝑉 sin 𝜃. Ensuite, nous divisons les deux côtés par 𝑉, et ces 𝑉 à droite s’annulent, et prenons enfin l’arcsinus des deux côtés, ce qui laisse 𝜃 à droite.

Donc, notre équation pour l’angle de lancement du projectile est 𝜃 est égal à l’arcsinus de la racine carrée de deux 𝑔ℎ divisé par 𝑉. Tout ce qui reste à faire est d’insérer nos valeurs connues de 𝑉, 𝑔 et ℎ dans cette équation pour calculer 𝜃. La question nous dit que la vitesse initiale du projectile est de 28 mètres par seconde. Donc 𝑉 est égal à 28 mètres par seconde. La question nous dit également que le projectile a un déplacement vertical maximal vers le haut depuis sa position de lancement de 4,4 mètres. Donc ℎ est égal à 4,4 mètres. L’accélération due à la gravité 𝑔 est égale à 9,8 mètres par seconde au carré. 𝑉, ℎ et 𝑔 sont tous en unités SI, nous n’avons donc pas besoin de les convertir avant de continuer.

En les substituant dans notre équation, 𝜃 est égal à l’arcsinus de la racine carrée de deux multiplié par 9,8 mètres par seconde au carré multiplié par 4,4 mètres divisé par 28 mètres par seconde. En calculant la valeur de toute cette expression, nous trouvons que 𝜃 est égal à 19 degrés au degré près. L’angle au-dessus de l’horizontale selon lequel le projectile est lancé est de 19 degrés.

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