Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous parlons de puissance, plus précisément de la puissance
mécanique qui provient d’une force agissant sur un objet pour lui donner une vitesse
constante. En cours de route, nous apprendrons quelques unités différentes dans lesquelles la
puissance peut être exprimée.
Commençons par nous rappeler le lien entre la puissance et le travail. Le travail effectué sur un objet par une force 𝐹 est égal au produit de cette force
par le déplacement que subit l’objet. Ainsi, étant donné cette masse 𝑚 au repos sur une surface plane, nous pourrions
effectuer un travail sur cette masse en la soulevant par un déplacement 𝑑. La force que nous appliquerions pour ce faire est égale à la force du poids 𝑚
multipliée par 𝑔, l’accélération due à la gravité, agissant sur la masse.
La relation entre le travail et la puissance est que la puissance est une quantité de
travail qui s’effectue sur une certaine période de temps. En d’autres termes, si nous divisons le travail effectué sur cette boîte par le temps
nécessaire pour élever la boîte par ce déplacement, alors ce sera égal à la
puissance exercée sur la boîte. La puissance est donc un travail qui s’effectue au fil du temps. Et si nous nous concentrons sur cette partie de l’égalité, remarquez que sur le côté
gauche, nous avons un déplacement divisé par un temps. C’est égal à la vitesse d’un objet, le déplacement qu’un objet subit divisé par le
temps nécessaire pour être déplacé aussi loin. Cela signifie que nous pouvons écrire la puissance comme une force multipliée par la
vitesse.
Et notez que dans cette équation, nous supposons que la force 𝐹 et la vitesse 𝑣
sont constantes. En d’autres termes, dans le contexte de l’élévation de cette boîte, par exemple, la
force que nous appliquons correspond exactement à l’intensité de la force du poids
sur la boîte, ce qui signifie que lorsque notre masse est élevée, elle n’accélère
pas mais maintient plutôt une vitesse constante. Cette relation suppose alors que les objets sont en équilibre, et non en
accélération.
Pour voir un autre exemple de cela, disons que nous avons une masse sur une
pente. Cette masse est attachée à une corde qui passe sur une poulie, et nous tirons à
l’autre bout. Supposons que nous exerçons une force 𝐹 et que cette force est égale à la somme de
toutes les forces qui tendent à faire descendre cette masse sur la pente. C’est-à-dire qu’elle est égale à la force gravitationnelle dans cette direction ainsi
qu’à la force de friction qui résiste au mouvement de la masse. En raison de cet équilibre des forces sur la masse, la masse se déplace vers le haut
de la pente, nous dirons, à une vitesse 𝑣. Nous dirons alors que la puissance appliquée à cette masse est 𝐹 fois 𝑣.
Même si en général nous nous limiterons aux cas où 𝐹 et 𝑣 sont constantes, il est
certainement possible physiquement que l’une ou les deux puissent varier. Par exemple, pour revenir à notre cas de cette masse au repos sur une surface plane,
imaginez qu’au lieu d’exercer une force verticale, nous commencions à pousser sur la
masse horizontalement. Si nous devions tracer un graphique de la vitesse horizontale de notre masse par
rapport à la force appliquée, nous constaterions que si notre force appliquée était,
disons, nulle, alors la vitesse serait également nulle. Et si nous supposons qu’il y a une force de friction non nulle entre notre masse et
la surface qu’elle pourrait traverser, cela signifie que même si nous augmentons la
force appliquée 𝐹 jusqu’à un certain point, notre masse ne se déplacera pas. Mais finalement, avec une poussée suffisamment forte, notre boîte sera mise en
mouvement.
Si nous voulions calculer la puissance totale exercée sur la masse pendant ce temps,
nous verrions que ce n’est pas aussi simple que de multiplier une force par une
vitesse. Après tout, ces quantités varient. Mais graphiquement, si nous calculons l’aire sous cette courbe, alors elle est égale
à la puissance totale appliquée. Tout cela pour dire que même si 𝐹 et 𝑣 ne sont pas constantes, il est possible de
calculer la puissance.
Maintenant, avant de passer à des exemples, il est utile de dire un mot sur les
unités des valeurs de cette équation. Tout d’abord, en ce qui concerne la force, nous savons que l’unité de base SI de la
force est le newton, abrégé en N majuscule. Ensuite, l’unité de base SI de la puissance 𝑃 est le watt, abrégé en W
majuscule. Pour la vitesse, nous utilisons les unités de bases des mètres et des secondes.
Un mètre par seconde est l’unité de base de la vitesse. Tout cela signifie que si nous multiplions un newton de force par un mètre par
seconde de vitesse, nous obtenons un watt de puissance.
Mais ce ne sont pas les seules unités dans lesquelles nous pourrions exprimer des
forces, des vitesses et des puissances. Par exemple, une autre unité de force s’appelle le kilogramme-force, et son
abréviation est la suivante. Une autre unité de puissance est le cheval-vapeur, plus précisément le cheval-vapeur
métrique, abrégé CV. Et nous pourrions déterminer une vitesse ou une vélocité qui nous est donnée en
kilomètre par heure comme unité.
Il faut garder à l’esprit que si nous multiplions un kilogramme-force par un
kilomètre par heure, nous n’obtiendrons pas une puissance métrique. Les valeurs se calculent un peu différemment et de manière moins directe que les
unités de base du SI. C’est pourquoi nous aurons tendance à travailler dans les unités SI, mais il est
néanmoins utile de savoir comment convertir entre, par exemple, les newtons et les
kilogrammes-force, ou les watts et les chevaux-vapeur métriques.
Donc, ici, ces conversions concernent la force, la puissance et la vitesse. Un kilogramme-force est égal à 9,8 newtons. Une puissance métrique est égale à 735 watts. Notez qu’il existe également une unité appelée puissance mécanique, qui correspond à
un nombre différent de watts, donc nous devons être prudents. Et un mètre par seconde est égal à 3,6 kilomètres par heure. Sachant tout cela, regardons maintenant un exemple.
Étant donné que la vitesse maximale d’une voiture est de 270 kilomètres à l’heure et
que son moteur génère une force de 96 kilogrammes, déterminez la puissance de son
moteur.
D’accord, disons que c’est notre voiture qui roule à sa vitesse maximale de 270
kilomètres à l’heure. La voiture fait cela, nous dit-on, lorsque son moteur génère une force de 96
kilogrammes-force. Cette force, que nous appellerons 𝐹, pousse la voiture vers l’avant, ce qui pourrait
faire accélérer la voiture. Mais en fait, la voiture maintient cette vitesse constante parce que des forces
opposées s’opposent à son mouvement. Nous n’avons pas besoin de les examiner en détail, mais en général, il s’agit de
forces de frottement.
Notre objectif est de déterminer la puissance du moteur de cette voiture. Et nous pouvons commencer à le faire en nous rappelant que la puissance est égale à
la force multipliée par la vitesse. Cela suggère que nous pouvons calculer la puissance du moteur de notre voiture en
multipliant la force donnée par la vitesse donnée. Le problème, cependant, est que les unités utilisées ne sont pas cohérentes. En fin de compte, nous aimerions exprimer la puissance de notre moteur en
chevaux. Mais si nous multiplions ces valeurs telles quelles, nous obtiendrons un résultat en
kilogrammes-force kilomètres par heure. Pour clarifier la signification des unités concernées, nous pouvons les convertir en
unités de base SI plus familières.
Un kilogramme-force est égal à 9,8 newtons de force. De même, un kilomètre par heure est égal à un sur 3,6 mètres par seconde. Cela signifie que si nous prenons la valeur 96 et que nous la multiplions par 9,8,
nous aurons alors une force totale en unités de newton. Et si nous travaillons avec 270, en le divisant par 3,6, nous aurons une vitesse en
mètres par seconde. Tout cela est utile car cela signifie que si nous calculons cette puissance
maintenant, nous obtiendrons une réponse dans l’unité de base SI de la puissance, le
watt.
Mais comme nous l’avons mentionné, nous aimerions donner notre réponse finale en
unités de puissance métrique. Un cheval-vapeur métrique est égal à 735 watts, ce qui signifie que si nous divisons
le côté droit de notre équation par 735 watts par cheval-vapeur, où, comme avec nos
autres conversions, nous multiplions effectivement par un, c’est pourquoi nous
pouvons appliquer cette opération à un seul côté de notre équation, alors les unités
de newton-mètre par seconde s’éliminent avec les watts au dénominateur et nos unités
de cheval-vapeur passent en haut, de sorte que nous avons finalement une expression
de la puissance dans les unités qui nous intéressent.
Lorsque nous entrons cette expression dans notre calculatrice, nous obtenons un
résultat de 96 chevaux-vapeur exactement. C’est la puissance du moteur de notre voiture.
Voyons maintenant un exemple où, au lieu de calculer la puissance, nous calculons la
vitesse.
Un tracteur possède un moteur de 187 chevaux et il est en train de tirer contre une
force de 374 kilogrammes-force. Déterminez sa vitesse maximale.
Bon, disons que ceci est notre tracteur. Et on nous dit qu’il a un moteur d’une puissance de 187 chevaux-vapeur. Il exerce cette puissance pour tirer contre une force de 374 kilogrammes-force. C’est une façon de nous dire que la force qui s’oppose à la marche avant du tracteur
est de 374 kilogrammes-force. Pour que le tracteur puisse avancer comme prévu, il doit exercer cette force dans le
sens opposé. Son moteur lui fournit la puissance nécessaire pour y parvenir. Le tracteur se déplacera à une vitesse constante lorsque la force d’avancement 𝐹
correspondra à un poids de 374 kilogrammes-force.
Et lorsque les 187 chevaux de son moteur seront utilisés, il se déplacera à sa
vitesse maximale. Ces trois quantités - puissance, force et vitesse - sont liées par cette
équation. Puisque nous voulons calculer la vitesse plutôt que la puissance, nous pouvons
diviser les deux côtés par la force 𝐹, en éliminant cela sur la droite. Cela nous laisse avec le résultat que 𝑃 sur 𝐹 est égal à 𝑣. En théorie, nous pourrions calculer la vitesse maximale du tracteur en entrant notre
puissance et notre force dans cette équation.
Le problème, cependant, est que nous nous retrouverions avec des unités de puissance
par kilogramme-force, une unité peu familière pour la vitesse. Pour exprimer la vitesse maximale en unités plus familières, nous pouvons convertir
les chevaux-vapeur et les kilogrammes-force en leurs équivalents respectifs en
unités SI de base. Un cheval-vapeur métrique est égal à 735 watts. Et un kilogramme-force est égal à 9,8 newtons. Donc, si nous multiplions le numérateur de notre fraction par 735 watts par
cheval-vapeur, alors en termes d’unités, les chevaux-vapeur s’élimineront et il nous
restera des unités en watts. Et si nous multiplions également le dénominateur de notre fraction par 9,8 newtons
par kilogramme-force, alors le kilogramme-force s’effacera, nous laissant avec des
unités en newtons.
Notez que dans chaque cas, en multipliant par ces facteurs de conversion, nous
multiplions effectivement par un. C’est ce qui rend ces opérations algébriques admissibles. Lorsque toute la poussière se dépose alors, nous nous retrouvons avec des unités de
watts par newton. Et comme nous pouvons le déduire de notre équation, la puissance divisée par la force
est égale à la vitesse, un watt par newton est égal à un mètre par seconde.
Nous sommes presque prêts à calculer notre vitesse maximale 𝑣. Avant cela, il reste une dernière modification à apporter. Nous pourrions déclarer 𝑣 en mètres par seconde, mais étant donné les unités avec
lesquelles nous avons commencé, la puissance et le kilogrammes-force, il est plus
courant de déclarer les vitesses en kilomètres par heure. Si l’on se souvient qu’un mètre par seconde est égal à 3,6 kilomètres par heure, si
nous multiplions notre fraction par 3,6 kilomètres par heure par mètre par seconde,
en multipliant effectivement par un, alors nous voyons les unités de mètres par
seconde s’éliminer du numérateur et du dénominateur.
Enfin, nous avons une expression pour 𝑣 dans les unités d’intérêt. En calculant la vitesse, nous déterminons un résultat de 135 kilomètres par
heure. C’est la vitesse maximale que le tracteur peut atteindre.
Voyons maintenant un dernier exemple où notre véhicule se déplace sur une surface
inclinée.
Un véhicule de trois tonnes se déplaçait à 51 km/h sur une section horizontale de la
route. Lorsqu’il a atteint le bas d’une colline inclinée à l’horizontale selon un angle dont
le sinus est de 0,5, il a continué à se déplacer à la même vitesse sur la route. Étant donné que la résistance des deux sections de route est constante, il faut
déterminer l’augmentation de la puissance du véhicule au cheval-vapeur le plus
proche. Prenez l’accélération due à la gravité 𝑔 comme étant égale à 9,8 mètres par seconde
au carré.
Très bien, donc dans cet exemple, nous avons ce véhicule qui se déplace à l’origine
sur une section de route horizontale. Sa vitesse en ce point est de 51 kilomètres par heure. Et on nous dit que ce véhicule finit par atteindre la base d’une colline et commence
ensuite à monter la colline, en maintenant la même vitesse. Si nous appelons l’angle que forme cette pente avec l’horizontale 𝜃, on nous dit que
sin 𝜃 est égal à 0,5 ou à un demi.
On nous dit également que la résistance de la portion de route horizontale au
mouvement vers l’avant du véhicule est égale à la résistance de la portion de route
inclinée. En d’autres termes, les forces de frottement qui s’opposent au mouvement du véhicule
sont les mêmes dans les deux cas. Ce qui est différent, c’est qu’une fois que le véhicule se déplace en montée, il doit
maintenant travailler contre la force de gravité. Pour maintenir sa vitesse initiale, le véhicule devra augmenter la puissance générée
par son moteur. C’est cette augmentation que nous voulons calculer ici.
Avant de laisser de la place à l’écran pour travailler, rappelons que la masse de
notre véhicule, que nous appellerons 𝑚, nous est donnée comme étant trois
tonnes. Nous allons abréger en trois t. Pour démarrer notre solution, nous pouvons rappeler que lorsqu’un objet est soumis à
une force qui le fait se déplacer à une vitesse 𝑣, le produit de cette force et de
𝑣 est égal à la puissance qui lui est appliquée. Dans notre cas, cependant, nous voulons vraiment résoudre un problème d’augmentation
de la puissance, que le moteur de la voiture doit fournir, que nous appellerons
Δ𝑃. Cette augmentation de puissance doit fournir une augmentation de la force, Δ𝐹,
nécessaire pour que la voiture maintienne sa vitesse, 𝑣, lorsqu’elle se déplace sur
ce plan incliné.
Pour avoir une idée plus précise des forces en présence, regardons ce croquis en gros
plan et dessinons un schéma de corps libre. Rappelez-vous que cela implique d’esquisser toutes les forces qui agissent sur notre
véhicule. Nous savons que notre véhicule est soumis à la force gravitationnelle. Son intensité est la masse du véhicule multipliée par l’accélération due à la
gravité. Il est également soumis à une force normale et à une force qui résiste à son
mouvement sur cette surface de route. Enfin, il y a la force appliquée au véhicule, grâce à la puissance de son moteur. C’est ce qui lui permet de monter la pente.
Notre énoncé de problème nous a dit que ce que nous avons appelé 𝐹 indice r, la
force de résistance, n’a pas changé depuis que notre véhicule se déplaçait sur un
terrain plat jusqu’à cette inclinaison. Ce qui a changé, c’est que nous devons maintenant travailler contre la gravité. Plus précisément, si nous décomposons la force gravitationnelle en ses deux
composantes perpendiculaires, nous sommes maintenant opposés par cette composante de
cette force. Pour calculer la norme de cette composante, nous reconnaissons que le triangle que
nous avons esquissé est un triangle rectangle dont l’angle ici, tout comme l’angle
de notre inclinaison, a une mesure de 𝜃. Cela nous indique que la composante de la force gravitationnelle contre laquelle nous
devons maintenant travailler est 𝑚𝑔 fois sin 𝜃.
En intensité, cela est égal à l’augmentation de la force qui doit être exercée sur
notre véhicule pour le déplacer vers le haut de la colline. Nous pouvons donc remplacer Δ𝐹 dans notre équation par 𝑚 fois 𝑔 fois sin 𝜃. Et notez que nous connaissons 𝑚, qui nous est donnée, tout comme l’accélération due
à la gravité 𝑔, tout comme sin 𝜃 et la vitesse 𝑣. Mais si nous introduisons toutes ces valeurs, nous constatons que les unités
concernées ne correspondent pas entre elles. C’est-à-dire qu’elles ne proviennent pas toutes du même système d’unités. Et même celles qui le sont ne sont pas exprimées de la même manière. Par exemple, notre accélération due à la gravité a une distance exprimée en mètres,
alors que notre vitesse a une distance exprimée en kilomètres.
Pour donner un sens à notre calcul pour Δ𝑃, nous voulons que les unités de droite
soient toutes sur la même base. Pour ce faire, nous pouvons rappeler qu’une tonne métrique est égale à 1000
kilogrammes et qu’un kilomètre par heure est égal à un sur 3,6 mètres par
seconde. Une tonne étant égale à 1000 kilogrammes, trois tonnes sont égales à 3000
kilogrammes. Et en considérant cette conversion d’unité ici, nous constatons que si nous divisons
51 par 3,6, alors nous avons effectivement changé les unités de cette valeur en
mètres par seconde.
Maintenant, toutes nos unités sont des unités de base SI, les kilogrammes pour la
masse, les mètres pour la distance et les secondes pour le temps. Si nous devions calculer Δ𝑃 maintenant, nous obtiendrions un résultat en unités de
watts, l’unité de base SI de la puissance. Notre question, cependant, voulait que nous indiquions cette augmentation de
puissance en unités de cheval-vapeur. Un cheval-vapeur métrique est égal à 735 watts. Donc si nous divisons le côté droit de notre équation par 735 watts par
cheval-vapeur, ce que nous déterminerons, et nous pouvons le vérifier si nous le
voulons, c’est que toutes les unités de base SI s’élimineront, tandis que les unités
de puissance passeront au numérateur. Tout cela pour dire que nous obtiendrons les unités que nous recherchons, les
chevaux-vapeur.
Lorsque nous calculons cette fraction, en arrondissant au cheval-vapeur le plus
proche, nous obtenons un résultat de 283. C’est l’augmentation de la puissance nécessaire du moteur de ce véhicule pour qu’il
continue à se déplacer à la même vitesse lorsqu’il remonte la pente.
En terminant, passons en revue quelques points clés de cette leçon. Nous avons vu ici que la puissance mécanique est la vitesse à laquelle une force
fonctionne. Sous la forme d’une équation, nous dirions que la force appliquée à un objet pour le
faire bouger à une vitesse constante 𝑣 lorsqu’elle est multipliée par cette vitesse
est égale à la puissance appliquée. Cette équation suppose un équilibre des forces agissant sur l’objet d’intérêt que
nous considérons. En d’autres termes, l’accélération de cet objet est égale à zéro. Et enfin, nous avons vu que les unités dans lesquelles 𝑃, 𝐹 et 𝑣 sont exprimées
peuvent varier.