Vidéo de la leçon: Puissance Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous parlons de puissance, plus précisément de la puissance mécanique qui provient d’une force agissant sur un objet pour lui donner une vitesse constante. En cours de route, nous apprendrons quelques unités différentes dans lesquelles la puissance peut être exprimée.

Commençons par nous rappeler le lien entre la puissance et le travail. Le travail effectué sur un objet par une force 𝐹 est égal au produit de cette force par le déplacement que subit l’objet. Ainsi, étant donné cette masse 𝑚 au repos sur une surface plane, nous pourrions effectuer un travail sur cette masse en la soulevant par un déplacement 𝑑. La force que nous appliquerions pour ce faire est égale à la force du poids 𝑚 multipliée par 𝑔, l’accélération due à la gravité, agissant sur la masse.

La relation entre le travail et la puissance est que la puissance est une quantité de travail qui s’effectue sur une certaine période de temps. En d’autres termes, si nous divisons le travail effectué sur cette boîte par le temps nécessaire pour élever la boîte par ce déplacement, alors ce sera égal à la puissance exercée sur la boîte. La puissance est donc un travail qui s’effectue au fil du temps. Et si nous nous concentrons sur cette partie de l’égalité, remarquez que sur le côté gauche, nous avons un déplacement divisé par un temps. C’est égal à la vitesse d’un objet, le déplacement qu’un objet subit divisé par le temps nécessaire pour être déplacé aussi loin. Cela signifie que nous pouvons écrire la puissance comme une force multipliée par la vitesse.

Et notez que dans cette équation, nous supposons que la force 𝐹 et la vitesse 𝑣 sont constantes. En d’autres termes, dans le contexte de l’élévation de cette boîte, par exemple, la force que nous appliquons correspond exactement à l’intensité de la force du poids sur la boîte, ce qui signifie que lorsque notre masse est élevée, elle n’accélère pas mais maintient plutôt une vitesse constante. Cette relation suppose alors que les objets sont en équilibre, et non en accélération.

Pour voir un autre exemple de cela, disons que nous avons une masse sur une pente. Cette masse est attachée à une corde qui passe sur une poulie, et nous tirons à l’autre bout. Supposons que nous exerçons une force 𝐹 et que cette force est égale à la somme de toutes les forces qui tendent à faire descendre cette masse sur la pente. C’est-à-dire qu’elle est égale à la force gravitationnelle dans cette direction ainsi qu’à la force de friction qui résiste au mouvement de la masse. En raison de cet équilibre des forces sur la masse, la masse se déplace vers le haut de la pente, nous dirons, à une vitesse 𝑣. Nous dirons alors que la puissance appliquée à cette masse est 𝐹 fois 𝑣.

Même si en général nous nous limiterons aux cas où 𝐹 et 𝑣 sont constantes, il est certainement possible physiquement que l’une ou les deux puissent varier. Par exemple, pour revenir à notre cas de cette masse au repos sur une surface plane, imaginez qu’au lieu d’exercer une force verticale, nous commencions à pousser sur la masse horizontalement. Si nous devions tracer un graphique de la vitesse horizontale de notre masse par rapport à la force appliquée, nous constaterions que si notre force appliquée était, disons, nulle, alors la vitesse serait également nulle. Et si nous supposons qu’il y a une force de friction non nulle entre notre masse et la surface qu’elle pourrait traverser, cela signifie que même si nous augmentons la force appliquée 𝐹 jusqu’à un certain point, notre masse ne se déplacera pas. Mais finalement, avec une poussée suffisamment forte, notre boîte sera mise en mouvement.

Si nous voulions calculer la puissance totale exercée sur la masse pendant ce temps, nous verrions que ce n’est pas aussi simple que de multiplier une force par une vitesse. Après tout, ces quantités varient. Mais graphiquement, si nous calculons l’aire sous cette courbe, alors elle est égale à la puissance totale appliquée. Tout cela pour dire que même si 𝐹 et 𝑣 ne sont pas constantes, il est possible de calculer la puissance.

Maintenant, avant de passer à des exemples, il est utile de dire un mot sur les unités des valeurs de cette équation. Tout d’abord, en ce qui concerne la force, nous savons que l’unité de base SI de la force est le newton, abrégé en N majuscule. Ensuite, l’unité de base SI de la puissance 𝑃 est le watt, abrégé en W majuscule. Pour la vitesse, nous utilisons les unités de bases des mètres et des secondes. Un mètre par seconde est l’unité de base de la vitesse. Tout cela signifie que si nous multiplions un newton de force par un mètre par seconde de vitesse, nous obtenons un watt de puissance.

Mais ce ne sont pas les seules unités dans lesquelles nous pourrions exprimer des forces, des vitesses et des puissances. Par exemple, une autre unité de force s’appelle le kilogramme-force, et son abréviation est la suivante. Une autre unité de puissance est le cheval-vapeur, plus précisément le cheval-vapeur métrique, abrégé CV. Et nous pourrions déterminer une vitesse ou une vélocité qui nous est donnée en kilomètre par heure comme unité.

Il faut garder à l’esprit que si nous multiplions un kilogramme-force par un kilomètre par heure, nous n’obtiendrons pas une puissance métrique. Les valeurs se calculent un peu différemment et de manière moins directe que les unités de base du SI. C’est pourquoi nous aurons tendance à travailler dans les unités SI, mais il est néanmoins utile de savoir comment convertir entre, par exemple, les newtons et les kilogrammes-force, ou les watts et les chevaux-vapeur métriques.

Donc, ici, ces conversions concernent la force, la puissance et la vitesse. Un kilogramme-force est égal à 9,8 newtons. Une puissance métrique est égale à 735 watts. Notez qu’il existe également une unité appelée puissance mécanique, qui correspond à un nombre différent de watts, donc nous devons être prudents. Et un mètre par seconde est égal à 3,6 kilomètres par heure. Sachant tout cela, regardons maintenant un exemple.

Étant donné que la vitesse maximale d’une voiture est de 270 kilomètres à l’heure et que son moteur génère une force de 96 kilogrammes, déterminez la puissance de son moteur.

D’accord, disons que c’est notre voiture qui roule à sa vitesse maximale de 270 kilomètres à l’heure. La voiture fait cela, nous dit-on, lorsque son moteur génère une force de 96 kilogrammes-force. Cette force, que nous appellerons 𝐹, pousse la voiture vers l’avant, ce qui pourrait faire accélérer la voiture. Mais en fait, la voiture maintient cette vitesse constante parce que des forces opposées s’opposent à son mouvement. Nous n’avons pas besoin de les examiner en détail, mais en général, il s’agit de forces de frottement.

Notre objectif est de déterminer la puissance du moteur de cette voiture. Et nous pouvons commencer à le faire en nous rappelant que la puissance est égale à la force multipliée par la vitesse. Cela suggère que nous pouvons calculer la puissance du moteur de notre voiture en multipliant la force donnée par la vitesse donnée. Le problème, cependant, est que les unités utilisées ne sont pas cohérentes. En fin de compte, nous aimerions exprimer la puissance de notre moteur en chevaux. Mais si nous multiplions ces valeurs telles quelles, nous obtiendrons un résultat en kilogrammes-force kilomètres par heure. Pour clarifier la signification des unités concernées, nous pouvons les convertir en unités de base SI plus familières.

Un kilogramme-force est égal à 9,8 newtons de force. De même, un kilomètre par heure est égal à un sur 3,6 mètres par seconde. Cela signifie que si nous prenons la valeur 96 et que nous la multiplions par 9,8, nous aurons alors une force totale en unités de newton. Et si nous travaillons avec 270, en le divisant par 3,6, nous aurons une vitesse en mètres par seconde. Tout cela est utile car cela signifie que si nous calculons cette puissance maintenant, nous obtiendrons une réponse dans l’unité de base SI de la puissance, le watt.

Mais comme nous l’avons mentionné, nous aimerions donner notre réponse finale en unités de puissance métrique. Un cheval-vapeur métrique est égal à 735 watts, ce qui signifie que si nous divisons le côté droit de notre équation par 735 watts par cheval-vapeur, où, comme avec nos autres conversions, nous multiplions effectivement par un, c’est pourquoi nous pouvons appliquer cette opération à un seul côté de notre équation, alors les unités de newton-mètre par seconde s’éliminent avec les watts au dénominateur et nos unités de cheval-vapeur passent en haut, de sorte que nous avons finalement une expression de la puissance dans les unités qui nous intéressent.

Lorsque nous entrons cette expression dans notre calculatrice, nous obtenons un résultat de 96 chevaux-vapeur exactement. C’est la puissance du moteur de notre voiture.

Voyons maintenant un exemple où, au lieu de calculer la puissance, nous calculons la vitesse.

Un tracteur possède un moteur de 187 chevaux et il est en train de tirer contre une force de 374 kilogrammes-force. Déterminez sa vitesse maximale.

Bon, disons que ceci est notre tracteur. Et on nous dit qu’il a un moteur d’une puissance de 187 chevaux-vapeur. Il exerce cette puissance pour tirer contre une force de 374 kilogrammes-force. C’est une façon de nous dire que la force qui s’oppose à la marche avant du tracteur est de 374 kilogrammes-force. Pour que le tracteur puisse avancer comme prévu, il doit exercer cette force dans le sens opposé. Son moteur lui fournit la puissance nécessaire pour y parvenir. Le tracteur se déplacera à une vitesse constante lorsque la force d’avancement 𝐹 correspondra à un poids de 374 kilogrammes-force.

Et lorsque les 187 chevaux de son moteur seront utilisés, il se déplacera à sa vitesse maximale. Ces trois quantités - puissance, force et vitesse - sont liées par cette équation. Puisque nous voulons calculer la vitesse plutôt que la puissance, nous pouvons diviser les deux côtés par la force 𝐹, en éliminant cela sur la droite. Cela nous laisse avec le résultat que 𝑃 sur 𝐹 est égal à 𝑣. En théorie, nous pourrions calculer la vitesse maximale du tracteur en entrant notre puissance et notre force dans cette équation.

Le problème, cependant, est que nous nous retrouverions avec des unités de puissance par kilogramme-force, une unité peu familière pour la vitesse. Pour exprimer la vitesse maximale en unités plus familières, nous pouvons convertir les chevaux-vapeur et les kilogrammes-force en leurs équivalents respectifs en unités SI de base. Un cheval-vapeur métrique est égal à 735 watts. Et un kilogramme-force est égal à 9,8 newtons. Donc, si nous multiplions le numérateur de notre fraction par 735 watts par cheval-vapeur, alors en termes d’unités, les chevaux-vapeur s’élimineront et il nous restera des unités en watts. Et si nous multiplions également le dénominateur de notre fraction par 9,8 newtons par kilogramme-force, alors le kilogramme-force s’effacera, nous laissant avec des unités en newtons.

Notez que dans chaque cas, en multipliant par ces facteurs de conversion, nous multiplions effectivement par un. C’est ce qui rend ces opérations algébriques admissibles. Lorsque toute la poussière se dépose alors, nous nous retrouvons avec des unités de watts par newton. Et comme nous pouvons le déduire de notre équation, la puissance divisée par la force est égale à la vitesse, un watt par newton est égal à un mètre par seconde.

Nous sommes presque prêts à calculer notre vitesse maximale 𝑣. Avant cela, il reste une dernière modification à apporter. Nous pourrions déclarer 𝑣 en mètres par seconde, mais étant donné les unités avec lesquelles nous avons commencé, la puissance et le kilogrammes-force, il est plus courant de déclarer les vitesses en kilomètres par heure. Si l’on se souvient qu’un mètre par seconde est égal à 3,6 kilomètres par heure, si nous multiplions notre fraction par 3,6 kilomètres par heure par mètre par seconde, en multipliant effectivement par un, alors nous voyons les unités de mètres par seconde s’éliminer du numérateur et du dénominateur.

Enfin, nous avons une expression pour 𝑣 dans les unités d’intérêt. En calculant la vitesse, nous déterminons un résultat de 135 kilomètres par heure. C’est la vitesse maximale que le tracteur peut atteindre.

Voyons maintenant un dernier exemple où notre véhicule se déplace sur une surface inclinée.

Un véhicule de trois tonnes se déplaçait à 51 km/h sur une section horizontale de la route. Lorsqu’il a atteint le bas d’une colline inclinée à l’horizontale selon un angle dont le sinus est de 0,5, il a continué à se déplacer à la même vitesse sur la route. Étant donné que la résistance des deux sections de route est constante, il faut déterminer l’augmentation de la puissance du véhicule au cheval-vapeur le plus proche. Prenez l’accélération due à la gravité 𝑔 comme étant égale à 9,8 mètres par seconde au carré.

Très bien, donc dans cet exemple, nous avons ce véhicule qui se déplace à l’origine sur une section de route horizontale. Sa vitesse en ce point est de 51 kilomètres par heure. Et on nous dit que ce véhicule finit par atteindre la base d’une colline et commence ensuite à monter la colline, en maintenant la même vitesse. Si nous appelons l’angle que forme cette pente avec l’horizontale 𝜃, on nous dit que sin 𝜃 est égal à 0,5 ou à un demi.

On nous dit également que la résistance de la portion de route horizontale au mouvement vers l’avant du véhicule est égale à la résistance de la portion de route inclinée. En d’autres termes, les forces de frottement qui s’opposent au mouvement du véhicule sont les mêmes dans les deux cas. Ce qui est différent, c’est qu’une fois que le véhicule se déplace en montée, il doit maintenant travailler contre la force de gravité. Pour maintenir sa vitesse initiale, le véhicule devra augmenter la puissance générée par son moteur. C’est cette augmentation que nous voulons calculer ici.

Avant de laisser de la place à l’écran pour travailler, rappelons que la masse de notre véhicule, que nous appellerons 𝑚, nous est donnée comme étant trois tonnes. Nous allons abréger en trois t. Pour démarrer notre solution, nous pouvons rappeler que lorsqu’un objet est soumis à une force qui le fait se déplacer à une vitesse 𝑣, le produit de cette force et de 𝑣 est égal à la puissance qui lui est appliquée. Dans notre cas, cependant, nous voulons vraiment résoudre un problème d’augmentation de la puissance, que le moteur de la voiture doit fournir, que nous appellerons Δ𝑃. Cette augmentation de puissance doit fournir une augmentation de la force, Δ𝐹, nécessaire pour que la voiture maintienne sa vitesse, 𝑣, lorsqu’elle se déplace sur ce plan incliné.

Pour avoir une idée plus précise des forces en présence, regardons ce croquis en gros plan et dessinons un schéma de corps libre. Rappelez-vous que cela implique d’esquisser toutes les forces qui agissent sur notre véhicule. Nous savons que notre véhicule est soumis à la force gravitationnelle. Son intensité est la masse du véhicule multipliée par l’accélération due à la gravité. Il est également soumis à une force normale et à une force qui résiste à son mouvement sur cette surface de route. Enfin, il y a la force appliquée au véhicule, grâce à la puissance de son moteur. C’est ce qui lui permet de monter la pente.

Notre énoncé de problème nous a dit que ce que nous avons appelé 𝐹 indice r, la force de résistance, n’a pas changé depuis que notre véhicule se déplaçait sur un terrain plat jusqu’à cette inclinaison. Ce qui a changé, c’est que nous devons maintenant travailler contre la gravité. Plus précisément, si nous décomposons la force gravitationnelle en ses deux composantes perpendiculaires, nous sommes maintenant opposés par cette composante de cette force. Pour calculer la norme de cette composante, nous reconnaissons que le triangle que nous avons esquissé est un triangle rectangle dont l’angle ici, tout comme l’angle de notre inclinaison, a une mesure de 𝜃. Cela nous indique que la composante de la force gravitationnelle contre laquelle nous devons maintenant travailler est 𝑚𝑔 fois sin 𝜃.

En intensité, cela est égal à l’augmentation de la force qui doit être exercée sur notre véhicule pour le déplacer vers le haut de la colline. Nous pouvons donc remplacer Δ𝐹 dans notre équation par 𝑚 fois 𝑔 fois sin 𝜃. Et notez que nous connaissons 𝑚, qui nous est donnée, tout comme l’accélération due à la gravité 𝑔, tout comme sin 𝜃 et la vitesse 𝑣. Mais si nous introduisons toutes ces valeurs, nous constatons que les unités concernées ne correspondent pas entre elles. C’est-à-dire qu’elles ne proviennent pas toutes du même système d’unités. Et même celles qui le sont ne sont pas exprimées de la même manière. Par exemple, notre accélération due à la gravité a une distance exprimée en mètres, alors que notre vitesse a une distance exprimée en kilomètres.

Pour donner un sens à notre calcul pour Δ𝑃, nous voulons que les unités de droite soient toutes sur la même base. Pour ce faire, nous pouvons rappeler qu’une tonne métrique est égale à 1000 kilogrammes et qu’un kilomètre par heure est égal à un sur 3,6 mètres par seconde. Une tonne étant égale à 1000 kilogrammes, trois tonnes sont égales à 3000 kilogrammes. Et en considérant cette conversion d’unité ici, nous constatons que si nous divisons 51 par 3,6, alors nous avons effectivement changé les unités de cette valeur en mètres par seconde.

Maintenant, toutes nos unités sont des unités de base SI, les kilogrammes pour la masse, les mètres pour la distance et les secondes pour le temps. Si nous devions calculer Δ𝑃 maintenant, nous obtiendrions un résultat en unités de watts, l’unité de base SI de la puissance. Notre question, cependant, voulait que nous indiquions cette augmentation de puissance en unités de cheval-vapeur. Un cheval-vapeur métrique est égal à 735 watts. Donc si nous divisons le côté droit de notre équation par 735 watts par cheval-vapeur, ce que nous déterminerons, et nous pouvons le vérifier si nous le voulons, c’est que toutes les unités de base SI s’élimineront, tandis que les unités de puissance passeront au numérateur. Tout cela pour dire que nous obtiendrons les unités que nous recherchons, les chevaux-vapeur.

Lorsque nous calculons cette fraction, en arrondissant au cheval-vapeur le plus proche, nous obtenons un résultat de 283. C’est l’augmentation de la puissance nécessaire du moteur de ce véhicule pour qu’il continue à se déplacer à la même vitesse lorsqu’il remonte la pente.

En terminant, passons en revue quelques points clés de cette leçon. Nous avons vu ici que la puissance mécanique est la vitesse à laquelle une force fonctionne. Sous la forme d’une équation, nous dirions que la force appliquée à un objet pour le faire bouger à une vitesse constante 𝑣 lorsqu’elle est multipliée par cette vitesse est égale à la puissance appliquée. Cette équation suppose un équilibre des forces agissant sur l’objet d’intérêt que nous considérons. En d’autres termes, l’accélération de cet objet est égale à zéro. Et enfin, nous avons vu que les unités dans lesquelles 𝑃, 𝐹 et 𝑣 sont exprimées peuvent varier.