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Vidéo de question : Analyser l’air dans une colonne d’air Physique

Une colonne d’air est définie comme l’air dans un pavé droit ayant une section transversale d’un mètre carré qui s’étend du sol jusqu’au sommet de l’atmosphère terrestre, comme le montre le schéma. Le sommet de l’atmosphère peut être pris comme étant à 15 km au-dessus de la surface de la Terre. La pression de l’air à la base d’une colonne d’air est de 101 kPa. Trouvez le poids de l’air dans une colonne d’air.

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Transcription de vidéo

Une colonne d’air est définie comme l’air dans un pavé droit ayant une section transversale d’un mètre carré qui s’étend du sol jusqu’au sommet de l’atmosphère terrestre, comme le montre le schéma. Le sommet de l’atmosphère peut être pris comme étant à 15 kilomètres au-dessus de la surface de la Terre. La pression de l’air à la base d’une colonne d’air est de 101 kilopascals. Trouvez le poids de l’air dans une colonne d’air.

Sur notre schéma, nous voyons à quoi ressemble une colonne d’air. D’un point de vue différent, une colonne d’air pourrait ressembler à ceci. Le haut et la base de la colonne d’air ont tous deux une superficie d’un mètre carré et cette colonne mesure 15 kilomètres de haut. Une colonne d’air contient bien sûr de l’air, et nous voulons ici déterminer le poids de cet air. Un important fait lié est que la pression à la base de la colonne d’air, la pression sur le mètre carré ici, est de 101 kilopascals. Maintenant, en général, une pression est égale à une force étalée sur une certaine aire. La pression à la base de notre colonne d’air est répartie sur un mètre carré. Et cette pression est due à la force du poids de l’air dans la colonne d’air, ce que nous appellerons 𝑝.

Notez que le poids de l’air est en effet une force. C’est la masse de l’air dans la colonne multipliée par l’accélération due à la gravité 𝑔. Puisque nous voulons résoudre cette équation en fonction du poids de cet air, réarrangeons-la pour que 𝑝 en soit le sujet. Nous pouvons commencer à faire cela en inversant les côtés de l’équation, puis en multipliant les deux côtés par un mètre carré, ce qui annule ce facteur à gauche. Nous avons alors que le poids de l’air dans la colonne d’air est égal à 𝑃 𝑏, la pression à la base de la colonne, fois un mètre carré. Et cette pression à la base est donnée comme étant de 101 kilopascals. Maintenant, un kilopascal est égal à 1000 pascals, nous pouvons donc réécrire le poids de l’air dans notre colonne d’air comme 101 000 pascals fois un mètre carré.

Et maintenant, rappelons qu’un pascal est égal à un newton sur un mètre carré. En remplaçant un newton par mètre carré par des pascals dans notre équation, notez qu’un sur un mètre carré s’annule avec un mètre carré de sorte que les unités finales de notre résultat sont des newtons, les unités d’une force. Et en fait, nous obtenons une réponse de 101 000 newtons, ce qui correspond au poids de l’air dans la colonne d’air. Et c’est aussi la force qui est exercée sur la base de la colonne d’air.

Mettons de côté ce résultat, puis passons à la deuxième partie de notre question. La deuxième partie dit ceci.

Trouvez la masse de l’air dans une colonne d’air. Arrondissez votre réponse au kilogramme près.

Nous avons donc calculé le poids de l’air dans une colonne d’air. Et maintenant, nous voulons calculer la masse de cet air. Nous pouvons commencer à faire cela en rappelant que le poids d’un objet est égal à la masse de cet objet multipliée par l’accélération due à la gravité. Dans notre cas, puisque nous sommes assez proches de la surface de la Terre, nous considérerons que 𝑔 vaut exactement 9,8 mètres par seconde au carré. Ainsi, le poids de l’air dans notre colonne d’air est égal à la masse de cet air fois 𝑔. Ou en divisant les deux côtés de cette équation par 𝑔 de sorte qu’elle s’annule à droite, nous trouvons que 𝑚 est égal à 𝑝 divisé par 𝑔. Nous savons de la question précédente que 𝑝 vaut 101 000 newtons. Et en utilisant notre valeur connue pour 𝑔, nous trouvons qu’au kilogramme près, 𝑚 est de 10 306. C’est la masse d’air dans une colonne d’air, et nous voyons qu’elle est en fait assez élevée.

Mettons également ce résultat de côté, et passons maintenant à la partie suivante de notre question.

La troisième partie dit : « Trouvez la masse volumique moyenne de l’air dans la colonne d’air. Arrondissez votre réponse à deux décimales. »

Notre croquis de la distribution des molécules d’air dans notre colonne montre que la masse volumique de l’air dans cette colonne n’est pas constante. En commençant par le haut de la colonne, plus nous nous rapprochons du niveau du sol, plus l’air dans la colonne est dense. Ici, cependant, nous cherchons à calculer la masse volumique moyenne de l’air dans la colonne. Rappelons que la masse volumique d’un objet est égale à la masse de cet objet divisée par le volume que l’objet occupe. Par conséquent, la masse volumique moyenne de l’air dans la colonne d’air, nous l’appellerons 𝜌 indice moy, est égale à la masse d’air dans la colonne divisée par le volume de la colonne.

Nous savons que la base de la colonne, ainsi que son sommet, ont une aire d’un mètre carré. Et si nous multiplions cela par la hauteur de la colonne, 15 kilomètres, nous aurons le volume de la colonne. Avant de trouver ce volume, convertissons donc notre hauteur en kilomètres en une hauteur en mètres. Nous rappelons que 1000 mètres font un kilomètre, ce qui signifie que si nous multiplions 15 par 1000, nous obtiendrons le nombre de mètres qui équivaut à 15 kilomètres. 15 fois 1000 font 15 000, et 15 000 mètres fois un mètre carré est égal à 15 000 mètres cubes. C’est le volume de notre colonne d’air. Si nous insérons ensuite la valeur de la masse d’air dans une colonne d’air et arrondissons la fraction résultante à deux décimales, alors nous obtenons un résultat de 0,69 kilogramme par mètre cube. Il s’agit de la masse volumique moyenne de l’air dans la colonne d’air, arrondie à deux décimales.

Nous copions maintenant ce résultat sur le côté et passons à la dernière partie de notre question.

Supposons que la masse volumique de l’air dans la colonne d’air varie uniformément de bas en haut. Quelle est la masse volumique de l’air en haut de la colonne d’air si la masse volumique à la base de la colonne est de 1,23 kilogramme par mètre cube ? Arrondissez votre réponse à deux décimales.

Plus tôt, nous avons évoqué le fait que la masse volumique de l’air dans la colonne d’air n’est pas constante, que l’air devient plus dense lorsque nous nous rapprochons du niveau du sol. Dans cette partie de notre question, nous allons supposer que comme la masse volumique de l’air dans la colonne varie, elle varie uniformément de bas en haut. Jusqu’à présent, nous avons calculé la masse volumique moyenne de l’air dans la colonne, et on nous donne maintenant la masse volumique de l’air à la base de la colonne. Sur la base de tout cela, nous voulons calculer la masse volumique de l’air en haut de la colonne, à 15 kilomètres au-dessus du sol. En libérant de l’espace pour travailler, nommons la masse volumique de l’air en haut de la colonne d’air 𝜌 indice ℎ. De même, nous appellerons la masse volumique de l’air à la base de la colonne 𝜌 indice 𝑏.

Maintenant, et c’est un point crucial, parce que la masse volumique de l’air varie uniformément dans cette colonne, nous savons que si nous montons à mi-hauteur de la colonne à une hauteur de 7,5 kilomètres, alors la masse volumique de l’air au milieu de la hauteur de la colonne sera la masse volumique moyenne d’air dans la colonne, 𝜌 indice moy. Nous connaissons cette masse volumique moyenne, et on nous a donné la masse volumique à la base de notre colonne d’air. 𝜌 indice 𝑏 est de 1,23 kilogrammes par mètre cube. Donc, nous connaissons 𝜌 indice 𝑏, nous connaissons 𝜌 indice moy, et nous voulons calculer 𝜌 indice ℎ. Pour esquisser cela d’une manière légèrement différente, si nous imaginons commencer à zéro kilomètre d’altitude, nous savons que la masse volumique de l’air est 𝜌 indice 𝑏. Ensuite, 7,5 kilomètres plus haut, la masse volumique de l’air est 𝜌 indice moy. Et 7,5 kilomètres plus haut, à 15 kilomètres au total, la masse volumique de l’air est 𝜌 indice ℎ.

Le fait que la densité de l’air varie uniformément sur toute la hauteur de cette colonne signifie que si nous prenons la différence entre 𝜌 indice avg et 𝜌 indice 𝑏, c’est-à-dire si nous soustrayons la densité atmosphérique moyenne de la densité atmosphérique à la base de la colonne, alors cette différence sera égale à la différence entre 𝜌 indice moy et 𝜌 indice ℎ. C’est-à-dire que cette différence ici est égale à cette différence ici. Nous pouvons écrire cela comme une équation. Nous pouvons dire que la masse volumique de l’air à la base de la colonne moins la masse volumique moyenne de l’air dans la colonne est égale à la masse volumique moyenne de l’air dans la colonne moins la masse volumique de l’air en haut de la colonne.

Dans cette équation, nous connaissons 𝜌 indice 𝑏 et 𝜌 indice moy. Et nous voulons calculer 𝜌 indice ℎ. Si nous multiplions les deux côtés de cette équation par moins un, alors cela change tous les signes devant tous les termes. Ensuite, si nous ajoutons 𝜌 indice moy aux deux côtés de l’équation, nous obtenons ce résultat : la masse volumique de l’air en haut de la colonne est égale à deux fois la masse volumique de l’air moyenne moins la masse volumique à la base de la colonne.

Nous sommes presque prêts à remplacer et à calculer 𝜌 indice ℎ. En le faisant, une note importante est que nous n’utiliserons pas cette réponse arrondie que nous avons obtenue pour 𝜌 indice moy. Au lieu de cela, nous insérons la fraction exacte que nous avons utilisée pour calculer 𝜌 indice moy afin de ne perdre aucune précision. Cette fraction, rappelons-nous, est égale à la masse de l’air dans la colonne d’air divisée par le volume de la colonne. Ici, nous avons également substitué la masse volumique de l’air à la base de la colonne d’air. Ainsi, lorsque nous entrons cette expression sur notre calculatrice, à deux décimales près, nous obtenons un résultat de 0,14 kilogramme par mètre cube. Voilà la masse volumique de l’air en haut de la colonne d’air.

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