Vidéo : Principe d’incertitude plus général, au-delà du quantum

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Principe d’incertitude plus général, au-delà du quantum

17:47

Transcription de vidéo

Vous avez probablement entendu parler du principe d’incertitude de Heisenberg de la mécanique quantique. Plus vous en savez sur la position d’une particule, moins vous êtes certain de sa vitesse, et inversement. Mon but ici est que vous finissiez cette vidéo avec le sentiment que cela est tout à fait raisonnable. Ça va prendre du temps. Mais je pense que vous conviendrez que creuser en profondeur en vaut la peine.

Vous voyez, le principe d’incertitude est en fait un exemple spécifique d’un compromis beaucoup plus général qui se manifeste dans de nombreuses circonstances quotidiennes totalement non quantiques impliquant des ondes. Le plan ici est de voir ce que cela signifie dans le contexte des ondes sonores, ce qui devrait sembler raisonnable. Et puis l’effet Doppler, qui devrait à nouveau sembler raisonnable et un peu plus proche du cas quantique. Et ensuite, pour les particules qui, si vous êtes prêt à accepter une ou deux prémisses de la mécanique quantique, sont aussi raisonnables que les deux premières.

L’idée centrale ici est liée à l’interaction entre fréquence et durée. Et je parie que vous avez déjà une idée intuitive de ce principe avant même d’entrer dans le calcul ou le quantum. Si vous vous arrêtez derrière une voiture à un feu rouge et que vos clignotants clignotent ensemble pendant quelques secondes, vous pourriez penser qu’ils ont la même fréquence. Mais à ce moment-là, à votre connaissance, ils pourraient ne plus être synchronisés à mesure que le temps passe, révélant qu’ils avaient des fréquences différentes. Ainsi, une observation sur une courte période de temps vous a donné une faible confiance en ce qui concerne leurs fréquences. Mais si vous restiez assis au feu rouge pendant une minute complète et que les signaux continuaient à se synchroniser, vous seriez beaucoup plus confiant que les fréquences sont en fait les mêmes.

Cette certitude sur les informations de fréquence nécessitait donc une observation étalée dans le temps. Et ce compromis, ici, entre la brièveté de votre observation et votre confiance en la fréquence, est un exemple du principe d’incertitude générale. De même, pensez à une note de musique. Plus elle dure dans le temps, moins vous pouvez être certain de sa fréquence exacte. À l’extrême, je pourrais vous demander quelle est la hauteur d’un coup ou d’une onde de choc et même une personne dont la taille est parfaite serait incapable de répondre. De plus, une fréquence plus précise nécessite un signal de plus longue durée. Ou, plutôt que de parler de précision ou de certitude, il serait un peu plus précis de dire ici que le signal court est fortement corrélé avec une plage de fréquences plus large. Et que le signal en forte corrélation avec une plage de fréquences étroite doit durer plus longtemps.

Ici, c’est le genre de phrase qui est un peu plus claire lorsque nous introduisons les calculs mathématiques. Parlons maintenant de la transformée de Fourier, qui est le concept pertinent pour l’analyse des fréquences. La dernière vidéo que j’ai diffusée était une intuition visuelle de cette transformation. Et oui, il serait probablement utile si vous l’avez vu. Mais je vais y aller et faire une brève récapitulation ici juste pour nous rappeler comment cela s’est passé.

Disons que nous avons un signal et qu’il joue cinq battements par seconde en deux secondes. La transformée de Fourier permet de visualiser n’importe quel signal, non pas en fonction de l’intensité à chaque instant, mais en fonction de la force des différentes fréquences qu’il contient. L’idée principale était de prendre ce signal et de l’enrouler autour d’un cercle. Comme dans, imaginez un vecteur en rotation dont la longueur est déterminée par la hauteur du graphique à chaque instant. En ce moment, ce petit vecteur tourne à 0.3 cycle par seconde. C’est la fréquence avec laquelle nous enroulons la courbe autour du cercle. Et pour la plupart des fréquences, le signal est un peu en moyenne sur le cercle. C’était la partie amusante de la dernière vidéo, vous ne pensez pas ? Il suffit de voir les différents modèles qui apparaissent lorsque vous enroulez un pur cosinus autour d’un cercle comme celui-ci.

Mais le point clé est ce qui se passe lorsque la fréquence de l’enroulement correspond à la fréquence du signal, dans ce cas cinq cycles par seconde. Alors que notre petit vecteur tourne et dessine, tous les pics s’alignent d’un côté et toutes les vallées d’un autre côté. Donc, tout le poids de la courbe est un peu décentré, pour ainsi dire. L’idée derrière la transformée de Fourier est que, si vous suivez le centre de gravité de la courbe enroulée avec la fréquence, la position de ce centre de gravité code la force de cette fréquence dans le signal d’origine. La distance entre ce centre de masse et l’origine reflète la force de cette fréquence. Et c’est quelque chose dont je n’ai pas vraiment parlé dans la vidéo principale. Mais l’angle de ce centre de masse par rapport à l’horizontale correspond à la phase de la fréquence donnée.

Maintenant, une façon de penser à tout ce mécanisme de bobinage consiste à mesurer la corrélation entre votre signal et une fréquence pure donnée. Alors rappelez-vous, lorsque nous parlons de transformée de Fourier, nous faisons référence à cette nouvelle fonction dont l’entrée est cette fréquence de bobinage et dont la sortie est le centre de masse, considéré comme un nombre complexe. Ou, plus techniquement, c’est un certain multiple de ce centre de masse. Mais peu importe, la forme générale reste la même. Et la courbe que je dessine est juste va être la coordonnée 𝑥 de ce centre de masse, la partie réelle de sa sortie. Si vous le souhaitez, vous pouvez également illustrer la distance entre le centre de gravité et l’origine. Et peut-être que cela traduit mieux la corrélation entre chaque fréquence possible et le signal. L’inconvénient est que vous perdez certaines des propriétés de linéarité dont j’ai parlé dans la dernière vidéo.

Quoi qu’il en soit, le pic que vous observez au-dessus de la fréquence d’enroulement de cinq est la façon dont la transformée de Fourier nous dit que la fréquence dominante du signal est de cinq battements par seconde. Il est également important de noter que le fait qu’il soit un peu réparti autour de cinq indique que les ondes sinusoïdales pures proches de cinq battements par seconde sont également en corrélation avec le signal. Et cette dernière idée est la clé du principe d’incertitude. Ce que je veux que vous fassiez, c’est réfléchir à la manière dont cette propagation change à mesure que le signal persiste plus ou moins longtemps.

Vous avez déjà vu cela à un niveau intuitif. Tout ce que nous faisons en ce moment, c’est simplement l’illustrer dans le langage des transformations de Fourier. Si le signal persiste pendant une longue période, la fréquence de bobinage est même légèrement différente de cinq. Le signal est suffisamment long pour s’enrouler autour du cercle et s’équilibrer. Donc, si vous regardez le graphique de Fourier ici, cela correspond à une chute extrêmement nette de l’amplitude de la transformation lorsque votre fréquence s’éloigne de ces cinq temps par seconde.

Par contre, si votre signal est vraiment localisé sur une courte période, réglez la fréquence à cinq battements par seconde. Le signal n’a pas vraiment autant de temps pour s’équilibrer. Vous devez modifier la fréquence de bobinage pour qu’elle soit sensiblement différente de cinq avant que le signal ne commence à s’équilibrer à nouveau. Sur le graphique de fréquence, cela correspond à un pic beaucoup plus large autour des cinq battements par seconde. Et c’est le principe d’incertitude, juste énoncé un peu plus mathématiquement. Un signal concentré dans le temps doit avoir une transformée de Fourier étalée. C’est-à-dire, il est en corrélation avec une large gamme de fréquences. Et un signal avec une transformée de Fourier concentrée doit être étalé dans le temps.

Et un autre endroit où cela se présente de manière très concrète est le radar Doppler. Donc, avec le radar, l’idée est d’envoyer des impulsions d’ondes radio. Et le pouls pourrait refléter des objets. Et le temps nécessaire pour que ce signal d’écho vous revienne vous permet de déduire à quelle distance se trouvent ces objets. Et vous pouvez réellement aller plus loin et déduire les vitesses de ces objets en utilisant l’effet Doppler. Pensez à envoyer une impulsion avec une certaine fréquence. Si cela se reflète sur un objet qui se déplace vers vous, alors les battements de cette onde deviennent un peu plus confus. Donc, l’écho que vous entendez en retour aura une fréquence légèrement supérieure.

Les transformations de Fourier donnent un bon moyen de voir cela. La transformée de Fourier de votre signal d’origine vous indique les fréquences qui vont dans ce signal. Et pour simplifier, considérons cela comme dominé par une seule fréquence pure. Bien que, comme vous le savez, si le pouls est court, cela signifie que notre transformation de Fourier doit être un peu dispersée. Et maintenant, pensez à l’écho Doppler décalé. En revenant à une fréquence plus élevée, cela signifie que la transformée de Fourier ressemblera à un point similaire légèrement décalé. De plus, si vous regardez la taille de ce décalage, vous pouvez en déduire à quelle vitesse l’objet se déplaçait. À propos, il y a un point technique important que je choisis de passer sous silence. Et je l’ai expliqué un peu plus dans la description de la vidéo. Ce qui suit est sensé être une description distillée mais quelque peu simpliste du compromis de Fourier dans cette configuration.

Le fait saillant est que le temps et la fréquence de ce signal d’écho correspondent respectivement à la position et à la vitesse de l’objet à mesurer. C’est ce qui rend cet exemple beaucoup plus analogue au principe d’incertitude de Heisenberg en mécanique quantique. Vous voyez, il existe une manière très réelle pour un opérateur radar de faire face à un dilemme dans lequel plus vous êtes certain de la position des choses, moins vous êtes certain de leur vitesse.

Ici, imaginez que vous envoyez une impulsion qui persiste sur une longue période. Cela signifie que l’écho d’un objet est également réparti dans le temps. Et à lui seul, cela pourrait ne pas sembler être un problème. Mais dans la pratique, il y a toutes sortes d’objets différents sur le terrain. Donc, ces échos vont tous commencer à se chevaucher. Combinez cela avec d’autres bruits et imperfections. Et cela peut rendre les emplacements de plusieurs objets extrêmement ambigus. Au lieu de cela, une compréhension plus précise de la distance à laquelle toutes ces choses sont éloignées nécessiterait une petite impulsion très rapide limitée à une courte période. Mais réfléchissons aux représentations en fréquence d’un écho aussi court.

Comme vous l’avez vu avec l’exemple sonore, la transformation de Fourier d’une impulsion rapide est nécessairement plus étendue. Ainsi, pour de nombreux objets de vitesses différentes, cela signifierait que les échos décalés de Doppler, même s’ils ont été bien séparés dans le temps, risquent davantage de se chevaucher dans l’espace des fréquences. Donc, puisque ce que vous regardez est la somme de tout cela, il peut être vraiment ambigu de savoir comment vous le décomposez. Si vous vouliez une vue nette et précises des vitesses, vous auriez besoin d’un écho n’occupant qu’une très petite quantité d’espace de fréquences. Mais pour qu’un signal soit concentré dans l’espace des fréquences, il doit nécessairement être étalé dans le temps. C’est le compromis de Fourier; vous ne pouvez pas avoir une délimitation nette pour les deux.

Et cela nous amène au cas quantique. Savez-vous qui a passé un peu de temps dans le monde pragmatique de la transmission par ondes radio ? Un jeune, une histoire à forte connotation philosophique majeure dans la Première Guerre mondiale en France, Louis de Broglie. Et ce fut une publication étrangement à propos, étant donné ses prédispositions à philosopher sur la nature des ondes. Parce qu’après la guerre, lorsque Broglie est passé des sciences humaines à la physique, il a proposé dans sa thèse de doctorat de 1924 que toute matière avait des propriétés ondulatoires. Et plus que cela, il a conclu que la quantité de mouvement de toute particule en mouvement va être proportionnelle à la fréquence spatiale de cette onde, le nombre de fois que cette onde cycle par unité de distance.

Ok, maintenant c’est le genre de phrase qui peut facilement entrer dans une oreille et sortir de l’autre. Parce que dès que vous dites que la matière est une onde, il est facile de lever les bras en l’air et de dire que la physique est vraiment étrange. Mais vraiment, pensez à cela. Même si vous êtes prêt à accepter que les particules se comportent comme des ondes, peu importe ce que cela signifie. Pourquoi sur Terre la quantité de ces particules, ce que nous considérons classiquement comme masse fois la vitesse, a-t-elle quelque chose à voir avec la fréquence spatiale de cette onde ? Maintenant, étant plus un mathématicien qu’un spécialiste de la physique, j’ai interrogé ici un certain nombre de personnes plus expérimentées en physique sur les intuitions utiles. Et une chose qui est devenue claire est qu’il existe une variété surprenante de points de vue.

Personnellement, une chose que j’ai trouvée intéressante a été de revenir à la source et de voir comment De Broglie a cadré les choses dans son article phare sur le sujet. Vous voyez, il y a un sens dans lequel ce n’est pas si différent de l’effet Doppler, où le mouvement relatif correspond à des décalages de fréquence. Il a une saveur légèrement différente puisque nous ne parlons pas de fréquence dans le temps. Au lieu de cela, nous parlons de fréquence sur l’espace. Et la relativité restreinte va entrer en jeu. Mais je pense toujours que c’est une analogie intéressante.

Dans sa thèse, de Broglie expose ce qui, selon ses propres termes, est une comparaison grossière du type de phénomène d’onde qu’il a en tête. Imaginez de nombreux poids suspendus à des ressorts, tous oscillant de manière synchrone. Et avec la majeure partie de la masse concentrée vers un seul point. L’énergie de ces masses oscillantes est sensé être une métaphore de l’énergie d’une particule, en particulier l’énergie 𝐸 égale 𝑚𝑐 au carré résidant dans sa masse. Et de Broglie a souligné à quel point sa conception envisageait la particule dispersée dans tout l’espace. La prémisse qu’il explorait ici est que l’énergie d’une particule pourrait être liée à quelque chose qui oscille avec le temps. À l’époque, c’était connu pour les photons. Et ces poids oscillants sont simplement sensés être une métaphore de ce que cela pourrait être.

En gardant à l’esprit la théorie relativement nouvelle de la relativité d’Einstein, il a souligné que, si vous visualisez toute cette configuration en bougeant par rapport à celle-ci, tous les poids vont perdre leur phase. Ce n’est pas évident. Et j’exagère certainement l’effet dans cette animation. Cela a à voir avec un fait essentiel de la relativité restreinte. Que ce que vous considérez être des événements simultanés dans un cadre de référence puisse ne pas l’être simultanément dans un cadre de référence différent. Donc, même si, d’un point de vue, vous pourriez voir deux de ces poids atteindre leurs sommets et leurs vallées au même instant. D’un point de vue différent, ces événements pourraient en réalité se produire à des moments différents.

Comprendre cela de manière plus complète nécessite une certaine connaissance de la relativité restreinte. Nous devrons donc tous attendre que la série d’Henry Rice sur ce sujet soit publiée. Ici, notre seul objectif est de nous faire une idée de la raison pour laquelle la quantité de mouvement, cette chose que nous considérons habituellement comme masse fois la vitesse, devrait avoir quelque chose à voir avec la fréquence spatiale. Et le raisonnement de base ici est que si la masse est la même que l’énergie, via 𝐸 est égal à 𝑚𝑐 carré. Et si cette énergie était transportée comme une sorte de phénomène oscillant, semblable à ce que sont les photons. Ensuite, ce type d’effet Doppler relativiste signifie que les modifications apportées à la façon dont la masse se déplace correspondent aux modifications de la fréquence spatiale.

Alors, que dit notre compromis de Fourier général dans ce cas ? Eh bien, si une particule est décrite comme un petit paquet d’onde sur l’espace. Ensuite, la transformée de Fourier, où nous pensons que ceci est une fonction de l’espace et non du temps, nous indique à quel point diverses fréquences pures correspondent à cette onde supérieure. Donc, si l’impulsion est la fréquence spatiale jusqu’à un multiple constant, l’impulsion est aussi une sorte d’onde. À savoir, certains multiples de la transformation de Fourier de l’onde d’origine. Donc, si cette onde initiale était très concentrée autour d’un seul point, comme nous l’avons vu à plusieurs reprises maintenant, cela signifie que sa transformation de Fourier doit nécessairement être plus étendue. Et par conséquent, l’onde décrivant son élan doit être plus étendue et inversement.

Remarquez, contrairement au cas du radar Doppler où l’ambiguïté était due au fait que les ondes étaient utilisées pour mesurer un objet avec une distance et une vitesse définies. Ce que nous disons ici, c’est que la particule est l’onde. Ainsi, l’étalement sur l’espace et sur la quantité de mouvement n’est pas un artefact de techniques de mesure imparfaites. C’est une propagation fondamentale à la nature de la particule. Analogue à la façon dont une note de musique s’étalant dans le temps est fondamentale pour ce que cela signifie même d’être une note de musique. Une des choses qui me plait le plus souvent dans les références quantiques est qu’elles traitent souvent le principe d’incertitude de Heisenberg comme un exemple fondamental de choses inconnaissables dans le domaine quantique. Comme s’il s’agissait d’une pépite essentielle de l’indétermination de l’univers.

Mais en réalité, il s’agit simplement d’un compromis entre la concentration d’une onde et sa représentation en fréquence, appliquée à la prémisse que la matière est une sorte d’onde et est donc dispersée. Toutes les informations sur le hasard et l’incertitude sont toujours là. Mais cela vient d’un niveau plus profond, dans la façon dont ces ondes ont été interprétées. Vous voyez, lorsque vous mesurez ces particules, essayez de détecter si elles se trouvent dans une région donnée. Que vous le trouviez ou non, cela semble être probabiliste. Où la probabilité de le trouver est proportionnelle à la force de l’onde dans cette région. Ainsi, lorsqu’une de ces ondes est concentrée près d’un point, cela signifie en fait que nous avons une probabilité plus grande de le trouver près de ce point, que nous sommes plus certains de son emplacement.

Et juste pour battre ce tambour une fois de plus. Étant donné que cette concentration implique une transformation de Fourier plus étendue, l’onde décrivant son élan serait également plus étendue. Vous ne pouvez donc pas trouver une plage étroite de moments que la particule a une probabilité d’occupation élevée. J’aime assez le fait que si vous regardez le mot allemand pour ce principe, il pourrait être traduit plus directement par la relation floue. Ce qui, je pense, traduit plus fidèlement le compromis de Fourier en jeu ici sans imposer de problèmes de certitude.

Quand je pense au principe d’incertitude de Heisenberg, ce qui le rend fascinant n’est pas tant qu’il s’agit d’une déclaration sur le caractère aléatoire. Je veux dire, oui, ce caractère aléatoire suscite la réflexion, suscite la controverse et est tout simplement étrange. Mais pour moi, ce qui est également fascinant, c’est que la conclusion de Heisenberg sous-entend que la position et la quantité de mouvement ont le même rapport que le son et la fréquence. Comme si la quantité de mouvement d’une particule était en quelque sorte la partition décrivant son mouvement dans l’espace.

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