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Vidéo de question : Conversion de l’énergie mécanique Physique

Un skateur roule vers le haut d’une rampe courbe, comme indiqué sur le schéma, et atteint un point situé à une hauteur verticale de 7,5 m au-dessus de la base de la rampe. Quelle est la vitesse du skateur au point situé verticalement à 1,1 m au-dessus de la base de la rampe ? Donnez votre réponse à une décimale près.

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Transcription de vidéo

Un skateur roule vers le haut d’une rampe courbe, comme indiqué sur le schéma, et atteint un point situé à une hauteur verticale de 7,5 mètres au-dessus de la base de la rampe. Quelle est la vitesse du skateur au point situé verticalement à 1,1 mètre au-dessus de la base de la rampe ? Donnez votre réponse à une décimale près.

Alors, dans la première partie de la question, on nous demande de trouver la vitesse du skateur lorsqu’il est à une hauteur de 1,1 mètre. On note cette hauteur ℎ un de sorte que ℎ un soit égale à 1,1 mètres. On va aussi noter la vitesse du skateur à cette hauteur 𝑣 un, et il s’agit de ce que l’on cherche à déterminer. On nous dit que le skateur atteint une hauteur verticale maximale de 7,5 mètres. On note cette hauteur ℎ deux de sorte que ℎ deux soit égale à 7,5 mètres. Puisque cette hauteur de 7,5 mètres est la hauteur maximale atteinte par le skateur, on sait qu’à cette hauteur, le skateur change de sens. Il finit de monter la rampe et commence alors à redescendre.

Si le skateur change de sens, cela signifie qu’il allait d’abord dans un certain sens puis revient ensuite dans le sens opposé. Ainsi, sa vitesse doit instantanément être de zéro mètre par seconde au point où le sens change. Ce changement de sens se produit à une hauteur de ℎ deux égale 7,5 mètres. On sait donc qu’en ce point, la vitesse du skateur est de zéro mètre par seconde. On note cette vitesse 𝑣 deux de sorte que 𝑣 deux soit égale à zéro mètre par seconde. En montant la rampe, le skateur gagne en hauteur et gagne ainsi de l’énergie potentielle gravitationnelle. En même temps, la vitesse du skateur décroît d’une valeur initiale 𝑣 un à une vitesse 𝑣 deux égale à zéro mètre par seconde. Cela signifie que le skateur perd de l’énergie cinétique lorsqu’il remonte la rampe.

On peut rappeler que le principe de conversion et de conservation de l’énergie énonce que l’énergie cinétique, soit 𝐸𝑐, perdue par le skateur doit être égale à l’énergie potentielle gravitationnelle, ou 𝐸𝑃𝐺, gagnée par celui-ci. On peut également rappeler que l’énergie cinétique d’un objet est égale à un demi multipliée par 𝑚, la masse de l’objet, multipliée par le carré de 𝑣, la vitesse de l’objet. Parallèlement à cela, l’énergie potentielle gravitationnelle d’un objet est égale à 𝑚, la masse de l’objet, multipliée par 𝑔, l’accélération due à la gravité, multipliée par ℎ, la hauteur de l’objet. Sur Terre, 𝑔 a une valeur de 9,8 mètres par seconde carrée.

Puisque l’énergie cinétique d’un objet dépend de la vitesse de cet objet, l’énergie cinétique perdue par notre skateur va dépendre de sa vitesse initiale 𝑣 un. Essayons alors d’établir une expression pour l’énergie cinétique perdue par notre skateur entre ce point à une hauteur ℎ un et ce point à une hauteur ℎ deux. L’énergie cinétique perdue doit être égale à l’énergie cinétique initiale, qui vaut un demi fois 𝑚 fois 𝑣 un carré, moins l’énergie cinétique finale, un demi fois 𝑚 fois 𝑣 deux carré.

Ici, dans ces deux termes du côté droit, on a un facteur de un demi et un facteur de 𝑚. On peut donc factoriser ces deux termes. Cela nous donne que l’énergie cinétique perdue est égale à un demi de 𝑚 multiplié par 𝑣 un carré moins 𝑣 deux carré. Puisque l’on sait que l’énergie cinétique perdue doit être égale à l’énergie potentielle gravitationnelle gagnée, établissons également une expression pour l’énergie potentielle gravitationnelle gagnée par le skateur. L’énergie potentielle gravitationnelle gagnée doit être égale à l’énergie potentielle gravitationnelle finale, soit m fois 𝑔 fois ℎ deux, moins l’énergie potentielle gravitationnelle initiale. C’est-à-dire, 𝑚 fois 𝑔 fois ℎ un.

On remarque qu’il y a à la fois un 𝑚 et un 𝑔 dans les deux termes du côté droit, que l’on peut factoriser. Cela nous donne que l’énergie potentielle gravitationnelle gagnée est égale à 𝑚 fois 𝑔 fois ℎ deux moins ℎ un. On a donc maintenant une expression pour l’énergie cinétique perdue par le skateur et pour l’énergie potentielle gravitationnelle gagnée par le skateur. Le principe de conversion et de conservation de l’énergie nous dit que l’énergie cinétique perdue doit être égale à l’énergie potentielle gravitationnelle acquise. Cela signifie que l’on peut assimiler ces deux expressions comme étant égales. Cela nous donne un demi de 𝑚 fois 𝑣 un carré moins 𝑣 deux carré est égal à 𝑚 fois 𝑔 fois ℎ deux moins ℎ un. Puisque la masse 𝑚 apparaît des deux côtés de cette équation, on peut l’annuler. Cela nous indique que le résultat ne dépendra pas de la masse du skateur.

Ensuite, dans cette équation, on cherche à trouver la valeur de 𝑣 un. Et on connait les valeurs de 𝑣 deux, ℎ deux et ℎ un. On réorganise alors l’équation pour isoler 𝑣 un. On commence par multiplier les deux côtés de l’équation par deux. Du côté gauche, on a deux multiplié par un demi, ce qui nous donne un. Ensuite, une fois 𝑣 un carré moins 𝑣 deux carré est simplement 𝑣 un carré moins 𝑣 deux carré.

Pour continuer, on ajoute 𝑣 deux carré des deux côtés de l’équation. Du côté gauche, on a maintenant 𝑣 deux carré et moins 𝑣 deux carré. Ces deux termes s’annulent. Et il nous reste une équation qui dit que 𝑣 un carré est égal à deux fois 𝑔 fois ℎ deux moins ℎ un plus 𝑣 deux carré. En prenant la racine carrée des deux côtés de cette équation, on obtient que 𝑣 un est égal à la racine carrée de deux fois 𝑔 fois ℎ deux moins ℎ un plus 𝑣 deux carré.

Maintenant, on a juste besoin d’insérer les valeurs de ℎ un, ℎ deux et 𝑣 deux dans cette équation. Faisons donc un peu de place pour ce calcul. Bien, en insérant nos valeurs dans cette équation, on obtient cette expression pour la vitesse 𝑣 un. Rappelons rapidement d’où viennent ces chiffres. En regardant cette expression, notre premier terme sous la racine carrée est deux multiplié par 𝑔 multiplié par ℎ deux moins ℎ un. Aussi, en regardant ici, ce premier terme est deux multiplié par 9,8 mètres par seconde carrée, donc cela correspond à la valeur de 𝑔, multipliée par 7,5 mètres moins 1,1 mètre. Soit la valeur de ℎ deux moins la valeur de ℎ un.

En regardant à nouveau cette expression littérale, on voit que le deuxième terme sous la racine carrée est le carré de la vitesse 𝑣 deux. Or, dans ce cas, on sait que la vitesse 𝑣 deux est égale à zéro mètre par seconde. Et donc, dans cette expression de 𝑣 un, le deuxième terme sous la racine carrée est le carré de zéro mètre par seconde. En calculant l’expression sous la racine carrée, on trouve que 𝑣 un est égal à la racine carrée de 125,44 mètres carrés par seconde carrée. Ensuite, en calculant la racine carrée, on constate que la vitesse 𝑣 un est égale à 11,2 mètres par seconde.

Notons que ce résultat est exact et n’a pas été arrondi. Si on revient à la question, on voit qu’on nous demande de donner notre réponse à une décimale près. Le résultat que l’on a calculé a une décimale. Et c’est donc notre réponse à la question : la vitesse du skateur au point situé verticalement à 1,1 mètre au-dessus de la base de la rampe est de 11,2 mètres par seconde. Voyons maintenant la deuxième partie de la question.

Quelle est la vitesse initiale à la base de la rampe nécessaire au skateur pour atteindre le sommet de la rampe ? Donnez votre réponse à une décimale près.

Comme pour la première partie de la question, on peut résoudre ce problème en utilisant le principe de conversion et de conservation de l’énergie. Plus précisément, on sait que l’énergie cinétique perdue par le skateur lors de la montée est égale à l’énergie potentielle gravitationnelle qu’il gagne. On nous demande de trouver la vitesse initiale à la base de la rampe nécessaire au skateur pour atteindre le sommet. On appelle cette vitesse initiale 𝑣 un. C’est la grandeur que l’on veut calculer. 𝑣 un est la vitesse du skateur à la base de la rampe. Et à la base de la rampe, la hauteur du skateur au-dessus du sol sera nulle. On note cette hauteur ℎ un de sorte que ℎ un soit égal à zéro mètre.

Si le skateur atteint simplement le sommet de la rampe, alors on sait que sa vitesse en haut de la rampe sera de zéro mètre par seconde car il s’agit du point où le skateur change de sens. On note cette vitesse 𝑣 deux de sorte que 𝑣 deux soit égale à zéro mètre par seconde. On voit sur le schéma que le sommet de la rampe a une hauteur au-dessus du sol de 7,5 mètres plus 2,7 mètres. Si on note cette hauteur au sommet de la rampe ℎ deux, alors on a que ℎ deux est égal à 7,5 mètres plus 2,7 mètres. Cela nous donne que ℎ deux est égal à 10,2 mètres.

Comme pour la première partie de la question, on va calculer l’énergie cinétique perdue par le skateur et l’énergie potentielle gravitationnelle gagnée par le skateur et assimiler ces deux expressions comme étant égales afin de calculer la vitesse 𝑣 un. Rappelons que l’énergie cinétique est égale à un demi de la masse multipliée par la vitesse au carré. Et l’énergie potentielle gravitationnelle est égale à la masse fois 𝑔 fois ℎ, où 𝑔 est l’accélération due à la gravité et égale 9,8 mètres par seconde carrée. Les expressions de l’énergie cinétique perdue par le skateur et de l’énergie potentielle gravitationnelle gagnée sont les mêmes que dans la première partie de la question. Ainsi, l’énergie cinétique perdue est égale à un demi multiplié par la masse 𝑚 multiplié par 𝑣 un carré moins 𝑣 deux carré. Et l’énergie potentielle gravitationnelle gagnée est égale à la masse 𝑚 multipliée par 𝑔 multipliée par ℎ deux moins ℎ un.

Comme précédemment, le principe de conversion et de conservation de l’énergie nous dit que l’on peut assimiler ces deux expressions comme étant égales. Et cela nous donne cette expression ici. Tout comme dans la première partie de la question, on cherche à trouver la vitesse 𝑣 un. On doit donc réorganiser cela pour isoler 𝑣 un. La méthode est exactement la même que dans la première partie de la question. Et cela nous donne que 𝑣 un est égal à la racine carrée de deux fois 𝑔 fois ℎ deux moins ℎ un plus 𝑣 deux carré.

Faisons maintenant un peu de place pour pouvoir insérer nos valeurs de ℎ un, ℎ deux et 𝑣 deux dans cette expression. Bien, en insérant ces valeurs, nous avons 𝑔 est égal à 9,8 mètres par seconde carrée. Notre valeur pour ℎ deux est de 10,2 mètres, notre valeur pour ℎ un est de zéro mètre et notre valeur pour la vitesse 𝑣 deux est de zéro mètre par seconde. Cette expression se simplifie alors pour donner que 𝑣 un est égal à la racine carrée de deux fois 9,8 mètres par seconde carrée fois 10,2 mètres. Le calcul de l’expression sous la racine carrée donne un résultat de 199,92 mètres carrés par seconde carrée. Ensuite, en prenant la racine carrée, on obtient que la vitesse 𝑣 un est égale à 14,139 mètres par seconde, où les trois petits points indiquent qu’il existe d’autres décimales.

La question nous demande de donner notre réponse à une décimale près. Arrondie à une décimale près, notre réponse à la question suivante est que pour atteindre le sommet de la rampe, la vitesse du skateur à la base de la rampe doit être égale à 14,1 mètres par seconde.

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