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Vidéo de la leçon : Résoudre un système de deux équations en utilisant une matrice inverse Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre un système de deux équations linéaires en utilisant l’inverse de la matrice des coefficients.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre un système de deux équations linéaires en utilisant l’inverse de la matrice des coefficients. Rappelons que l’équation linéaire en deux dimensions correspond à une droite d’équation 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 est la pente ou le coefficient directeur de la droite et 𝑏 est l'ordonnée du point d’intersection avec l’axe des ordonnées. C’est là que la droite rencontre l’axe des ordonnées. Un système de deux équations linéaires est un ensemble de deux équations représentant deux droites, et une solution au système est le seul point du plan où les deux droites se coupent. Si deux droites ne se rencontrent jamais, alors il n’y a pas de solution et les droites sont parallèles.

Notez que nos équations ne sont pas nécessairement écrites sous la forme 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏. Nous pouvons avoir quelque chose tel que montré par ce système. Ces équations représentent toujours des droites, mais nous avons maintenant des constantes multipliant les 𝑦. Les 𝑥 et y sont d’un côté et les constantes de l’autre. L’important est que nous avons deux équations représentant des droites, et nous voulons trouver une solution, c’est-à-dire le point où elles se coupent. Et il y a quelques méthodes que nous pourrions utiliser. Dans cette vidéo, nous allons nous concentrer sur l’utilisation d’une matrice inverse pour trouver une solution. Voyons donc les étapes que nous devons suivre pour le faire.

Supposons que nous ayons un ensemble de deux équations simultanées, par exemple, 𝑥 plus 𝑦 est égal à un et quatre 𝑥 plus cinq 𝑦 est égal à six. Et appelons ces équations un et deux. Notre première étape consiste à nous assurer que les variables 𝑥 et 𝑦 sont alignées verticalement sur le côté gauche et nos constantes sur le côté droit. C’est parce que nous voulons pouvoir lire nos coefficients pour notre matrice. Notre prochaine étape consiste à réécrire le système sous la forme d’une équation matricielle. Puisque nous avons deux équations à deux inconnues, notre matrice des coefficients sera une matrice deux fois deux. Cela multiplie une matrice colonne de nos variables. Et sur le côté droit, nous avons une matrice colonne des constantes.

La première ligne de notre matrice des coefficients est composée de coefficients de 𝑥 et 𝑦 dans l’équation un, qui sont tous les deux un, et la constante associée au côté droit est également un. La deuxième ligne de notre matrice des coefficients est constituée des coefficients de 𝑥 et 𝑦 dans l’équation deux, soit quatre et cinq, et la constante associée au côté droit est six. Nous avons maintenant notre système représenté sous forme matricielle, et si nous devions le multiplier, nous aurions nos équations initiales.

Notre troisième étape dans la résolution de nos équations est de trouver l’inverse de notre matrice des coefficients. Rappelons que pour une matrice 𝐴 𝑛 fois n qui est non singulière, cela signifie qu’elle a un inverse, l’inverse de 𝐴 fois A est égal à 𝐴 fois l’inverse de 𝐴 égale la matrice unité, où la matrice possède des éléments diagonaux correspondant égalent un, et tout autre élément est égal à zéro. Et rappelons également que pour une matrice non singulière deux fois deux avec les éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, l’inverse de 𝐴 est un sur 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 fois la matrice dont les éléments sont 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐 et 𝑎. C’est la matrice où 𝑎 et 𝑑 ont été échangés et nous prenons l’inverse de 𝑏 et 𝑐.

Nous notons que le dénominateur de notre fraction est en fait le déterminant de la matrice 𝐴. Alors, comment cela nous aide-t-il ? Eh bien, notez que nous avons l’équation 𝐴𝑥 égale 𝑏 et nous multiplions notre équation à gauche par l’inverse de 𝐴. Nous savons que l’inverse de 𝐴 fois 𝐴 est la matrice unité. Donc, sur le côté gauche, nous avons 𝐼𝑥 et sur le côté droit l’inverse de 𝐴 fois 𝑏. Le côté gauche se simplifie en 𝑥. Nous avons donc 𝑥 égal à l’inverse de 𝐴 fois 𝑏. Et cela nous donne notre solution puisque, rappelez-vous, 𝑥 est la matrice colonne avec les éléments 𝑥, 𝑦. Et c’est ce que nous essayons de trouver. Donc, pour résoudre notre système d’équations, nous devons essentiellement trouver l’inverse de notre matrice des coefficients. Appliquons donc cela à notre exemple.

Nous devons trouver l’inverse de notre matrice 𝐴. Et si 𝑎 est égal à un, 𝑏 est égal à un, 𝑐 est égal à quatre et 𝑑 est égal à cinq, nous avons la fraction un sur un fois cinq moins un fois quatre multiplié par la matrice contenant les éléments cinq, moins un, moins quatre et un. Le dénominateur est égal à un de sorte que l’inverse de notre matrice des coefficients ait les éléments cinq, moins un, moins quatre et un. Et si nous substituons cela dans notre équation, nous avons 𝑥, 𝑦 sur le côté gauche. Et sur le côté droit, l’inverse de notre matrice des coefficients, qui a les éléments cinq, moins un, moins quatre et un, fois la matrice colonne un, six de constantes.

En multipliant notre côté droit, nous avons cinq fois un plus moins un fois six et moins quatre fois un plus un fois six. Et cela correspond à la matrice colonne avec les éléments moins un, deux de sorte qu’à l’égalité des matrices, 𝑥 est moins un et 𝑦 est égal à deux. Pour trouver la solution à un système de deux équations, nous écrivons nos équations sous forme d’équation matricielle, nous trouvons l’inverse de notre matrice des coefficients, nous multiplions les deux côtés de l’équation à gauche et à droite par l’inverse, et cela nous donne notre solution. Voyons donc un autre exemple où nous commençons par un système de deux équations et résolvons en utilisant des matrices.

Considérons le système d’équations quatre 𝑥 moins deux 𝑦 est égal à zéro et trois 𝑦 plus cinq 𝑥 est égal à moins 11. Exprimez le système d’équations donnée sous la forme d’une équation matricielle. Notez l’inverse de la matrice des coefficients. Et multipliez par l’inverse sur le côté gauche pour résoudre l’équation matricielle.

Il y a trois parties dans cette question impliquant l’ensemble le système d’équations quatre 𝑥 moins deux 𝑦 est égal à zéro et trois 𝑦 plus cinq 𝑥 est égal à moins 11. Et ces trois parties nous mènent à la solution des équations par des méthodes matricielles. La première partie consiste à exprimer les équations sous la forme d’une équation matricielle. Nous devons ensuite écrire l’inverse de la matrice des coefficients et l’utiliser en multipliant à gauche pour résoudre l’équation matricielle. Commençons donc par la première partie, qui consiste à écrire les équations sous forme d’équation matricielle.

La première chose que nous devons faire est de nous assurer que nos 𝑥 et 𝑦 sont alignés verticalement sur le côté gauche. Dans notre deuxième équation, nous devrons échanger les trois 𝑦 et les cinq 𝑥. Et maintenant, nos 𝑥 et 𝑦 sont alignés verticalement. Appelons nos équations les équations un et deux de sorte que l’équation un soit quatre 𝑥 moins deux 𝑦 est égal à zéro et l’équation deux soit cinq 𝑥 plus trois 𝑦 est égal à moins 11. Et cela aide à lire nos coefficients pour que nous puissions les mettre dans une matrice deux fois deux, qui multiplie ensuite une matrice colonne de nos variables 𝑥 et 𝑦. Et nous mettons cela égal aux constantes sur le côté droit.

La première ligne de notre matrice des coefficients contient les coefficients de 𝑥 et 𝑦 dans l’équation un. C’est quatre et moins deux. Notre constante associée au côté droit est zéro. La deuxième ligne de notre matrice des coefficients contient les coefficients constants de 𝑥 et 𝑦 dans l’équation deux. C’est cinq et trois. Et notre élément constant sur le côté droit est moins 11. Alors maintenant, nous avons nos équations sous forme d’équation matricielle tel que requis.

La deuxième partie de la question nous demande d’écrire l’inverse de la matrice des coefficients. Et pour ce faire, nous rappelons que pour une matrice non singulière deux fois deux avec les éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, l’inverse de 𝐴 est un sur 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 fois la matrice avec les éléments 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐 et 𝑎. Rappelons que 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 est le déterminant de 𝐴. Et notez que nous avons échangé les éléments 𝑎 et 𝑑 et pris moins 𝑏 et moins 𝑐. Dans notre cas, notre matrice des coefficients comporte les éléments quatre, moins deux, cinq et trois. Donc, son inverse, si 𝑎 est quatre, 𝑏 est moins deux, 𝑐 est cinq et 𝑑 est trois, est un sur quatre fois trois moins moins deux fois cinq, soit un sur 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐, fois la matrice avec les éléments trois, deux, moins cinq et quatre. L’inverse de notre matrice des coefficients est donc un sur 22 fois la matrice avec les éléments trois, deux, moins cinq et quatre.

Notre dernière partie est de multiplier par l’inverse sur le côté gauche pour résoudre l’équation matricielle. Si nous appelons notre matrice des coefficients 𝐴, nous avons 𝐴 fois l’inverse de 𝐴 fois la matrice colonne 𝑥 est égale à l’inverse de 𝐴 fois la matrice colonne 𝑏, où 𝑥 est la matrice des variables et 𝑏 est la matrice des constantes à droite. Rappelez-vous, cependant, que pour toute matrice non singulière 𝐴, c’est-à-dire une matrice avec un inverse, 𝐴 fois l’inverse de 𝐴 est égale à la matrice unité, qui est, pour une matrice deux fois deux, la matrice avec les éléments un, zéro, zéro, un. Ainsi, dans notre côté gauche, nous avons la matrice unité fois 𝑥, 𝑦, et à notre droite, nous avons l’inverse de 𝐴 fois la matrice colonne 𝑏.

Notre côté gauche se simplifie en la matrice colonne 𝑥, 𝑦. Et si nous multiplions le côté droit, nous aurons un sur 22 fois la matrice avec les éléments trois fois zéro plus deux fois moins 11, moins cinq fois zéro plus quatre fois moins 11. C’est un sur 22 fois la matrice colonne avec les éléments moins 22, moins 44. En libérant de l’espace et en déterminant la solution, nous obtenons la matrice colonne avec les éléments moins un et moins deux. Par mise en égalité des matrices, cela nous donne alors 𝑥 est égal à moins un et 𝑦 est égal à moins deux.

Donc, pour le système d’équations quatre 𝑥 moins deux 𝑦 est égal à zéro et trois 𝑦 plus cinq 𝑥 est égal à moins 11, nous avons l’équation matricielle où la matrice des coefficients a les éléments quatre, moins deux, cinq, trois, multipliant la matrice colonne de variables égales à la matrice colonne avec les éléments zéro, moins 11 des constantes sur le côté droit. Notre matrice des coefficients a un inverse, qui est égal à un sur 22 fois la matrice avec les éléments trois, deux, moins cinq et quatre. Et nous utilisons cela pour trouver notre solution : 𝑥 est moins un et 𝑦 est moins deux.

Maintenant, utilisons notre méthode pour résoudre un système d’équations déjà exprimé sous la forme d’une équation matricielle.

Sachant que la matrice deux fois deux avec les éléments cinq, huit, un, moins huit multipliée par la matrice colonne avec les éléments 𝑥 et 𝑦 est égale à la matrice colonne ayant les éléments moins 43 et un, déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

On nous demande de trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦 étant donnée une équation matricielle. Notre équation matricielle consiste en une matrice des coefficients avec les éléments cinq, huit, un et moins huit multipliant une matrice colonne de nos variables 𝑥 et 𝑦. Et cela équivaut à une matrice colonne avec les éléments moins 43 et un. En effet, nous avons une équation matricielle de la forme 𝐴𝑥 est égal à 𝑏. Afin de déterminer les valeurs de 𝑥 et 𝑦, nous pouvons utiliser le fait que pour toute matrice carrée non singulière 𝐴 avec un inverse 𝐴 à la puissance moins un, l’inverse de 𝐴 fois 𝐴 est égal à 𝐴 fois l’inverse de 𝐴, ce qui est égal à la matrice unité. Et c’est la matrice où les éléments de la diagonale principale sont tous égaux à un et les autres égalent zéro. Donc, s’il y a une matrice deux fois deux ayant les éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, la matrice unité est la matrice avec les éléments un, zéro, zéro, un.

Maintenant, nous pouvons l’utiliser dans notre équation matricielle. En multipliant les deux côtés à gauche avec l’inverse de 𝐴, à gauche, nous aurions l’inverse de 𝐴 fois 𝐴 fois 𝑥, qui est en fait la matrice unité fois 𝑥. Et cela se simplifie en 𝑥 de sorte que nous avons 𝑥 égal à l’inverse de 𝐴 fois notre matrice colonne 𝑏. Et cela nous donne notre solution pour 𝑥 et 𝑦. Nous pouvons l’appliquer à notre problème en trouvant d’abord l’inverse de notre matrice des coefficients deux fois deux. Rappelons qu’un inverse d’une matrice deux fois deux avec les éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est égal à un sur 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 fois la matrice avec les éléments 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐 et 𝑎.

Libérons un peu d’espace ici et notons que notre matrice des coefficients a les éléments cinq, huit, un, moins huit. Et si nous étiquetons ces 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, alors son inverse est donné par un sur le déterminant, ce qui correspond à cinq fois moins huit moins huit fois un fois la matrice ayant les éléments moins huit, moins huit, moins un et cinq. C’est moins un sur 48 fois la matrice avec les éléments moins huit, moins huit, moins un et cinq. Maintenant, si nous multiplions le côté gauche de chaque membre de notre équation par cet inverse, nous avons notre matrice inverse fois la matrice des coefficients fois la matrice colonne des variables, ce qui est égal à l’inverse de la matrice des coefficients fois la colonne des constantes.

Nous savons que l’inverse de la matrice des coefficients multiplié par la matrice des coefficients est égal à la matrice unité. Donc, sur notre côté gauche, cela se simplifie à la matrice colonne avec les éléments 𝑥, 𝑦. Et tout ce que nous devons faire maintenant, c’est multiplier notre côté droit. Cela nous donne moins un sur 48 fois la matrice avec moins huit fois moins 43 plus moins huit fois un et moins un fois moins 43 plus cinq fois un. C’est moins un sur 48 fois la matrice colonne avec les éléments 336 et 48. Cela correspond aux éléments moins sept et moins un. Et par l’égalité des matrices, cela nous donne 𝑥 est égal à moins sept, 𝑦 est égal à moins un.

Ainsi, étant donnée l’équation de la matrice où la matrice des coefficients a les éléments cinq, huit, un et moins huit et la matrice colonne constante a les éléments moins 43 et un, la valeur de 𝑥 est moins sept et la valeur de 𝑦 est moins un.

Voyons maintenant un autre exemple où nous commençons par un système de deux équations.

Utilisez des matrices pour résoudre le système moins 𝑥 plus cinq 𝑦 est égal à huit et moins trois 𝑥 plus 𝑦 est égal à huit.

On nous donne un système de deux équations dont nous voulons déterminer 𝑥 et 𝑦. Cela signifie trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦 qui vérifient les deux équations. Et on nous demande d’utiliser des matrices pour ce faire. Nos équations sont moins 𝑥 plus cinq 𝑦 est égal à huit et moins trois 𝑥 plus 𝑦 est égal à huit. Et on doit exprimer notre système d’équations sous la forme d’une équation matricielle. Puisque nous avons deux équations à deux inconnues, notre matrice des coefficients sera une matrice deux fois deux. Cela multipliera une matrice colonne de variables. Et sur le côté droit, nous aurons une matrice colonne de constantes.

La première chose que nous devons faire pour lire les coefficients est de vérifier que les 𝑥 et 𝑦 sont alignés verticalement. Et c’est en fait le cas, nous sommes donc prêts à commencer. La première ligne de notre matrice des coefficients contient les coefficients de 𝑥 et 𝑦 dans l’équation un. C’est moins un et cinq. Et les éléments de la deuxième ligne sont les coefficients de 𝑥 et 𝑦 dans l’équation deux. C’est moins trois et un. Les constantes associées sur le côté droit sont tous les deux huit. Donc, en utilisant la notation vectorielle, nous avons une équation de la forme 𝐴 fois 𝑥 égale 𝑏. Et nous pouvons utiliser le fait que si 𝐴 est une matrice non singulière 𝑛 fois 𝑛, alors l’inverse de 𝐴 fois 𝐴 est 𝐴 fois l’inverse de 𝐴 est égal à la matrice unité. C’est la matrice avec les éléments principaux un et tout le reste zéro.

Comment cela nous aide-t-il si nous recherchons l’inverse de notre matrice 𝐴 et multiplions cela à gauche, alors nous aurons 𝐴, l’inverse de 𝐴 fois 𝑥 est égal à l’inverse de 𝐴 fois 𝑏. Et nous savons que l’inverse de 𝐴 fois 𝐴 est la matrice unité. Donc, il nous reste 𝑥 est égal à l’inverse de 𝐴 fois 𝑏. Et cela nous donnera notre solution. Alors trouvons l’inverse de notre matrice des coefficients et rappelons que pour une matrice deux fois deux avec les éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, l’inverse de 𝐴 est un sur 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 fois la matrice avec les éléments 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐 et 𝑎. Et c’est là que 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 est différent de zéro.

Dans notre cas, notre matrice a les éléments moins un, cinq, moins trois, un. Ainsi, son inverse sera un sur moins un fois un moins cinq fois moins trois fois la matrice avec les éléments un, moins cinq, trois, moins un. Notre dénominateur est égal à 14. Et donc l’inverse de notre matrice des coefficients est un sur 14 fois la matrice avec les éléments un, moins cinq, trois, moins un. Maintenant, si nous multiplions les deux côtés de notre équation à gauche par cet inverse, nous savons que du côté gauche, notre inverse fois notre matrice des coefficients 𝐴 est égal à la matrice unité. Et si nous multiplions cela, cela se simplifie à la matrice colonne avec les éléments 𝑥, 𝑦.

Alors, nous devons simplement multiplier notre côté droit. Et cela nous donne un sur 14 fois la matrice avec les éléments un fois huit plus moins cinq fois huit et trois fois huit plus moins un fois huit. Et cela équivaut à un sur 14 fois la matrice colonne avec les éléments moins 32, 16, qui est la matrice colonne avec les éléments moins 16 sur sept et huit sur sept. Et par l’égalité des matrices, cela nous donne 𝑥 est égal à moins 16 sur sept et 𝑦 est égal à huit sur sept. La solution du système moins 𝑥 plus cinq 𝑦 est égale à huit et moins trois 𝑥 plus 𝑦 est égale à huit est donc 𝑥 est égal à moins 16 sur sept et 𝑦 est égal à huit sur sept.

Dans cette vidéo, nous avons vu comment résoudre un système de deux équations linéaires en utilisant l’inverse de la matrice des coefficients. Récapitulons donc en indiquant certains points clés de cette méthode.

Étant donné le système de deux équations linéaires, 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 est égal à 𝑒 et 𝑐𝑥 plus 𝑑𝑦 est égal à 𝑓, où 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 et 𝑓 sont des constantes, nous nous assurons d’abord que les termes variables sont alignés verticalement. Nous formons ensuite une équation matricielle avec la matrice des coefficients 𝐴 multipliant une matrice colonne de variables 𝑥 est égale à une matrice colonne de constantes 𝑏. Nous déterminons ensuite l’inverse de notre matrice des coefficients, multiplions les deux côtés de l’équation de la matrice à gauche par l’inverse de 𝐴 de sorte que nous ayons 𝑥 égal à l’inverse de 𝐴 fois 𝑏 à droite puisque 𝐴 fois l’inverse de 𝐴 est la matrice unité. Nous multiplions ensuite le côté droit de notre équation pour notre solution 𝑥, 𝑦. Et rappelez-vous, cette solution 𝑥, 𝑦 est l’intersection des deux droites un et deux.

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