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Vidéo de question : Déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction du second degré étant donné sa courbe Mathématiques

Déterminez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction définie par 𝑓 (𝑥) = (𝑥 + 1) ² - 2.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus un le tout au carré moins deux.

Nous allons pouvoir trouver l’ensemble de définition et l’ensemble image parce qu’on nous a donné la courbe ici. Nous allons le faire en utilisant cette courbe représentative . Tout d’abord, nous devrons savoir quel est l’ensemble de définition. Donc, une façon d’envisager l’ensemble de définition est de savoir que ce sont toutes les valeurs d’entrée possibles. Cela signifie donc qu’il s’agit de toutes les valeurs 𝑥 entre parenthèses. Voyons donc la courbe.

Maintenant, comme vous pouvez le voir, j’ai choisi des valeurs 𝑥 quelconques, je vais juste surligner l’ensemble de définition qui pourrait être le bon choix. J’ai donc choisi moins trois, moins deux, un et deux - toutes les valeurs de 𝑥. Si je trace une droite soit vers le haut soit vers le bas, vous pouvez voir qu’elle coupera notre courbe. Et en fait, comme nous avons ces deux flèches sur notre courbe, ceci nous indique que notre courbe s’étend à l’infini. Donc notre courbe va continuer. Alors à cause de cela, nous pouvons réellement voir que toute valeur 𝑥 fonctionnera. Nous pouvons donc dire que l’ensemble de définition d’une fonction est égal à toutes nos valeurs réelles. Et nous l’avons représenté en utilisant cette notation ici. Ceci va être un 𝑅 majuscule.

Génial ! Nous connaissons donc maintenant l’ensemble de définition de notre fonction. Nous allons maintenant essayer de trouver l’ensemble image. Notre ensemble image est un ensemble de valeurs de sortie possibles. Donc cela signifie vraiment que nos valeurs 𝑦 sont possibles. Bon, alors regardons la courbe et voyons si ceci peut nous aider.

Tout d’abord, j’ai choisi quelques valeurs quelconques ici. Donc j’ai choisi 𝑦 est égal à sept, 𝑦 est égal à quatre. Et vous pouvez voir que ces deux lignes coupent notre courbe. Et elles font cela des deux côtés en fait. Donc aussi parce que nous avons la flèche, que nous avons surlignée plus tôt, nous voyons que cette courbe s’étend jusqu’à l’infini. Donc elle continue à se diriger vers le haut. This signifie que notre valeur 𝑦 peut en fait être n’importe quelle valeur jusqu’à l’infini.

Cependant, si ensuite nous faisons descendre la courbe, nous verrons que c’est une autre histoire lorsque nous arrivons au point le plus bas de la courbe. Nous pouvons voir qu’en moins deux, il y a une valeur de sortie possible parce que nous pouvons voir qu’en fait le point minimum de la courbe est là. Donc nous aurons notre valeur 𝑥 de moins un lorsque notre valeur 𝑦 est moins deux. Cependant, lorsque j’ai tracé l’autre droite à la valeur moins six, nous voyons qu’en fait, il n’y aurait aucune valeur de sortie possible. Donc, nous pouvons dire que nos valeurs 𝑦 pourraient être n’importe quelle valeur inférieure et égale à moins deux.

Et maintenant que nous avons trouvé l’ensemble image, nous pouvons réellement dire que nous avons résolu le problème car l’ensemble de définition de cette fonction représente toutes les racines réelles. Et l’ensemble image de la fonction est compris entre moins deux et jusqu’à l’infini. Ce sont les valeurs 𝑦.

Nous l’avons dans cette notation, car ceci s’appelle la notation d’intervalle. Et nous utilisons le crochet sur le membre de gauche parce que cela signifie que c’est inférieur et égal à moins deux. Cela fait partie de notre notation d’intervalle. Et sur le membre de droite, nous utilisons les crochets ouverts. C’est parce que notre valeur ne peut pas inclure l’infini, mais cela signifie qu’elle a des valeurs 𝑦 jusqu’à l’infini.

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