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Vidéo de la leçon : Résolution graphique d’équations du second degré Mathématiques

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment résoudre des équations du second degré à l’aide de courbes de fonctions.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment résoudre des équations du second degré à l’aide de courbes de fonctions. Tout d’abord, nous nous souvenons que les équations du second degré pourraient être sous la forme 𝑦 est égal à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎 ne peut pas être égal à zéro. Il s’agit de la formule standard pour les équations du second degré. Nous pourrions également les voir comme 𝑦 est égal à 𝑎 fois 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑘, où 𝑎 est une constante et ℎ, 𝑘 est le sommet ou le point tournant de la courbe. Et nous appelons cela la forme canonique. Mais nous ne regardons pas seulement les équations du second degré. Nous cherchons comment les résoudre.

Résoudre une équation, c’est trouver les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑦 est nul. L’une des façons dont nous résolvons les équations du second degré est la factorisation. Par exemple, si nous voulions résoudre 𝑦 est égal à 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 plus trois en factorisant, nous mettons 𝑦 égal à zéro. Et puis on retire les termes 𝑥 plus un et 𝑥 plus trois. Nous fixons les deux diviseurs à zéro. Et puis nous obtenons les valeurs de 𝑥 ce qui rend 𝑦 égal à zéro dans cette équation. Et nous appelons ces racines ou solutions. Mais dans cette vidéo, nous voulons résoudre en traçant une courbe. Nous le ferons en identifiant les points d’intérêt sur la courbe. Pour ce faire, nous considérerons les caractéristiques des courbes du second degré.

Quelques caractéristiques importantes d’une courbe quadratique. Les courbes de fonctions du second degré ont une forme de parabole distincte. Nous la considérons généralement comme une forme en U pointant vers le haut ou vers le bas. Ils s’ouvriront vers le haut lorsque 𝑎 est supérieur à zéro, lorsque 𝑎 est positif. N’oubliez pas que la valeur 𝑎 est le coefficient du terme carré 𝑥 lorsque nous écrivons notre équation du second degré sous forme développée. Et de même, la courbe s’ouvrira vers le bas lorsque 𝑎 est inférieur à zéro, lorsque 𝑎 est négatif. Nous pouvons également dire que lorsque 𝑎 est positif, il y aura une valeur minimale sur la courbe et que lorsque 𝑎 est négatif, il y aura une valeur maximale sur la courbe.

Et nous nous souvenons que 𝑎 ne peut pas être égal à zéro car cela signifierait que la courbe ne serait pas quadratique mais affine. Nous savons également que les courbes de fonctions du second degré sont symétriques par rapport au sommet. Nous pourrions plier la courbe en deux au sommet. Et les deux côtés se coucheraient l’un sur l’autre. Les courbes des fonctions du second degré ont une interception 𝑦 au point zéro, 𝑐. Les courbes auront des interceptions 𝑥 ou une interception 𝑥 là où 𝑦 est égal à zéro. Rappelez-vous, elles sont aussi appelées racines ou solutions. La courbe peut avoir deux solutions, une solution ou aucune solution si la courbe ne traverse pas du tout l’axe des 𝑥.

Pour résoudre une fonction du second degré par représentation graphique, nous allons essayer d’identifier les endroits où la courbe traverse l’axe des 𝑥. Essayons de le faire maintenant.

La figure est la courbe de 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥. Quel est l’ensemble solution de l’équation 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro ?

Nous savons que 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥. Et nous cherchons l’endroit où 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro. Ce sera l’endroit pour cette expression du second degré où 𝑦 est égal à zéro. Et 𝑦 est égal à zéro à l’interception 𝑥. 𝑦 est égal à zéro le long de l’axe des 𝑥. Et cette fonction traverse l’axe des 𝑥 à moins deux. Par conséquent, l’interception 𝑥 est moins deux, zéro. Mais l’ensemble solution sera la valeur 𝑥 qui rend 𝑓 de 𝑥 égal à zéro. Et cela signifie qu’au lieu de la forme coordonnée, nous nous intéressons uniquement à la coordonnée 𝑥. Cette fonction est égale à zéro lorsque 𝑥 est égal à moins deux. Par conséquent, l’ensemble solution inclura uniquement la valeur moins deux.

Voici un autre exemple.

Considérez la courbe. Les racines de la fonction peuvent être lues à partir de la courbe. Quelles sont-elles ?

Nous devons immédiatement penser aux racines d’une courbe. Les racines d’une équation du second degré sont les valeurs 𝑥 qui rendent 𝑦 égal à zéro. Et cela signifie que nous devons regarder les endroits où cette courbe croise l’axe des 𝑥. L’axe des 𝑥 est la droite 𝑦 égale zéro. Et ici, nous voyons les deux endroits que notre courbe traverse.

Entre zéro et moins un, il y a cinq intervalles. Et notre point tombe au milieu du troisième intervalle. Il se situe à mi-chemin entre zéro et moins un. Ce premier emplacement est alors 𝑥 égal à moins un demi. Lorsque 𝑥 est égal à moins un demi, 𝑦 est égal à zéro. Et la deuxième racine est à mi-chemin entre le moins un et le moins deux, qui est moins un et demi. Mais pour des raisons de cohérence, nous pourrions l’écrire en moins trois demis. Et donc nous pouvons dire que les racines de cette courbe sont moins un demi et moins trois demis.

Voici un troisième exemple.

La courbe montre la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus trois. Quel est l’ensemble solution de 𝑓 de 𝑥 égal à zéro ?

Si nous recherchons 𝑓 de 𝑥 égal à zéro, nous recherchons les valeurs 𝑥 qui rendent 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus trois égal à zéro. Et sur la courbe, ce sera l’endroit où 𝑦 est égal à zéro. Et nous savons que 𝑦 est égal à zéro le long de l’axe des 𝑥. Pour que cette fonction ait une solution de 𝑓 de 𝑥 égale à zéro, il faudrait qu’elle croise l’axe des 𝑥. Cette fonction ne traverse pas l’axe des 𝑥. Par conséquent, il n’a aucune solution ni aucune racine. Et par conséquent, la solution définie ici est l’ensemble vide ; il n’y a pas de solution.

Dans notre exemple suivant, nous allons dessiner notre propre courbe pour résoudre une équation.

En dessinant une courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 au carré moins trois 𝑥, trouvez l’ensemble solution de 𝑓 de 𝑥 égal à zéro.

Notre équation est 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 au carré moins trois 𝑥. Avant de commencer à dessiner notre courbe, il est utile d’avoir quelques coordonnées afin de pouvoir esquisser la courbe. Nous pouvons utiliser les tableaux pour ce faire. Si nous calculons les valeurs 𝑥, moins deux, moins un, zéro, un, deux, cela devrait nous donner une idée de la forme de cette courbe. Notre première case serait deux fois moins deux au carré moins trois fois moins deux, ce qui est égal à 14. Ensuite, nous avons deux fois moins un carré moins trois fois moins un, qui est cinq. Quand on pose zéro, le résultat est zéro. Lorsqu’on pose un, nous obtenons moins un. Lorsqu’on pose deux, nous obtenons deux.

Les valeurs supérieures, les valeurs 𝑥, représentent l’ensemble de définition de la fonction, ce que nous pouvons placer pour 𝑥. Et les valeurs inférieures représentent l’ensemble image, ce dont nous aurons besoin pour les valeurs 𝑦. Dans ces valeurs, nous avons un ensemble image dont le point le plus bas est moins un et le point le plus élevé est 14. Maintenant, ce ne sont que des points que nous avons choisis. Cela ne signifie pas que c’est l’étendue complète de la fonction. Mais cela nous donne une idée de ce que devrait être l’échelle des axes 𝑥 et 𝑦. Nous pouvons représenter graphiquement un point en moins deux, 14 ; moins un, cinq ; zéro, zéro ; un, moins un ; et deux, deux.

Lorsque nous regardons cela, nous voyons qu’il pourrait être utile d’avoir un point supplémentaire sur l’axe des 𝑥, afin que nous puissions calculer pour trois. Lorsque nous plaçons trois dans l’équation, nous obtenons neuf en sortie. Et cela nous donne juste un point de plus pour pouvoir esquisser cette courbe. Ce ne sera pas parfait, mais vous pouvez essayer d’obtenir une courbe lisse entre les points. Et quand nous faisons cela, puisque nous recherchons l’ensemble solution de 𝑓 de 𝑥 égal à zéro, nous recherchons les interceptions 𝑥. Nous recherchons les endroits où cette fonction traverse l’axe des 𝑥. Le premier est très clair. C’est le point zéro, zéro. Et la deuxième intersection se produit à mi-chemin entre un et deux. Nous avons une solution lorsque 𝑥 est égal à zéro et une solution lorsque 𝑥 est égal à un et demi, ce qui place notre solution en zéro et trois demis ou à zéro et un et demi.

N’oubliez pas que ce n’est pas un point de coordonnées. Ce sont deux valeurs 𝑥 différentes qui, une fois entrées dans la fonction, la sortie est nulle.

Maintenant, nous allons regarder un exemple où nous utiliserons les solutions de l’équation, les racines, pour nous aider à dessiner une courbe. Cela peut être une méthode plus rapide que d’utiliser une table de valeurs à chaque fois. Cependant, nous devrons toujours identifier d’autres coordonnées pour nous aider à dessiner une courbe.

(1) Résoudre 𝑥 au carré moins 10𝑥 plus 25 est égal à zéro en factorisant. (2) Tracez la courbe de 𝑓 de 𝑥 égal à 𝑥 au carré moins 10𝑥 plus 25.

Pour la première partie de ce problème, nous devrons factoriser 𝑥 au carré moins 10𝑥 plus 25. Puisque 𝑥 au carré a un coefficient de un, nous savons que chacun des diviseurs aura un terme 𝑥. Et puis nous devons considérer deux valeurs qui, multipliées ensemble, sont égales à 25, mais quand elles sont additionnées, elles sont égales à 10. Nous avons un et 25 ; moins un, moins 25 ; plus cinq, plus cinq ; et moins cinq, moins cinq.

Lorsque nous ajoutons moins cinq plus moins cinq, nous obtenons moins 10. Et nous avons donc trouvé les paires. Et nous réalisons que c’est 𝑥 moins cinq fois 𝑥 moins cinq. Ou nous pourrions dire que c’est 𝑥 moins cinq au carré. Mais encore une fois, nous devons résoudre pour 𝑥 ici. Et cela signifie que nous devrions obtenir 𝑥 par lui-même, prendre la racine carrée des deux côtés, et nous obtenons 𝑥 moins cinq égal à zéro. Et nous pouvons donc dire que la solution ou la racine de cette équation est 𝑥 égale à cinq. L’équation n’a qu’une racine. Et cela signifie qu’il ne traversera l’axe des 𝑥 qu’une seule fois. C’est tout ce dont nous avons besoin pour la première partie de la question.

Mais pour dessiner cette courbe, nous aurons besoin d’un peu plus d’informations. Nous savons que nous avons la racine cinq, zéro. Et parce qu’il n’y a qu’une racine, parce que c’est une racine double, le point cinq, zéro sera également le sommet de l’équation. Notre équation nous a été initialement donnée sous forme développée 𝑦 est égal à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. Et lorsque la fonction est donnée sous forme développée, l’interception 𝑦 est située à zéro, 𝑐. Pour nous, cette valeur constante, cette valeur 𝑐, est 25. Et nous pouvons dire que nous avons une interception 𝑦 à zéro, 25.

Nous pouvons utiliser ces valeurs pour aller de l’avant et esquisser nos axes 𝑥 et 𝑦. Parce que le coefficient de notre 𝑥 au carré, notre valeur 𝑎, est positif, nous pouvons dire que la parabole va s’ouvrir vers le haut et nous pouvons dire que le sommet sera un minimum. Puisque cinq, zéro est la valeur minimale, nous pouvons dire que zéro est la valeur la plus basse pour nos coordonnées 𝑦. Ensuite, nous ajouterons l’échelle à notre graphique en utilisant ces informations. Nous avons un minimum à cinq, zéro, une interception 𝑦 en zéro, 25. Et parce que nous savons que les paraboles sont symétriques par rapport au sommet, le 25 est à cinq unités de la coordonnée 𝑥 du sommet. Et cela signifie que cinq coordonnées à droite du sommet seraient également égales à 25. Il y aurait une coordonnée à 10, 25 ainsi qu’à zéro, 25. Et à partir de là, nous essayons d’utiliser une courbe lisse pour relier les points, qui complète notre graphique.

Dans tous nos exemples précédents, nous avons résolvons les valeurs 𝑥 lorsque 𝑦 est égal à zéro. Nous allons maintenant regarder un exemple où nous pouvons utiliser l’intersection d’une courbe quadratique et d’une autre droite.

La courbe montre que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à deux 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 moins six. Quel est l’ensemble solution de 𝑓 de 𝑥 égal à zéro ? Quel est l’ensemble solution de 𝑓 de 𝑥 égal à moins six ?

La solution établie pour 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro sera les endroits où deux 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 moins six sont égaux à zéro. Et sur la courbe, c’est l’endroit où ils traversent l’axe des 𝑥. Le 𝑦 est égal à zéro sur l’axe des 𝑥. Dans ce cas, nous avons une solution en moins un et plus trois. Donc, pour 𝑓 de 𝑥 égal à zéro, l’ensemble solution est moins un, trois. N’oubliez pas que ce n’est pas une coordonnée. Ce sont les valeurs 𝑥 pour lesquelles 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro. Et nous leur avons donné une notation d’ensemble.

L’axe des 𝑥, comme nous l’avons dit, est l’endroit où 𝑦 est égal à zéro. La droite 𝑓 de 𝑥 égale zéro est l’axe des 𝑥. Mais que ferions-nous si nous utilisions une courbe pour regarder 𝑓 de 𝑥 est égal à moins six ? Ce serait l’endroit ou les endroits où notre parabole traverse la droite 𝑦 est égal à moins six. Et dans cette courbe, nous voyons que cela se produit deux fois. Cela se produit lorsque 𝑥 est égal à zéro et lorsque 𝑥 est égal à deux. En notation d’ensemble, nous disons que les deux valeurs 𝑥 pour lesquelles 𝑓 de 𝑥 est égal à moins six sont zéro et deux.

Passons en revue les points clés lors de la résolution graphique des équations du second degré. La résolution d’équations du second degré fonctionne graphiquement en inspectant la courbe d’une fonction. Ce processus donne une solution approximative. Par conséquent, lorsqu’il s’agit de racines non entières, il peut être préférable de résoudre les racines algébriquement. Nous nous souvenons que les équations du second degré peuvent avoir une, deux ou zéro racines. Et lorsque nous regardons cela sur la courbe, cela signifie qu’elle peut traverser l’axe des 𝑥 une fois, deux fois ou pas du tout.

Et enfin, pour résoudre graphiquement une équation du second degré, nous trouvons l’endroit sur la courbe où l’équation croise l’axe des 𝑥. Il convient de noter ici que cela peut être une méthode utile si vous utilisez une calculatrice graphique pour résoudre ce type de problème. Vous pouvez saisir des équations du second degré dans votre calculatrice graphique. Et il produira une courbe que vous pourrez utiliser. Même lorsque vous travaillez avec une calculatrice, la procédure d’identification des interceptions 𝑥 restera la même, en recherchant les endroits où la courbe croise l’axe des 𝑥.

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