Vidéo question :: Déterminer l’ensemble solution d’une équation du second degré à l’aide de son sommet et de son coefficient dominant Mathématiques

Transcription de la vidéo

Vrai ou faux : Si le point de coordonnées moins deux, moins cinq est le sommet de la courbe représentative de la fonction du second degré 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, où 𝑎 est un nombre négatif, alors l’ensemble solution de l’équation 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro est l’ensemble vide.

Dans cette question, on nous donne des informations sur une fonction du second degré 𝑓 de 𝑥. On nous dit que la valeur de 𝑎, son coefficient directeur, est un nombre négatif. On nous dit aussi que le point avec les coordonnées moins deux, moins cinq est le sommet de la courbe de cette fonction du second degré. Nous devons utiliser ces informations pour déterminer si l’ensemble solution de l’équation 𝑓 de 𝑥 égale zéro est l’ensemble vide.

Pour ce faire, commençons par rappeler ce que nous entendons par ensemble de solutions d’une équation. Il s’agit de l’ensemble de toutes les solutions de l’équation. Ainsi, pour l’équation 𝑓 de 𝑥 égale zéro, il s’agit de l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑥 telles que 𝑓 évaluée en 𝑥 est nul. Nous devons déterminer si cela est vrai que l’ensemble de solutions de cette équation est l’ensemble vide, ce qui signifie qu’il n’y a pas de solutions.

Il y a plusieurs façons différentes de procéder. Par exemple, nous pourrions essayer de trouver les solutions algébriquement. Cependant, cela semble assez difficile. Au lieu de cela, vu que nous avons le signe du coefficient directeur de notre courbe et les coordonnées de son sommet, nous allons procéder graphiquement. Commençons par tracer un graphique de la fonction. Pour ce faire, nous pouvons rappeler que toutes les courbes du second degré ont une forme parabolique. En particulier, il y a deux orientations pour une parabole qui sont déterminées par le signe du coefficient directeur.

Si le coefficient directeur est négatif, alors nous disons que la parabole s’ouvre vers le bas. Cependant, si le coefficient directeur est positif, alors nous disons que la parabole s’ouvre vers le haut. Dans notre cas, on nous dit que le signe du coefficient directeur 𝑎 est négatif. Ainsi, la forme de notre parabole s’ouvrira vers le bas. Nous pouvons également rappeler que le point de changement de variation de ces paraboles est appelé le sommet de la parabole. Si la parabole s’ouvre vers le bas, alors la coordonnée 𝑦 du sommet nous indique l’image maximale de la fonction. Si la parabole s’ouvre vers le haut, alors la coordonnée 𝑦 du sommet nous indique l’image minimale de la fonction. Il convient également de noter que toutes les paraboles sont symétriques par rapport à la droite verticale passant par leur sommet.

Maintenant, nous pouvons tracer le graphique de notre parabole. Nous allons commencer par dessiner une repère de coordonnées et placer les coordonnées du sommet moins deux, moins cinq. Nous voulons ensuite dessiner une parabole qui s’ouvre vers le bas et avec ce point comme sommet. Par exemple, nous pourrions obtenir ce qui suit. Cependant, il convient de noter que nous ne savons pas à quel point cette parabole sera étroite ou large. Par exemple, nous pourrions avoir une parabole plus large qui s’ouvre vers le bas et qui a toujours le point de coordonnées moins deux, moins cinq comme sommet. Nous pourrions aussi avoir une parabole plus étroite, comme celle-ci. Nous ne connaissons donc pas la forme exacte de cette courbe.

Cependant, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant que toutes ces paraboles ont en commun. Elles ont toutes le sommet moins deux, moins cinq. Maintenant, puisque notre parabole s’ouvre vers le bas, nous savons que la coordonnée 𝑦 du sommet nous indique l’image maximale de la fonction. Son image maximale est moins cinq et cela se produit lorsque 𝑥 est égal à moins deux. Mais si la sortie maximale de la fonction est moins cinq, la fonction ne donnera jamais zéro. Il n’y a donc pas de solutions. Ainsi, l’équation n’a pas de solutions. Son ensemble de solutions est donc l’ensemble vide.

Il est intéressant de noter que cela revient à dire que le graphique de la fonction ne passe pas par l’axe des abscisses car cela indiquerait les valeurs de 𝑥 où la fonction renvoie une valeur de zéro. Nous aurions donc pu déterminer de manière équivalente que l’affirmation est vraie en notant qu’aucun de nos tracés ne passera par l’axe des 𝑥. Dans les deux cas, nous avons pu montrer que si le point moins deux, moins cinq est le sommet de la courbe d’une fonction quadratique avec un coefficient directeur négatif, alors il est vrai que l’ensemble solution de l’équation 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro doit être l’ensemble vide.