Transcription de la vidéo
Dans un groupe de 55 personnes, 26 aiment les bananes, 25 aiment les pommes et 18 aiment les oranges. Huit personnes aiment les bananes et les pommes, neuf aiment les pommes et les oranges, et sept aiment les bananes et les oranges. Cinq personnes aiment les bananes, les pommes et les oranges. Déterminez la probabilité de choisir au hasard une personne du groupe qui n’aime aucun de ces trois fruits. Donnez votre réponse sous forme de fraction irréductible.
Pour répondre à cette question, nous allons construire un diagramme de Venn représentant le groupe de personnes. Appelons le groupe de 55 personnes l’échantillon 𝑆, le groupe de personnes qui aiment les bananes 𝐵, le groupe de personnes qui aiment les pommes 𝐴 et le groupe de personnes qui aiment les oranges 𝑂.
Nous savons que cinq personnes du groupe aiment les bananes, les pommes et les oranges. Ainsi, l’intersection de ces trois ensembles a cinq membres. Cela signifie que la partie superposée des trois cercles du diagramme de Venn contient cinq issues. Nous savons également que huit personnes aiment les bananes et les pommes. En enlevant les cinq qui aiment les trois fruits, nous avons trois personnes qui aiment les bananes et les pommes mais pas les oranges. Ajoutons ce nombre au diagramme de Venn.
Nous savons également que neuf personnes aiment les pommes et les oranges. En enlevant les cinq personnes qui aiment les trois fruits, nous avons quatre personnes qui aiment les pommes et les oranges mais pas les bananes. Ajoutons ces nouvelles informations au diagramme de Venn. On nous a également dit que sept personnes aiment les bananes et les oranges. En enlevant les cinq personnes qui aiment les trois fruits, nous avons deux personnes qui aiment les bananes et les oranges mais pas les pommes. Nous utilisons cela pour mettre à jour le diagramme de Venn une fois de plus.
Maintenant, nous allons suivre le même processus pour remplir le reste du diagramme de Venn. Nous savons que 26 personnes aiment les bananes. Nous devons supprimer le nombre de personnes qui aiment les bananes que nous avons déjà prises en compte. Cela comprend les cinq qui aiment les trois fruits, les trois qui n’aiment que les bananes et les pommes et les deux qui n’aiment que les bananes et les oranges. Ainsi, nous soustrayons 10 du total de 26. Il reste 16 personnes qui n’aiment que les bananes. Nous écrivons donc 16 dans la partie vide du cercle 𝐵.
Nous savons aussi que 25 personnes aiment les pommes. Maintenant, nous devons supprimer les cinq qui aiment les trois fruits, les trois qui n’aiment que les bananes et les pommes et les quatre qui n’aiment que les pommes et les oranges. Nous soustrayons donc 12 du total de 25. Il reste 13 personnes qui n’aiment que les pommes. Nous ajoutons ces nouvelles informations au diagramme de Venn.
Enfin, nous savons que 18 personnes aiment les oranges. Nous devons supprimer les cinq qui aiment les trois fruits, les quatre qui n’aiment que les pommes et les oranges, et les deux qui n’aiment que les bananes et les oranges. Cela signifie que nous soustrayons 11 du total de 18. Il reste sept personnes qui n’aiment que les oranges. Cela complète les valeurs nécessaires pour remplir le diagramme de Venn.
Maintenant que le diagramme de Venn est complètement rempli, nous pouvons calculer le nombre total de personnes qui aiment les bananes, les pommes ou les oranges. Le nombre de personnes représentées dans le diagramme de Venn qui aiment un ou plusieurs des trois fruits, est de cinq plus trois plus quatre plus deux plus 16 plus 13 plus sept, ce qui équivaut à 50.
On nous demande de trouver la probabilité de sélectionner au hasard une personne parmi les 55 du groupe qui n’aime aucun de ces trois fruits. Puisque 50 des 55 personnes aiment un ou plusieurs de ces trois fruits, il reste cinq personnes qui n’aiment aucun d’entre eux. Nous écrivons donc le nombre cinq dans l’échantillon en dehors du diagramme de Venn.
Pour trouver la probabilité souhaitée, nous divisons le nombre de personnes qui n’aiment aucun de ces trois fruits par le nombre total de personnes dans l’espace d’échantillonnage, soit cinq sur 55, donc un sur 11. Par conséquent, la probabilité de sélectionner au hasard une personne du groupe qui n’aime aucun de ces trois fruits est de un onzième.