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Vidéo de la leçon : Relations entre les cordes et le centre d’un cercle Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier la relation entre des cordes de longueurs égales ou différentes et le centre du cercle, et à utiliser les propriétés des cordes dans des cercles superposables pour résoudre des problèmes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier la relation entre des cordes de longueur égale ou différente et le centre du cercle, et à utiliser les propriétés des cordes dans des cercles superposables pour résoudre des problèmes. Nous commençons par rappeler que la médiatrice d’une corde passe par le centre du cercle comme illustré. Étudions maintenant cela plus en détail pour voir comment cela nous conduira aux définitions et aux théorèmes que nous allons utiliser dans cette vidéo.

Sur le schéma, le segment OC est la médiatrice de la corde 𝐴𝐵. Cela nous amène à la définition suivante. La distance d’une corde au centre du cercle est définie par la longueur du segment issue du centre et qui coupe perpendiculairement la corde. En ajoutant le rayon 𝑂𝐴, on voit que le triangle 𝑂𝐶𝐴 est un triangle rectangle. D’après le théorème de Pythagore, 𝐴𝐶 au carré plus 𝑂𝐶 au carré égale 𝑂𝐴 au carré. Et puisque 𝐶 est le milieu de la corde 𝐴𝐵, on sait aussi que 𝐴𝐵 est égal à deux fois 𝐴𝐶. Cela signifie que si on connaît le rayon du cercle 𝑂𝐴 ainsi que la distance d’une corde au centre du cercle 𝑂𝐶, alors on peut calculer la longueur de la corde 𝐴𝐵.

Considérons maintenant une deuxième corde 𝐷𝐸 sur le même schéma. En ajoutant la médiatrice 𝑂𝐹 de la corde et le rayon 𝑂𝐷, on obtient ceci. Comme 𝑂𝐴 et 𝑂𝐷 sont des rayons du cercle, ils sont de même longueur. Nous souhaitons alors étudier la relation entre les longueurs des cordes 𝐴𝐵 et 𝐷𝐸. Si on sait que 𝐷𝐸 est plus éloigné du centre que 𝐴𝐵, on peut supposer que 𝑂𝐶 est inférieure à 𝑂𝐹. En comparant les demi-cordes 𝐴𝐶 et 𝐷𝐹 et en utilisant à nouveau le théorème de Pythagore, on a 𝐴𝐶 au carré plus 𝑂𝐶 au carré égale 𝑂𝐴 au carré et 𝐷𝐹 au carré plus 𝑂𝐹 au carré égale 𝑂𝐷 au carré.

Or 𝑂𝐴 égale 𝑂𝐷. Cela signifie que les membres gauches des deux équations doivent être égaux. 𝐴𝐶 au carré plus 𝑂𝐶 au carré égale 𝐷𝐹 au carré plus 𝑂𝐹 au carré. On peut réorganiser cette équation pour obtenir 𝐴𝐶 au carré moins 𝐷𝐹 au carré égale 𝑂𝐹 au carré moins 𝑂𝐶 au carré. Comme 𝑂𝐹 est supérieur à 𝑂𝐶, le membre droit de cette équation doit être supérieur à zéro. Cela signifie que le membre gauche doit également être supérieur à zéro, c’est-à-dire positif. En ajoutant 𝐷𝐹 au carré aux deux membres de cette inégalité, on a 𝐴𝐶 au carré est supérieur à 𝐷𝐹 au carré. Et comme 𝐴𝐶 et 𝐷𝐹 sont toutes les deux des longueurs positives, prendre la racine carrée des deux membres nous donne AC supérieur à 𝐷𝐹.

Cela nous amène au théorème suivant. Si deux cordes dans un même cercle sont à des distances différentes du centre, alors la corde qui est la plus proche du centre du cercle est plus longue que l’autre. Nous allons maintenant appliquer ce théorème à un exemple.

On suppose que 𝐵𝐶 égale huit centimètres et 𝐵𝐴 égale sept centimètres. Laquelle des relations suivantes est vraie? Est-ce (A) 𝐷𝑀 égale 𝑋𝑌, (B) 𝐷𝑀 est supérieure à 𝑋𝑌, ou (C) 𝐷𝑀 est inférieure à 𝑋𝑌?

Commençons par ajouter les longueurs 𝐵𝐶 et 𝐵𝐴 à notre schéma. Ce sont les distances respectives des cordes 𝐷𝑀 et 𝑋𝑌 au centre du cercle 𝐵. On rappelle que la corde la plus proche du centre du cercle est la plus longue. Sur le schéma, on voit que la corde 𝑋𝑌 est à sept centimètres du centre. C’est la longueur de 𝐵𝐴. La corde 𝐷𝑀, en revanche, est à huit centimètres du centre. Cela signifie que 𝑋𝑌 est plus proche du centre du cercle que 𝐷𝑀. La première corde sera donc plus longue et nous pouvons conclure que 𝑋𝑌 est supérieure à 𝐷𝑀. Parmi les trois options proposées, la bonne réponse est (C): 𝐷𝑀 est inférieure à 𝑋𝑌.

Nous avons considéré pour le moment uniquement la situation où les distances de deux cordes au centre du cercle ne sont pas égales. Voyons maintenant ce qui se passe lorsque les deux cordes sont équidistantes du centre.

Sur ce schéma, les cordes 𝐴𝐵 et 𝐷𝐸 sont équidistantes du centre. Cela signifie que 𝑂𝐶 est égal à 𝑂𝐹. Les deux rayons 𝑂𝐴 et 𝑂𝐷 sont également de même longueur. Cela signifie que les triangles rectangles 𝑂𝐶𝐴 et 𝑂𝐹𝐷 ont deux paires de côtés égaux. D’après le théorème de Pythagore, les longueurs des troisièmes côtés des triangles doivent donc aussi être égales. La demi-corde 𝐴𝐶 est égale à la demi-corde 𝐷𝐹. On peut alors en déduire que les cordes 𝐴𝐵 et 𝐷𝐸 sont de même longueur. Cela peut être résumé comme suit. Si deux cordes dans un même cercle sont équidistantes du centre du cercle, alors elles sont de même longueur.

Bien que nous ne verrons pas d’exemple dans cette vidéo, il est également important de noter que ce théorème reste valable pour des cercles superposables. Dans ce cas, si les cordes sont équidistantes des centres respectifs des cercles, alors elles sont de même longueur. Prenons maintenant un exemple où nous devons calculer la longueur inconnue d’une corde d’après un schéma.

Sachant que 𝑀𝐶 égale 𝑀𝐹 égale trois centimètres, que 𝐴𝐶 égale quatre centimètres, que le segment MC est perpendiculaire au segment AB et que le segment 𝑀𝐹 est perpendiculaire au segment 𝐷𝐸, déterminez la longueur du segment 𝐷𝐸.

Par hypothèse on a 𝑀𝐶 est égal à 𝑀𝐹. Cela signifie que les deux cordes 𝐴𝐵 et 𝐷𝐸 sont équidistantes du centre 𝑀. Elles sont tous les deux à trois centimètres du centre. On rappelle alors le théorème qui stipule que si deux cordes sont équidistantes du centre, alors elles sont de même longueur. Par conséquent, la longueur 𝐴𝐵 est égale à la longueur 𝐷𝐸. On sait également que 𝑀𝐶 est la médiatrice de 𝐴𝐵. Donc 𝐴𝐵 est égale à deux fois 𝐴𝐶. Et comme 𝐴𝐶 égale quatre centimètres, 𝐴𝐵 est égal à huit centimètres. Nous pouvons donc conclure que la longueur de la corde 𝐷𝐸 est de huit centimètres.

Jusqu’à présent, nous avons abordé dans cette vidéo les longueurs de cordes en fonction de leur distance au centre du cercle. Nous allons maintenant étudier la relation réciproque. La figure représente deux cercles superposables. Nous allons considérer le cas où les cordes 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont de même longueur et voir ce que cela implique sur la distance des cordes à leurs centres respectifs. Dans cet exemple, ces distances sont les longueurs 𝑂𝐸 et 𝑃𝐹; on ajoute maintenant les rayons 𝑂𝐴 et 𝑃𝐶, et on sait que ces longueurs doivent être égales, car les cercles sont superposables. Comme les cordes sont de même longueur, les demi-cordes doivent également être de même longueur, donc 𝐴𝐸 égale 𝐶𝐹. Car 𝐴𝐸 est égale à la moitié de 𝐴𝐵 et 𝐶𝐹 est égale à la moitié de 𝐶𝐷.

D’après le théorème de Pythagore, les troisièmes côtés des triangles rectangles doivent aussi être de longueur égale. La longueur 𝑂𝐸 est égale à la longueur 𝑃𝐹. En d’autres termes, les distances des cordes à leurs centres respectifs sont égales. Cela peut être résumé comme suit. Deux cordes de même longueur dans un même cercle ou dans des cercles superposables sont équidistantes du centre du cercle ou de leurs centres respectifs.

Dans le dernier exemple, nous allons utiliser cette propriété pour calculer une longueur inconnue.

Sachant que 𝐴𝐵 égale 𝐶𝐷, que 𝑀𝐶 égale 10 centimètres et que 𝐷𝐹 égale huit centimètres, déterminez la longueur du segment 𝑀𝐸.

Dans cette question, nous essayons de calculer la longueur de 𝑀𝐸, qui est la distance entre la corde 𝐴𝐵 et le centre du cercle 𝑀. On commence par rappeler que deux cordes de longueurs égales sont équidistantes du centre. Et la question indique que les deux cordes 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont de même longueur. Cela signifie que la longueur 𝑀𝐹 doit être égale à 𝑀𝐸. Le segment ME est la médiatrice de la corde 𝐴𝐵. De même, 𝑀𝐹 est la médiatrice de 𝐶𝐷. Comme 𝐷𝐹 est égale à huit centimètres, 𝐶𝐹, 𝐴𝐸 et 𝐵𝐸 sont aussi toutes égales à huit centimètres.

Notre prochaine étape est maintenant de considérer le triangle rectangle 𝑀𝐹𝐶. D’après le théorème de Pythagore, 𝑀𝐹 au carré plus 𝐶𝐹 au carré égale 𝑀𝐶 au carré. En soustrayant 𝐶𝐹 au carré des deux membres et en substituant les valeurs de 𝐶𝐹 et 𝑀𝐶, on a 𝑀𝐹 au carré égale 10 au carré moins huit au carré. Ce qui fait 36. En prenant la racine carrée des deux membres de cette équation sachant que 𝑀𝐹 doit être une valeur positive, on obtient 𝑀𝐹 égale six. Et puisque 𝑀𝐹 est égal à six centimètres, 𝑀𝐸 doit aussi être égal à six centimètres. La distance entre le centre de la corde 𝐴𝐵 et le centre du cercle 𝑀, qui est le segment 𝑀𝐸, est égale à six centimètres.

Nous allons maintenant terminer cette vidéo par résumer les points clés. La distance d’une corde au centre du cercle est définie par la longueur du segment perpendiculaire à la corde ayant pour extrémité le centre du cercle. Si deux cordes dans un même cercle sont à des distances différentes du centre, alors la corde qui est la plus proche du centre du cercle est la plus longue. Si deux cordes sont équidistantes du centre d’un cercle, alors elles sont de même longueur. La réciproque de de cela est également vraie. Deux cordes de longueurs égales dans un même cercle sont équidistantes du centre. Il est important de noter que les trois dernières propriétés sont également vraies pour deux cercles superposables.

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