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Vidéo de question : Détermination de l’intensité du vecteur déplacement d’un corps à un instant donné à partir de l’expression du vecteur position par rapport au temps Mathématiques

Une particule de vecteur position 𝐫 donné par la relation 𝐫 (𝑡) = (6𝑡 - 4) 𝐢 + (9𝑡 + 4) 𝐣, où 𝐢 et 𝐣 sont les vecteurs unitaires. Calculez l’intensité du déplacement de la particule pendant l’intervalle de 2 à 6 secondes.

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Transcription de vidéo

Une particule en mouvement a un vecteur de position 𝐫 donné par la relation 𝐫 de 𝑡 est égal à six 𝑡 moins quatre 𝐢 plus neuf 𝑡 plus quatre 𝐣, où 𝐢 et 𝐣 sont les vecteurs unitaires. Trouvez l’intensité du déplacement de la particule pendant l’intervalle de deux à six secondes.

On doit faire beaucoup d’attention lorsque l’on répond à cette question. On a reçu des informations sur la position de la particule 𝐫 à l’instant 𝑡. Et on cherche à calculer le déplacement de la particule. Alors, quelle est la différence entre la position et le déplacement ? La position nous indique l’emplacement exact par rapport à un point fixe, ici l’origine, alors que le déplacement nous indique la distance parcourue dans une direction particulière à partir de cette origine.

Et donc on commence par faire 𝑡 égal à deux, puis 𝑡 égal à six et ainsi on calcule la position exacte de la particule à ces instants-là. Une fois que l’on fait cela, on peut calculer le déplacement. 𝐫 de deux est six fois deux moins quatre 𝐢 plus neuf fois deux plus quatre 𝐣. Cela nous donne un vecteur de position de huit 𝐢 plus 22𝐣 lorsque 𝑡 est égal à deux. Ensuite, on fait 𝑡 égal à six, et on obtient six fois six moins quatre 𝐢 plus neuf fois six plus quatre 𝐣, ce qui nous donne 32𝐢 plus 58𝐣.

On veut calculer le vecteur de déplacement sur cet intervalle. Et cela sera donné par son changement de position sur cette période, donc 𝐫 de six moins 𝐫 de deux. C’est 32𝐢 plus 58𝐣 moins huit 𝐢 plus 22𝐣. Et si l’on développe les parenthèses, on a 32𝐢 plus 58𝐣 moins huit 𝐢 moins 22𝐣. Ensuite, on peut soustraire les composants individuels. 32𝐢 moins huit 𝐢 est 24𝐢, et 58𝐣 moins 22𝐣 est 36𝐣. Ainsi, le changement de position, et donc le vecteur de déplacement, est de 24𝐢 plus 36𝐣.

On n’a pas tout à fait terminé. En effet, on nous demande de calculer l’intensité du déplacement. Et donc si l’on considère le vecteur déplacement comme un segment, on sait que l’on peut représenter un triangle rectangle comme indiqué. L’intensité du déplacement est simplement la longueur de ce segment. Et puisque l’on travaille avec un triangle rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore. Cela nous indique que le carré du côté le plus long de notre triangle est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts. En d’autres termes, 𝑥 au carré est égal à 24 au carré plus 36 au carré. 24 au carré plus 36 au carré est 1872. Donc 𝑥 est la racine carrée de cela, qui est 12 fois racine de 13. L’intensité du déplacement de la particule est donc de 12 fois racine de 13.

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