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Vidéo de question : Calcul d’expressions logarithmiques en utilisant les lois des logarithmes Mathématiques

Trouvez la valeur de log₄ 1/32 + 14 log₄ 2 + log₄ 16 - log₄ 1/2 - log₄ 64 sans calculatrice.

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Transcription de vidéo

Trouvez la valeur de log base quatre de un sur 32 plus 14 log base quatre de un sur deux plus log base quatre de 16 moins log base quatre de un demi moins log base quatre de 64 sans calculatrice.

Comme la base est la même pour les cinq termes, nous pouvons utiliser les lois de logarithmes. Avant cela, nous pouvons remarquer que un sur 32, 16, un demi et 64 peuvent tous être écrits comme une certaine puissance de deux. 16 est égal à deux puissance quatre. 64 est égal à deux puissance six. Un demi est égal à deux puissance moins un, car tout nombre puissance moins un est égal à l’inverse de ce nombre. L’inverse de deux est un demi. Donc si deux puissance cinq est égal à 32, deux puissance moins cinq est égal à un sur 32.

Nous pouvons donc réécrire l’expression initiale comme ceci. Log de deux puissance moins cinq plus 14 log de deux plus log de deux puissance quatre moins log de deux puissance moins un moins log de deux puissance six. Tous ces termes sont en base quatre.

Une des lois des logarithmes dit que log de 𝑎 puissance 𝑛 est égal à 𝑛 multiplié par log de 𝑎. Nous pouvons faire passer les puissances ou exposants devant chacun des termes. Cela nous donne moins cinq log de deux plus 14 log de deux plus quatre log de deux plus log de deux moins six log de deux. Moins cinq plus 14 plus quatre plus un moins six est égal à huit. Notre expression se simplifie en huit log de deux en base quatre.

Voyons maintenant comment calculer la valeur de log base quatre de deux. Nous savons que si log base 𝑎 de 𝑏 est égal à 𝑐, alors 𝑎 puissance 𝑐 est égal à 𝑏. Dans cette question, 𝑎 est égal à quatre, 𝑏 est égal à deux et nous essayons de calculer la valeur de 𝑐. Quatre puissance 𝑐 est égal à deux. Comme la racine carrée de quatre est égale à deux, quatre puissance un demi est égal à deux. La valeur de 𝑐 est un demi, donc log base quatre de deux vaut un demi.

Pour calculer la valeur de l’expression, nous devons multiplier huit par un demi. C’est égal à quatre, ce que nous pourrions vérifier à l’aide d’une calculatrice.

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