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Vidéo de question : Déterminer les valeurs d’une inconnue et des racines d’une équation du second degré sachant que ses racines sont égales Mathématiques

Si les racines de l’équation 𝑥² - 𝑘𝑥 - 4𝑘 - 4𝑥 + 4 = 0 sont égales, alors quelles sont les valeurs possibles de 𝑘 ? Pour chaque valeur de 𝑘, déterminez les racines de l’équation.

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Transcription de vidéo

Si les racines de l’équation 𝑥 au carré moins 𝑘𝑥 moins quatre 𝑘 moins quatre 𝑥 plus quatre est égal à zéro sont égales, alors quelles sont les valeurs possibles de 𝑘 ? Pour chaque valeur de 𝑘, déterminez les racines de l’équation.

Nous allons commencer par réécrire notre équation afin qu’elle soit sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro. Premièrement, nous pouvons écrire l’équation comme 𝑥 au carré moins 𝑘𝑥 moins quatre 𝑥 moins quatre 𝑘 plus quatre est égal à zéro. Les deuxième et troisième termes peuvent être réécrits « plus moins 𝑘 moins quatre multiplié par 𝑥 ». Nous pouvons réécrire les deux derniers termes comme quatre moins quatre 𝑘. Cela nous donne l’équation 𝑥 au carré plus moins 𝑘 moins quatre 𝑥 plus quatre moins quatre 𝑘. Elle est maintenant écrite sous la forme générale d’une équation du second degré à savoir 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro, où 𝑎 est égal à un, le coefficient de 𝑥 au carré ; 𝑏 est égal à moins 𝑘 moins quatre, le coefficient de 𝑥 et 𝑐 est égal à quatre moins quatre 𝑘 qui est la constante.

Nous savons que si les racines d’une équation du second degré sont égales, alors le discriminant, soit 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐, est égal à zéro. En remplaçant par nos valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐, nous obtenons que moins 𝑘 moins quatre au carré moins quatre multiplié par un multiplié par quatre moins quatre 𝑘 est égal à zéro. Nous pouvons développer les premières parenthèses en multipliant moins 𝑘 moins quatre par moins 𝑘 moins quatre. Puisque multiplier deux termes négatifs donne un résultat positif, cela équivaut donc à 𝑘 au carré plus quatre 𝑘 plus quatre 𝑘 plus 16.

En regroupant les termes similaires, nous obtenons 𝑘 au carré plus huit 𝑘 plus 16. Moins quatre multiplié par un est égal à moins quatre. Nous pouvons alors le distribuer sur l’expression entre parenthèses quatre moins quatre 𝑘. Cela nous donne moins 16 plus 16𝑘. Ainsi, notre équation devient 𝑘 au carré plus huit 𝑘 plus 16 moins 16 plus 16𝑘 est égal à zéro. Les 16 s’annulent, car 16 moins 16 est égal à zéro, nous laissant donc avec 𝑘 au carré plus 24𝑘 est égal à zéro.

Nous pouvons factoriser par 𝑘. Nous obtenons donc que 𝑘 multiplié par 𝑘 plus 24 est égal à zéro. Pour que l’expression du membre de gauche soit égale à zéro alors soit 𝑘 est égal à zéro, soit 𝑘 plus 24 est égal à zéro. Soustraire 24 des deux membres de la deuxième équation nous donne que 𝑘 est égal à moins 24. Les deux valeurs possibles de 𝑘 sont donc zéro et moins 24.

Nous pouvons maintenant remplacer par ces valeurs dans notre équation initiale pour déterminer les racines. Lorsque 𝑘 est égal à zéro, nous avons l’équation du second degré 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus quatre est égal à zéro. L’expression du membre de gauche se factorise pour nous donner 𝑥 moins deux multiplié par 𝑥 moins deux. Les deux racines sont donc 𝑥 est égal à deux. Lorsque 𝑘 est égal à zéro, nos deux racines sont 𝑥 est égal à deux et 𝑥 est égal à deux.

Nous pouvons maintenant répéter ce processus lorsque 𝑘 est égal à moins 24. Cette fois, notre équation du second degré devient 𝑥 au carré plus 20𝑥 plus 100 est égal à zéro. Encore une fois, cela peut être factorisé en deux parenthèses identiques, 𝑥 plus 10 multiplié par 𝑥 plus 10. Les racines de cette équation du second degré sont 𝑥 est égal à moins 10. Nos deuxièmes solutions possibles à l’équation lorsque 𝑘 est égal à moins 24 sont 𝑥 est égal à moins 10 et 𝑥 est égal à moins 10. Nous avons ainsi déterminé les deux valeurs possibles de 𝑘 et les racines correspondantes.

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