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Vidéo de la leçon : Relations proportionnelles et non proportionnelles Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à reconnaître les rapports qui sont en proportion, à déterminer un terme inconnu dans une proportion et à identifier la proportionnalité dans des problèmes de la vie courante.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons aborder la notion de proportion, ainsi que les relations proportionnelles et non proportionnelles, et nous allons apprendre à identifier la proportionnalité dans des problèmes du monde réel.

Commençons par rappeler un sujet étroitement lié, le rapport. Imaginons que nous ayons une recette de salade de fruits qui, pour deux personnes, nécessite deux pommes et quatre oranges. Nous pourrions donc écrire le rapport de pommes aux oranges comme deux à quatre. Maintenant, imaginons que nous voulions faire une salade de fruits pour quatre personnes. Nous pourrions alors simplement doubler les quantités. Nous aurions donc besoin de quatre pommes et de huit oranges. Dans ce cas, notre rapport serait de quatre à huit. On peut dire que le rapport est la relation entre les parties.

De manière informelle, nous pouvons dire que la proportion est une relation entre une partie et un tout. Donc, si nous voulions retirer la proportion de pommes de tous les fruits, dans notre première situation, ce serait deux sur six. Et dans notre deuxième scénario, la proportion de pommes serait de quatre sur douze. Nous pouvons dire dans notre scénario que les pommes et les oranges sont en proportion. Nous pouvons dire que si nous avons deux quantités 𝐴 et 𝐵, alors elles sont proportionnelles lorsque, d’une situation à l’autre, les deux quantités sont multipliées ou divisées par le même nombre. Dans notre salade de fruits, nous avons vu que pour deux personnes, pour arriver à quatre personnes, nous avons multiplié nos quantités par deux.

On peut aussi penser à notre relation de proportion en fonction de rapports. Ainsi, si nous avons les quantités de 𝐴 et 𝐵 comme 𝐴 indice un et 𝐵 indice un dans une situation et 𝐴 indice deux et 𝐵 indice deux dans une autre situation, alors nous pouvons dire que 𝐴 indice un à 𝐵 indice un est égal à 𝐴 indice deux à 𝐵 indice deux. Dans notre situation, le rapport des pommes aux oranges était de deux à quatre. Et c’est égal au rapport de quatre à huit. Nous pouvons dire cela parce que quatre à huit se simplifie en le rapport deux à quatre, ou que les deux se simplifieraient en le rapport un à deux.

Nous pouvons aussi écrire la relation proportionnelle sous la forme 𝐴 indice un sur 𝐵 indice un est égal à 𝐴 indice deux sur 𝐵 indice deux. Enfin, nous pouvons aussi considérer la proportionnalité sous forme graphique. Si nous traçons 𝐴 par rapport à 𝐵, alors il y aura une droite passant par l’origine. Et enfin, lorsque nous parlons de proportionnalité, nous devons également considérer le mot « taux ». Un taux est un type spécial de proportion comparant des quantités de nature différente dans des unités différentes, par exemple, le prix d’un article et la quantité. Ainsi, dans une situation où nous avons payé 40 dollars pour huit livres, le taux pourrait s’écrire comme 40 sur huit ou cinq sur un, ce qui correspond essentiellement à cinq dollars par livre.

Et nous devons également être familiarisés avec le terme « taux unitaire », qui est un taux ayant comme dénominateur un. Voyons maintenant quelques exemples de relations proportionnelles et non proportionnelles.

Un ascenseur monte ou s’élève avec une vitesse de 750 pieds par minute. Est-ce que la hauteur que l’ascenseur atteint est proportionnelle au nombre de minutes qu’il met pour y arriver ?

Commençons par noter que l’on nous donne une vitesse de 750 pieds par minute. Nous pourrions noter qu’il s’agit d’une fraction de 750 sur un. Examinons donc la hauteur à laquelle l’ascenseur va monter pendant quelques valeurs différentes du nombre de minutes. En une minute, nous savons que l’ascenseur montera de 750 pieds. En deux minutes, nous aurions deux fois 750 pieds, ce qui fait 1500 pieds. En trois minutes, nous aurons trois fois 750 pieds, soit 2250 pieds.

Dans cette question, on nous demande si la hauteur est proportionnelle au nombre de minutes, alors rappelons-nous ce que signifie être proportionnel. Nous pouvons dire que deux quantités 𝐴 et 𝐵 sont proportionnelles lorsque, d’une situation à l’autre, les deux quantités sont multipliées ou divisées par le même nombre. Ainsi, dans notre première situation, nous avions 750 sur un. C’est-à-dire 750 pieds en une minute. En deux minutes, nous avons eu la fraction 1500 sur deux. C’est 1500 pieds en deux minutes. Et à trois minutes, nous avions 2250 pieds en trois minutes.

Nous remarquons que nous pouvons passer de notre première fraction à notre deuxième fraction en multipliant le numérateur et le dénominateur par deux. Nous pouvons passer de la première minute à la troisième minute en multipliant notre première fraction, 750 sur un, par trois. Nous pouvons donc dire que nos fractions sont égales. Et donc, nous devons avoir une relation proportionnelle. Donc, notre réponse à la question, est-ce que la hauteur est proportionnelle au nombre de minutes, est oui.

La pizzeria Uptown vend des pizzas de taille moyenne à sept dollars chacune, et perçoit des frais de livraison de trois dollars par commande. Le coût d’une commande est-il proportionnel au nombre de pizzas commandées ?

Dans cette question, nous allons examiner différents scénarios concernant le coût des pizzas et les frais. Et nous vérifierons notre réponse à l’aide d’un graphique. Commençons donc par examiner le coût d’une commande pour différentes quantités de pizza. Pour une pizza moyenne, on nous dit que le coût est de sept dollars et que les frais de livraison sont de trois dollars. Donc, le coût total de notre commande serait de 10 dollars. Pour deux pizzas, nous aurions deux fois sept dollars. Et si on ajoute les trois dollars de frais de livraison, on obtient un total de 17 dollars. Pour trois pizzas, nous aurions trois fois sept dollars, soit 21 dollars. Et en ajoutant nos trois dollars de frais de livraison, nous aurions 24 dollars au total.

Dans cette question, on nous demande si le coût de la commande est proportionnel au nombre de pizzas commandées. Nous pouvons rappeler que si nous avons deux quantités 𝐴 et 𝐵, alors elles sont proportionnelles lorsque, d’une situation à l’autre, les deux quantités sont multipliées par le même nombre. Nous pourrions également penser à cela comme 𝐴 indice un sur 𝐵 indice un est égal à 𝐴 indice deux sur 𝐵 indice deux, où 𝐴 indice un et 𝐵 indice un sont les quantités de 𝐴 et 𝐵 dans une situation et 𝐴 indice deux et 𝐵 indice deux sont les quantités de 𝐴 et 𝐵 dans une autre situation.

Ainsi, si nous prenons notre situation avec une pizza, nous pourrions dire que le coût par pizza serait de 10 sur un, ce qui équivaut à 10 dollars par pizza. Dans notre deuxième situation, le coût par pizza serait de 17 dollars sur deux, ce qui équivaut à 8 dollars 50 par pizza. Dans notre troisième situation, nous aurions 24 dollars pour la commande divisés par trois pizzas, ce qui équivaut à 8 dollars par pizza. Donc, pour avoir une relation proportionnelle, il faudrait vérifier si nos fractions 10 sur un, 17 sur deux et 24 sur trois sont égales. Et non, elles ne sont pas égales. On peut donc dire que le coût d’une commande et le nombre de pizzas ne sont pas proportionnels.

Voyons comment vérifier cela à l’aide d’un graphique. Nous pouvons tracer le nombre de pizzas par rapport au coût de la commande. En utilisant les valeurs que nous avons calculées précédemment, à savoir qu’une pizza aurait un coût total de 10 dollars, deux pizzas auraient un coût de commande de 17 dollars et trois pizzas auraient un coût de commande de 24 dollars, nous pouvons tracer ces valeurs et tracer une droite à travers elles. Ici, nous avons une droite qui ne passe pas par l’origine. Cela indiquerait une relation linéaire non proportionnelle.

En fait, si nous regardons le point où elle croise l’axe des 𝑦, nous pouvons voir que ce serait à la coordonnée zéro, trois, ce qui est la situation un peu bizarre de commander zéro pizza et de se faire facturer trois dollars pour la livraison. Si nous avons un graphique de deux quantités proportionnelles, alors nous aurions un graphique en droite qui passe par l’origine. Comme nous n’avons pas cela ici, alors cela confirme notre réponse initiale selon laquelle le coût d’une commande et le nombre de pizzas commandées ne sont pas proportionnels.

Dans l’exemple suivant, nous allons examiner de plus près le graphique d’une relation proportionnelle et en comprendre les différents aspects.

Hannah travaille comme baby-sitter. Le graphique montre la relation proportionnelle entre le nombre d’heures qu’elle travaille et le montant total qu’elle reçoit. Laquelle affirmations suivants n’est pas vraie ? Option A) le point 𝑄 montre qu’Hannah gagnera 60 dollars si elle travaille quatre heures. Option B) le taux unitaire de cette relation proportionnelle est de 15 dollars par heure. Option C) tout point de coordonnées 𝑥, 𝑦 sur ce graphique montre qu’Hannah gagnera 𝑦 dollars si elle travaille 𝑥 heures. Option D) si Hannah travaille 10 heures, alors elle gagnera 150 dollars. Option E) si Hannah travaille quatre heures, alors elle gagnera 15 dollars.

Nous avons donc ici le graphique d’une relation proportionnelle entre le nombre d’heures de travail de Hannah et le montant total qu’elle reçoit. Nous pouvons confirmer qu’il s’agit d’une relation proportionnelle car c’est un graphique en droite et il passe par l’origine. Le point zéro ; zéro serait la situation où Hannah travaille zéro heure et reçoit zéro argent. Alors, regardons les affirmations et décidons si elles sont vraies ou fausses.

Commençons par l’affirmation A, le point 𝑄 montre que Hannah gagnera 60 dollars si elle travaille quatre heures. Ainsi, si nous regardons quatre sur notre axe des 𝑥, nous pouvons voir que le point 𝑄 a également la même coordonnée 𝑥. Et en fait, la coordonnée 𝑦 sera 60, ce qui indique 60 dollars. Donc, ici, Hannah travaille pendant quatre heures et gagne 60 dollars. Voici donc le point 𝑄 qui indique que l’affirmation A est vraie.

En regardant l’énoncé B, nous avons le terme « taux unitaire ». Nous pouvons rappeler qu’un taux unitaire est une proportion avec différentes quantités qui a comme dénominateur un. Dans notre cas, notre proportion sera les dollars, ou l’argent gagné, sur le nombre d’heures. Pour trouver le taux unitaire, nous devons savoir combien de dollars pour une heure. En utilisant notre graphique pour nous aider, si nous regardons une heure sur l’axe des 𝑥, ce sera le point un ; 15, ce qui signifie que Hannah gagne 15 dollars en une heure. Et donc, notre affirmation B est vraie. Elle gagne 15 dollars par heure.

Regardons ensuite l’affirmation C, tout point de coordonnées 𝑥, 𝑦 sur ce graphique montre que Hannah gagnera 𝑦 dollars si elle travaille 𝑥 heures. Regardons la coordonnée zéro ; zéro. Ce serait le cas si elle travaille zéro heure et gagne zéro dollar. Au point un ; 15, elle travaille une heure et est payée 15 dollars. De même, la coordonnée deux ; 30 signifie qu’elle travaille deux heures et qu’elle est payée 30 dollars. Et la coordonnée 3 ; 45 signifie qu’elle travaille trois heures et qu’elle est payée 45 dollars. Donc, pour toute coordonnée 𝑥, 𝑦, cela signifie qu’elle travaille 𝑥 heures et qu’elle est payée 𝑦 dollars, ce qui correspond à l’affirmation C. Ainsi, elle est vraie aussi.

Et pour l’affirmation D, si Hannah travaille 10 heures, elle gagnera 150 dollars. Voyons donc si nous pouvons utiliser le graphique. Si nous regardons sur l’axe des 𝑥 où le nombre d’heures est 10, nous pouvons voir que la droite ne passe pas par ce point. Mais nous pouvons utiliser un autre élément d’information pour calculer la valeur. Et c’est que Hannah gagne 15 dollars par heure. Nous pouvons le faire en écrivant l’affirmation selon laquelle 15 sur 1 est égal à quoi sur 10.

Nous pouvons écrire cela parce que nous savons que si les quantités 𝐴 et 𝐵 sont proportionnelles, alors 𝐴 indice un sur 𝐵 indice un est égal à 𝐴 indice deux sur 𝐵 indice deux, où 𝐴 indice un et 𝐵 indice un sont les quantités de 𝐴 et 𝐵 dans une situation, et 𝐴 indice deux et 𝐵 indice deux sont les quantités de 𝐴 et 𝐵 dans une situation différente. Donc, pour revenir à notre calcul, nous pouvons voir que si nous prenons le dénominateur de notre fraction 15 sur un et que nous le multiplions par 10, cela nous donne 10. Nous pouvons donc également multiplier notre numérateur par 10, ce qui donne 150 sur 10. Donc, en 10 heures, Hannah gagnera 150 dollars. Ainsi, l’affirmation D est vraie.

Si nous regardons notre déclaration finale E, alors, si Hannah travaille pendant quatre heures, elle gagnera 15 dollars. Donc, si nous regardons quatre heures sur notre axe 𝑥, nous pouvons voir que ce sera au point quatre ; 60 sur la droite. Cela signifie qu’en quatre heures, Hannah gagne 60 dollars. On peut également considérer que lorsque Hannah gagne 15 dollars, elle aura travaillé une heure. En utilisant l’une ou l’autre de ces approches, nous pourrions dire que cette affirmation selon laquelle si Hannah travaille quatre heures elle gagnera 15 dollars n’est absolument pas vraie. Ainsi, l’option E est l’affirmation qui n’est pas vraie.

Dans la question suivante, nous allons étudier la proportion ou la non-proportion dans une forme géométrique et son aire.

Est-ce que la longueur d’un côté de la figure donnée est proportionnelle à son aire ?

Observons donc la forme dans cette question. Nous pouvons voir qu’il y a quatre angles droits et deux côtés de même longueur. Nous devons donc avoir un carré. On nous demande si la longueur d’un côté est proportionnelle à l’aire. Rappelons donc comment déterminer l’aire d’un carré. L’aire d’un carré est égale au côté multiplié par le côté, ou le côté au carré. Ainsi, l’aire de notre carré est 𝑆 au carré.

Rappelons la proportion. Si nous avons deux quantités 𝐴 et 𝐵 qui sont proportionnelles, alors cela signifie que d’une situation à l’autre, les deux quantités sont multipliées par le même nombre. Nous savons que dans une situation, l’aire de notre carré est égale à 𝑆 au carré. Imaginons une autre situation où nous doublons la longueur de nos côtés. Dans ce cas, l’aire de notre deuxième carré, ou carré deux, serait égale à deux 𝑆 fois deux 𝑆, soit quatre 𝑆 au carré. Nous pouvons noter que l’aire de notre premier carré, que nous appellerions carré un, était égale à 𝑆 au carré. Donc, l’aire du carré deux est égale à quatre fois l’aire du carré un.

Maintenant, imaginons une autre situation où nous multiplions le côté de notre carré par trois. Ainsi, dans ce cas, l’aire du carré trois serait égale à trois 𝑆 fois trois 𝑆, soit neuf 𝑆 au carré. Et étant donné que notre premier carré était égal à 𝑆 au carré, cela signifie que l’aire du carré trois est égale à neuf fois l’aire du carré un. Donc, si nous considérons ces valeurs comme des fractions de la longueur du côté sur l’aire, dans la première situation, nous avons le côté 𝑆 sur 𝑆 au carré. Nous doublons alors les longueurs des côtés, de sorte que la fraction serait de deux 𝑆 sur l’aire de quatre 𝑆 au carré. Et dans notre dernière situation, nous avons trois 𝑆 comme longueur du côté sur l’aire de neuf 𝑆 au carré.

Ces deux quantités seraient proportionnelles si on peut dire qu’elles sont multipliées par le même nombre. Cependant, passer de la première à la deuxième fraction signifierait que le numérateur a été multiplié par deux et le dénominateur par quatre. On peut également voir que de la première fraction à la troisième fraction, on a multiplié le numérateur par trois et le dénominateur par neuf, ce qui signifie qu’ils n’ont pas été multipliés par le même nombre. Donc, la réponse à la question, est-ce que la longueur d’un côté de cette figure est proportionnelle à son aire, est non.

Donc, pour résumer les points clés de cette vidéo, nous avons des quantités 𝐴 et 𝐵 qui sont proportionnelles si elles sont multipliées ou divisées par le même nombre. Le graphique d’une relation proportionnelle est une droite qui passe par l’origine. Et enfin, les relations non proportionnelles n’ont pas de quantités qui sont multipliées par le même nombre. Elles peuvent avoir une relation linéaire représentée par une droite sur un graphique, mais ces droites ne passeraient pas par l’origine.

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