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Vidéo de question : Déterminer les intervalles sur lesquels une fonction polynomiale est convexe ou concave Mathématiques

Déterminez les intervalles sur lesquels la courbe représentative de la fonction définie par 𝑓 (𝑥) = 𝑥³ - 3𝑥² - 7𝑥 est convexe ou concave.

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Transcription de vidéo

Déterminez les intervalles sur lesquels la courbe représentative de la fonction 𝑓 de 𝑥 définie par 𝑥 au cube moins trois 𝑥 au carré moins sept 𝑥 est convexe ou concave.

L’énoncé nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥 qui est un polynôme cubique. Et on nous demande de trouver les intervalles sur lesquels la courbe représentative de cette fonction est convexe et concave. Commençons par rappeler ce que signifie pour une fonction d’être convexe ou concave sur un intervalle.

Pour une fonction 𝑓 deux fois dérivable, nous disons que 𝑓 est convexe sur un certain intervalle 𝐼 si sa dérivée seconde est positive sur tout l’intervalle 𝐼. Et si la dérivée seconde est négative sur cet intervalle 𝐼, alors nous disons que 𝑓 est concave sur cet intervalle 𝐼.

Dans cette question, on nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥 qui est un polynôme, ce qui signifie que les dérivées première et seconde de 𝑓 de 𝑥 seront des polynômes. Et puisque les polynômes sont définis pour toutes les valeurs réelles de 𝑥, 𝑓, 𝑓 prime et 𝑓 double prime de 𝑥 seront toutes définies pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. Donc pour trouver les intervalles où notre fonction est convexe et concave, nous avons seulement besoin de trouver une expression pour 𝑓 double prime de 𝑥.

Pour trouver 𝑓 double prime de 𝑥, nous devons dériver deux fois 𝑓 de 𝑥. Puisque 𝑓 de 𝑥 est un polynôme, nous allons dériver ceci terme à terme en utilisant la règle de dérivation des puissances. Nous allons multiplier par nos exposants de 𝑥 puis réduire cet exposant de un. Ceci nous donne que 𝑓 prime de 𝑥 égale trois 𝑥 au carré moins six 𝑥 moins sept.

Pour trouver 𝑓 double prime de 𝑥, nous devons dériver 𝑓 prime de 𝑥 par rapport à 𝑥. Encore une fois, il s’agit d’un polynôme, nous allons donc le faire terme à terme en utilisant la règle de dérivation des puissances. Nous obtenons cette fois, que 𝑓 double prime de 𝑥 égale six 𝑥 moins six.

Rappelez-vous, que pour trouver les intervalles sur lesquels notre fonction est convexe et concave, nous devons déterminer où notre fonction 𝑓 double prime de 𝑥 passe de positive à négative. Dans ce cas, nous pouvons voir que notre fonction 𝑓 double prime de 𝑥 est une fonction affine. Nous pouvons donc simplement l’esquisser. Donc notre fonction 𝑓 double prime de 𝑥 est une fonction affine avec une pente de six et une ordonnée à l’origine égale à moins six. Nous pouvons donc esquisser la courbe représentative suivante de notre droite 𝑦 est égal à 𝑓 double prime de 𝑥.

Utilisons maintenant cette esquisse pour déterminer où notre fonction 𝑓 de 𝑥 est convexe. Notre fonction sera convexe partout où 𝑓 double prime de 𝑥 sera supérieure à zéro. Dans notre croquis, nous pouvons voir que notre droite 𝑦 est égal à 𝑓 double prime de 𝑥 est au-dessus de l’axe des abscisses chaque fois que 𝑥 est supérieur au point d’intersection avec l’axe des 𝑥. Et nous pouvons dire quelque chose de similaire si nous recherchons l’intervalle sur lequel notre fonction 𝑓 de 𝑥 est concave. Nous voulons que 𝑓 double prime de 𝑥 soit négative. Et nous pouvons voir que notre fonction 𝑓 double prime de 𝑥 est au-dessous de l’axe des abscisses chaque fois que 𝑥 est inférieur au point d’intersection avec l’axe des 𝑥.

Nous devons donc trouver la valeur de ce point d’intersection avec l’axe des 𝑥. L’intersection de notre droite avec l’axe des abscisses se produira lorsque six 𝑥 moins six sera égal à zéro. Et nous pouvons déterminer 𝑥. Nous ajoutons six aux deux membres de notre équation puis divisons par six. Nous obtenons que 𝑥 est égal à un. Nous pouvons donc ajouter ceci à notre croquis. L’intersection avec l’axe des abscisses a lieu en 𝑥 égal à un.

Qu’avons-nous donc montré ? Nous avons montré que si 𝑥 est supérieur à un, alors notre dérivée seconde de 𝑥 est positive. Et que si 𝑥 est inférieur à un, alors notre dérivée seconde de 𝑓 est négative. Mais rappelez-vous que, dire que la dérivée seconde est négative revient à dire que notre fonction est concave. Et dire que la dérivée seconde est positive revient à dire que notre fonction est convexe. Nous avons donc montré en fait, que si 𝑥 est inférieur à un, notre fonction est concave. Et que si 𝑥 est supérieur à un, alors notre fonction est convexe.

Nous pourrions laisser notre réponse ainsi. Cependant, nous allons écrire ceci sous forme d’intervalles. Notre fonction 𝑓 de 𝑥 est définie pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. Donc dire que 𝑥 est inférieur à un est la même chose que dire que 𝑥 est dans l’intervalle ouvert de moins ∞ à un. Et nous pouvons dire quelque chose de similaire pour 𝑥 supérieur à un. C’est la même chose que de dire que 𝑥 est dans l’intervalle ouvert de un à ∞.

Par conséquent, nous avons montré que la courbe représentative de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 au cube moins trois 𝑥 au carré moins sept 𝑥 est concave sur l’intervalle ouvert de moins ∞ à un. Et est convexe sur l’intervalle ouvert de un à ∞.

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