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Vidéo de la leçon : Réflexions dans le plan cartésien Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment trouver les images de points, de droites et de figures après leur réflexion par rapport à l’axe des 𝑥 ou 𝑦 dans le plan cartésien.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment trouver les images de points, de droites et de figures après leur réflexion par rapport à l’axe des 𝑥 ou des 𝑦 sur le plan cartésien. Lorsque nous réfléchissons une figure sur une droite, nous la retournons. Et il y a plusieurs façons de le faire. Nous pourrions refléter la figure par rapport à l’axe des 𝑥. Voilà cette droite. Nous pourrions la refléter par rapport à l’axe des 𝑦. Voilà cette droite. Ou nous pourrions même la refléter par rapport à une droite verticale différente. Celles-ci sont de la forme 𝑥 égale 𝑎, où 𝑎 est une constante.

La droite verticale 𝑥 égale moins un, par exemple, est celle-ci. Elle passe par l’axe des 𝑥 en moins un. Nous pourrions utiliser une droite horizontale différente 𝑦 égale 𝑏, où 𝑏 est une constante réelle. Par exemple, la droite 𝑦 est égale à deux passe à travers l’axe des 𝑦 en deux, comme indiqué. Enfin, nous pourrions même envisager de réfléchir en diagonale par rapport à 𝑦 est égal à 𝑥. N’oubliez pas que toutes les coordonnées 𝑥 et 𝑦 sur cette droite sont égales, ou que la droite 𝑦 est moins 𝑥 comme indiqué.

Nous disons que la droite dans laquelle nous réfléchissons la figure s’appelle la droite miroir. Et le reflet de la figure s’appelle son image. Et nous utilisons le symbole prime pour représenter l’image d’un objet. Par exemple, la réflexion du point 𝐴 serait 𝐴 prime. Et l’image, le reflet, de la figure 𝐴𝐵𝐶 serait 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime. Enfin, il est important que nous réalisions qu’un objet et son image ont la même taille et qu’ils seront situés à la même distance de la droite miroir sur les côtés opposés. Voyons à quoi cela pourrait ressembler.

Quelle paire de triangles représente une réflexion par rapport à l’axe des 𝑥 ?

L’axe des 𝑥 est cette droite horizontale. Nous pourrions appeler cela la droite d’équation 𝑦 égale à zéro. Maintenant, nous recherchons la paire de triangles qui représentent une réflexion par rapport à cette droite. Maintenant, lorsque nous réfléchissons une forme, nous la retournons. Les deux triangles auront la même taille et seront situés à la même distance de l’axe des 𝑥 mais sur des côtés opposés. Examinons donc certaines de ces paires.

Nous allons commencer par regarder les figures 𝐴 et 𝐵. Pour les figures 𝐴 et 𝐵, ce premier sommet est à deux unités de notre droite miroir. Pour les deux figures, ce deuxième sommet est à cinq unités de la droite miroir sur les côtés opposés. Et nos troisièmes sommets sont à trois unités de la droite miroir des côtés opposés. Nous voyons que chacun des points est à la même distance de l’axe des 𝑥 des côtés opposés. Et la figure est inversée mais reste inchangée. C’est en effet une réflexion par rapport à l’axe des 𝑥. Donc, c’est une bonne indication pour nous que la paire de triangles qui représentent la réflexion pertinente sont 𝐴 et 𝐵. Mais vérifions et voyons ce qui s’est passé entre les autres paires.

Regardons les figures 𝐴 et 𝐶. Encore une fois, en comparant les sommets pertinents de nos figures, nous voyons qu’ils sont à la même distance du 𝑦 axe des x sur les côtés opposés. Et la figure est inversée sur l’axe des 𝑦 mais reste inchangée. Dans ce cas, les figures 𝐴 et 𝐶 représentent une réflexion par rapport à l’axe des 𝑦.

Maintenant, qu’en est-il des figures 𝐵 et 𝐶 ? Eh bien, il y a deux façons de décrire cela. Nous ajoutons une droite diagonale d’équation 𝑦 égale moins 𝑥. Maintenant, nous comparons les sommets de 𝐵 et 𝐶. Cette fois, nos sommets sont à la même distance de la droite 𝑦 égale moins 𝑥 mais sur des côtés opposés. Sinon, les figures 𝐵 et 𝐶, en plus d’être retournées — rappelez-vous, c’est un reflet — conserve la même forme et la même taille. On pourrait donc dire que les figures 𝐵 et 𝐶 représentent une réflexion par rapport à la droite 𝑦 égale moins 𝑥.

Si nous regardons attentivement, nous pouvons même dire que la figure a été tournée de 180 degrés par rapport à l’origine. C’est le point zéro, zéro. Dans ce cas cependant, la paire de triangles que nous recherchions était 𝐴 et 𝐵.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment refléter une figure par rapport à l’axe des 𝑦.

Trouvez les images de 𝐴𝐵𝐶𝐷 après réflexion par rapport à l’axe des 𝑦.

Nous commençons par identifier l’emplacement de notre droite miroir. On nous dit de refléter la figure par rapport à l’axe des 𝑦. C’est cette droite verticale ici. On pourrait dire que cette droite est d’équation 𝑥 égale zéro. Les images de 𝐴𝐵𝐶𝐷 sont les sommets de notre rectangle après qu’il a été réfléchi. Et nous utilisons la notation prime, 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime 𝐷 prime. Maintenant, quand nous réfléchissons 𝐴𝐵𝐶𝐷 par rapport à la droite 𝑥 est égal à zéro, l’axe des 𝑥 ou l’axe des 𝑦, nous savons qu’il finit par être renversé. Sinon, il devrait avoir exactement la même taille et la même distance exacte de notre droite miroir sur les côtés opposés.

Maintenant, une façon vraiment judicieuse d’effectuer la réflexion est de le faire sommet par sommet. Commençons par le sommet 𝐶. Nous mesurons la distance entre le sommet 𝐶 et l’axe des 𝑦. Et bien sûr, c’est la distance perpendiculaire. C’est une, deux unités. Cela signifie que le sommet 𝐶 prime doit être à deux unités de l’axe des 𝑦 dans la direction opposée. Cela a des coordonnées cartésiennes moins deux, un.

Répétons ce processus avec 𝐷. Encore une fois, c’est à deux unités de l’axe des 𝑦. Et donc, 𝐷 prime sera également à deux unités de l’axe des 𝑦 dans la direction opposée. Il a des coordonnées cartésiennes moins deux, six. Nous allons maintenant regarder le sommet 𝐴. Cette fois, c’est à une, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit unités de notre droite miroir. 𝐴 prime est donc à huit unités de la droite miroir dans la direction opposée. Donc, c’est au point moins huit, six.

Maintenant, notez que puisque la taille de la figure reste inchangée, nous aurions pu simplement mesurer la distance entre 𝐴 et 𝐷 puis répéter celle de l’autre côté. Voyons à quoi cela pourrait ressembler pour le côté 𝐶𝐵. La longueur de ce côté est d’une, deux, trois, quatre, cinq, six unités. Et donc, la distance entre les sommets 𝐵 prime et 𝐶 prime doit également être de six unités.

Et donc, nous avons l’image de 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴 prime a des coordonnées moins huit, six. Rappelez-vous, nous longeons le couloir et montons les escaliers. 𝐵 prime est moins huit, un. 𝐶 prime est moins deux, un. Et 𝐷 prime est moins deux, six.

Maintenant, en fait, nous pouvons généraliser quelque chose de cette question. Regardons les coordonnées d’origine. Elles sont huit, six ; huit, un ; deux, un ; et deux, six ; respectivement. Notez que la coordonnée 𝑦 dans chaque cas reste totalement inchangée. La coordonnée 𝑥 est presque la même, mais nous remarquons que c’est sa version négative. En fait, nous pouvons dire que la réflexion d’un point 𝑥, 𝑦 à travers l’axe des 𝑦 est le point moins 𝑥, 𝑦.

De la même manière, lorsque nous réfléchissons un point à travers l’axe des 𝑥, la coordonnée 𝑥 reste inchangée, et nous obtenons la version moins la coordonnée 𝑦. Ainsi, la réflexion de 𝑥, 𝑦 à travers l’axe des 𝑥 est 𝑥, moins 𝑦.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment refléter une figure dans une droite verticale de la forme 𝑥 égale 𝑎 pour les constantes réelles 𝑎.

Refléter le losange 𝐴𝐵𝐶𝐷 par rapport à la droite 𝑥 est égal à deux.

Commençons par identifier notre droite miroir. Nous savons que les droites de la forme 𝑥 égale 𝑎 sont des droites verticales ; ils passent par le point 𝑎, zéro. En d’autres termes, ils passent par l’axe des 𝑥 en 𝑎. Maintenant, la droite 𝑥 est égale à deux, alors elle doit également être une droite verticale, mais elle doit passer par l’axe des 𝑥 à deux, comme indiqué. Donc, nous allons refléter notre losange par rapport à cette droite.

Faisons le sommet par sommet. Nous allons commencer par le sommet 𝐴. Nous mesurons la distance perpendiculaire de ce sommet à la droite miroir. C’est une, deux, trois, quatre unités. Cela signifie que l’image de 𝐴, rappelez-vous que nous l’appelons 𝐴 prime, doit également être à quatre unités de la droite 𝑥 est égale à deux mais dans la direction opposée. Et donc, 𝐴 prime est ici. Il a des coordonnées moins deux, six.

Mesurons maintenant la distance perpendiculaire du sommet 𝐵 à notre droite miroir. Cette fois, c’est une, deux, trois, quatre, cinq, six unités. Cela signifie que l’image de 𝐵 sera à six unités de la droite miroir dans la direction opposée. C’est ici. Nous répétons ce processus pour les sommets restants. 𝐶 est à une, deux, trois, quatre unités de la droite miroir. Et donc, son image, 𝐶 prime, sera également à quatre unités.

Enfin, 𝐷 est à deux unités de la droite 𝑥 est égal à deux, ce qui signifie que 𝐷 prime sera ici. C’est à deux unités de notre droite dans la direction opposée. Et donc, nous avons réfléchi le losange 𝐴𝐵𝐶𝐷 par rapport à la droite 𝑥 est égal à deux. Nous avons donné ses sommets 𝐴 prime, 𝐵 prime, 𝐶 prime et 𝐷 prime.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment trouver la position d’un point après l’avoir reflété sur une droite diagonale donnée.

Quelle est l’image du point neuf, huit en réflexion par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥 ?

Ces types de questions peuvent être assez difficiles à visualiser. Alors, traçons notre point et la droite 𝑦 égale 𝑥 sur un plan cartésien. Voici notre point neuf, huit. Sa coordonnée 𝑥 est neuf, et sa coordonnée 𝑦 est huit. La droite 𝑦 égale 𝑥 est une droite diagonale. Chaque point sur cette droite a des coordonnées 𝑥 et 𝑦 égales. Par exemple, elle passera par le point un, un ; trois, trois ; cinq, cinq ; moins deux, moins deux ; etc. En fait, cela ressemble à quelque chose comme ça.

Nous allons refléter notre point par rapport à cette droite. Donc, nous regardons la distance perpendiculaire de notre point à la droite. Nous pouvons voir que c’est la moitié de la diagonale d’un carré. L’image de notre point sera exactement à la même distance de la droite dans la direction opposée. Alors, quelles sont ses coordonnées ? Eh bien, elles sont huit, neuf. Elle a maintenant une coordonnée 𝑥 de huit et une coordonnée 𝑦 de neuf. Et donc, nous avons trouvé l’image du point neuf, huit en réflexion par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥. C’est huit, neuf.

Mais nous pouvons, en fait, généraliser cela. On prend un point 𝑥, 𝑦. Lorsque nous le reflétons par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥, il devient 𝑦, 𝑥. En d’autres termes, les valeurs des coordonnées 𝑥 et 𝑦 s’échangent. En général, nous disons que la réflexion de 𝑥, 𝑦 à travers la droite 𝑦 est égal à 𝑥 est le point 𝑦, 𝑥. Et la réflexion de 𝑥, 𝑦 à travers la droite 𝑦 est moins 𝑥 nous donne le point moins 𝑥, moins 𝑦.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment nous pouvons refléter une figure complète par rapport à la droite diagonale 𝑦 égale 𝑥.

Refléter le triangle 𝐴𝐵𝐶 par rapport à la droite 𝑦 est égal à 𝑥.

N’oubliez pas que la droite 𝑦 égale 𝑥 est une droite diagonale qui passe par l’origine. C’est le point zéro, zéro. Chaque point sur cette droite a des coordonnées 𝑥 et 𝑦 égales. C’est cette droite. Remarquez qu’elle passe par le point deux, deux ; 10, 10 ; moins six, moins six ; etc. Et donc, nous cherchons à refléter le triangle 𝐴𝐵𝐶 par rapport à cette droite. Et donc, nous nous souvenons que lorsque nous réfléchissons une figure, elle est inversée, que chaque sommet d’une figure originale et son image, le reflet, sont à la même distance de la droite de réflexion mais de l’autre côté.

Ainsi, nous avons pu compter la distance perpendiculaire de chaque sommet à notre droite. Alternativement, nous pouvons citer ce fait. La réflexion d’un point 𝑥, 𝑦 à travers la droite 𝑦 est égal à 𝑥 nous donne le point 𝑦, 𝑥. Maintenant, le point 𝐴 a des coordonnées moins quatre, 12 ; le point 𝐵 a des coordonnées moins quatre, six ; et le point 𝐶 a les coordonnées deux, six. Notez que les valeurs de nos coordonnées 𝑥 et 𝑦 ont échangées. Ainsi, l’image de 𝐴 aura les coordonnées 12, moins quatre ; l’image de 𝐵 aura les coordonnées six, moins quatre ; et l’image de 𝐶, 𝐶 prime, a les coordonnées six, deux. 𝐴 prime est donc ici, 𝐵 prime est ici, et 𝐶 prime est ici.

Et donc, nous avons réfléchi le triangle 𝐴𝐵𝐶 par rapport à la droite 𝑦 est égal à 𝑥. C’est l’image 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime comme indiqué.

Dans cette vidéo, nous avons appris qu’un reflet par rapport à une droite miroir inverse la figure d’origine. L’image, qui est le reflet de l’original et est donnée en utilisant une notation prime, aura la même forme et la même taille que l’objet d’origine. Chaque sommet sera à une distance égale de la droite miroir mais du côté opposé.

Nous avons également vu que nous pouvons généraliser l’image de certains points après avoir été réfléchie sur différentes droites. La réflexion du point 𝑥, 𝑦 à travers l’axe des 𝑥 est le point 𝑥, moins 𝑦. À travers l’axe des 𝑦, et nous obtenons le point moins 𝑥, 𝑦. À travers la droite 𝑦 est égal à 𝑥, nous obtenons 𝑦, 𝑥. Et à travers la droite 𝑦 est égal à moins 𝑥, nous obtenons moins 𝑦, moins 𝑥.

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