Transcription de la vidéo
Si la dispersion d’une série statistique est nulle, alors laquelle des affirmations suivantes est correcte ? (A) La différence entre les individus est grande. (B) La différence entre les individus est petite. (C) Toutes les valeurs sont égales. (D) La moyenne arithmétique des valeurs est nulle. (E) Toutes les valeurs sont négatives.
La dispersion d’une série statistique peut être mesurée à l’aide de l’écart-type, que nous notons 𝜎 indice 𝑥. Pour une série de données contenant les 𝑛 valeurs 𝑥 un, 𝑥 deux, 𝑥 trois et ainsi de suite jusqu’à 𝑥 𝑛, avec une valeur moyenne égale à 𝜇, l’écart-type est calculé à l’aide de la formule suivante. 𝜎 indice 𝑥 est égal à la racine carrée de 𝑥 un moins 𝜇 carré plus 𝑥 deux moins 𝜇 carré et ainsi de suite jusqu’à 𝑥 𝑛 moins 𝜇 carré divisé par 𝑛. En pratique, nous soustrayons la valeur moyenne de chaque valeur 𝑥, la mettons au carré, trouvons la somme, divisons par 𝑛, soit le nombre de valeurs présentes dans la série statistique, et prenons enfin la racine carrée.
Si la dispersion d’une série statistique est égale à zéro, alors l’écart-type est égal à zéro. Nous avons donc que la formule que nous avons précédemment écrite nous donne ici zéro. En mettant les deux côtés de cette équation au carré, puis en multipliant par 𝑛, nous avons que zéro est égal à 𝑥 un moins 𝜇 le tout au carré plus 𝑥 deux moins 𝜇 tout au carré et ainsi de suite jusqu’à plus 𝑥 𝑛 moins 𝜇 le tout au carré. Nous avons maintenant que la somme de ces 𝑛 expressions est égale à zéro. Cependant, nous savons que si nous mettons au carré un nombre réel, qu’il soit positif, négatif ou égal à zéro, nous obtenons une valeur supérieure ou égale à zéro. Ainsi, pour que la somme de ces valeurs non négatives soit égale à zéro, il faut que chaque ensemble de parenthèses soit lui-même égal à zéro.
Ainsi, en fixant chaque ensemble de parenthèses à zéro, nous avons 𝑥 un moins 𝜇 est égal à zéro, 𝑥 deux moins 𝜇 est égal à zéro et ainsi de suite jusqu’à 𝑥 𝑛 moins 𝜇 est égal à zéro. En ajoutant 𝜇 à chaque côté de chaque équation, nous avons alors que 𝑥 un est égal à 𝜇, 𝑥 deux est égal à 𝜇, jusqu’à 𝑥 𝑛 est égal à 𝜇. Ainsi, toutes les valeurs de la série statistique sont égales à la moyenne et égales entre elles. Il s’agit de l’option (C), toutes les valeurs sont égales. La dispersion des valeurs est égale à zéro car il n’y a pas d’étalement autour de la moyenne. Toutes les valeurs sont individuellement égales à la moyenne.
Examinons brièvement chacune des autres options. Les options (A) et (B) décrivent la différence entre chaque valeur, grande ou petite. Seulement, comme nous venons de le voir, si toutes les valeurs sont égales, il n’y a pas de différence entre chacune d’elles. L’option (D) dit que la moyenne arithmétique de ces valeurs est zéro. Cela n’est pas forcément le cas. Tant que toutes les valeurs sont égales, elles seront toutes égales à la moyenne arithmétique 𝜇, peu importe la valeur de cette moyenne. Enfin, l’option (E) dit que toutes les valeurs sont négatives. Encore une fois, cela n’est pas nécessairement le cas. Il se peut que toutes les valeurs soient négatives, mais elles peuvent toutes être positives, voire toutes égales à zéro. Tant qu’elles sont toutes égales, la dispersion sera égale à zéro.
Nous avons alors constaté que si la dispersion d’un ensemble de valeurs est égale à zéro, alors toutes les valeurs sont égales.
