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Vidéo de question : Détermination de la résultante de quatre forces agissant dans un carré sur un point Mathématiques

La figure montre un carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 de côté 8 cm. Le point 𝐸 appartient à 𝐵𝐶 avec 𝐵𝐸 = 6 cm. Des forces d’intensités 8 N, 20 N, 16√2 N et 12 N agissent en 𝐴 comme illustré sur la figure. Déterminez l’intensité de leur résultante.

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Transcription de vidéo

La figure montre un carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 de huit centimètres de côté. Le point 𝐸 est sur le segment 𝐵𝐶, où 𝐵𝐸 est égal à six centimètres. Les forces d’intensités huit newtons, 20 newtons, 16 racines deux newtons et 12 newtons agissent sur 𝐴 comme indiqué sur la figure. Déterminez l’intensité de leur résultante.

On nous dit que la figure contient un carré de huit centimètres de côté. On nous dit aussi que 𝐵𝐸 est égal à six centimètres. En utilisant notre connaissance des triplets de Pythagore ou du théorème de Pythagore, nous savons que 𝐴𝐸 est de longueur 10 centimètres. On nous demande de trouver l’intensité de la force résultante. Pour ce faire, on commence par trouver la somme des forces dans les directions 𝑥 et 𝑦. On prend le sens 𝑥 positif comme le sens de 𝐴𝐵 et le sens 𝑦 positif comme le sens de 𝐴𝐷. Les forces de 20 newtons et de 16 fois racine de deux newtons n’agissent pas dans la direction horizontale ou verticale. On doit calculer les composantes horizontale et verticale de ces forces.

On commence par appeler l’angle entre la force de 20 newton et l’horizontale 𝜃. En utilisant nos connaissances de trigonométrie, on étiquette le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse. Comme le sin de l’angle 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse, il est égal à six sur 10, ce qui simplifie à trois cinquièmes. Le cos de l’angle 𝜃 est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Par conséquent, cela équivaut à quatre cinquièmes.

Ensuite on va appeler la composante horizontale de la force de 20 newtons 𝑥 et la composante verticale 𝑦. Cela signifie que 𝑥 est égal à 20 multiplié par cos 𝑦 et 𝑦 est égal à 20 multiplié par sin 𝜃. La composante horizontale est donc égale à 16 newtons et la composante verticale est égale à 12 newtons. Cela fait, on sait qu’il y a deux forces positives dans la direction 𝑥 de huit newtons et de 16 newtons. Dans la direction 𝑦, on a des forces positives de 12 newtons et 12 newtons.

La seule force qu’il nous reste à considérer à partir du schéma d’origine est celle de 16 fois racine de deux newtons. Cela agit le long de la diagonale de notre carré dans la direction 𝐶 à 𝐴. On sait bien que la diagonale d’un carré fait un angle de 45 degrés avec chacun de ses côtés. En utilisant à nouveau nos connaissances de trigonométrie, on a une composante horizontale agissant vers la gauche égale à 16 fois racine de deux multipliée par le cos de 45 degrés. Le cos de 45 degrés est égal à la racine de deux sur deux. Cela signifie que la valeur de la composante horizontale est égale à 16 newtons. Comme cela agit dans le sens 𝑥 négatif, on peut ajouter le moins 16 à notre expression pour 𝑅 indice 𝑥. 𝑅 indice 𝑥 est égal à huit plus 16 moins 16, ce qui équivaut à huit newtons.

La composante verticale de notre force de 16 fois racine de deux newtons agit vers le bas. Cela équivaut à 16 fois racine de deux multipliée par le sin de 45 degrés. Le sin de 45 degrés est égal à racine de deux sur deux, ce qui signifie que l’intensité de la composante verticale est égale à 16 newtons. Encore une fois, cela agit dans le sens négatif, donc 𝑅 indice 𝑦 est égal à 12 plus 12 moins 16. 24 moins 16 est égale à huit. Donc, 𝑅 indice 𝑦 est égal à huit newtons. En utilisant notre connaissance du théorème de Pythagore, on sait que l’intensité de la résultante 𝑅 est égale à la racine carrée de 𝑅 indice 𝑥 carré plus 𝑅 indice 𝑦 carré. Dans cette question, 𝑅 est égal à la racine carrée de huit au carré plus huit au carré. Il s’agit de la racine carrée de 128, qui se simplifie en huit fois racine de deux.

L’intensité de la force résultante est de huit racine de deux newtons.

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