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Vidéo de question : Déterminer les intervalles où une fonction composée de fonctions trigonométriques est croissante ou décroissante Mathématiques

Sachant que 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥 + cos 2𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, déterminez les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 est croissante ou décroissante.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝑓 de 𝑥 est égale à sinus deux 𝑥 plus cosinus deux 𝑥 sur l’intervalle 𝑥 supérieur ou égal à zéro et 𝑥 inférieur ou égal à 𝜋, déterminez les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 est croissante ou décroissante.

Nous pouvons déterminer si une fonction est croissante ou décroissante en calculant la dérivée de cette fonction. Si 𝑓 prime de 𝑥 est supérieur à zéro, alors 𝑓 de 𝑥 est croissante. De façon similaire, si 𝑓 prime de 𝑥 est inférieure à zéro, alors la fonction 𝑓 de 𝑥 est décroissante. Les points où 𝑓 prime de 𝑥 est égale à zéro sont les points stationnaires ou les points de changement de variations. Considérons maintenant la fonction de la question : sinus deux 𝑥 plus cosinus deux 𝑥.

Pour dériver cette fonction, nous allons dériver chaque terme individuellement. La dérivée de sinus 𝑎𝑥 est 𝑎 cosinus 𝑎𝑥. En dérivant sinus deux 𝑥, nous obtenons deux cosinus deux 𝑥. La dérivée de cosinus 𝑎𝑥 est moins 𝑎 sinus 𝑎𝑥. Ce qui signifie qu’en dérivant cosinus deux 𝑥 nous obtenons moins deux sinus deux 𝑥. Nous devons ensuite déterminer les points stationnaires ou les points de changement de variations en résolvant l’équation 𝑓 prime de 𝑥 égale à zéro. Deux cosinus deux 𝑥 moins deux sinus deux 𝑥 égal à zéro. Nous pouvons diviser les trois termes par deux. L’équation se simplifie en cosinus deux 𝑥 moins sinus deux 𝑥 égal à zéro.

Rappelons maintenant que sinus 𝑎𝑥 divisé par cosinus 𝑎𝑥 est égal à tangente 𝑎𝑥. Nous pouvons diviser les deux membres de l’équation par cosinus deux 𝑥. Cosinus deux 𝑥 divisé par cosinus deux 𝑥 est égal à un. Moins sinus deux 𝑥 divisé par cosinus deux 𝑥 est égal à moins tangente deux 𝑥. Zéro divisé par cosinus deux 𝑥 est égal à zéro. En ajoutant tangente deux 𝑥 aux deux membres de l’équation, nous obtenons un égal à tangente deux 𝑥 soit tangente deux 𝑥 égal à un.

Nous devons ensuite résoudre cette équation pour des valeurs de 𝑥 comprises entre zéro et 𝜋. En prenant la tangente moins un des deux membres de l’équation, nous obtenons deux 𝑥 égal à tangente moins un ou réciproque de tangente de un. En s’assurant que la calculatrice est bien en mode radian, nous obtenons 𝜋 sur quatre. Nous devons déterminer toutes les valeurs de 𝑥 comprises entre zéro et 𝜋. Cela signifie que deux 𝑥 peut être compris entre zéro et deux 𝜋. Pour déterminer l’autre solution, nous pouvons soit dessiner la courbe de la fonction tangente entre zéro et deux 𝜋, soit utiliser un diagramme CAST comme celui-ci.

Comme la valeur de tangente deux 𝑥 est positive, il y aura une solution dans le premier quadrant et une solution dans le troisième quadrant. Nous avons déjà déterminé que la première solution est 𝜋 sur quatre. L’autre solution dans le troisième quadrant sera égale à 𝜋 plus 𝜋 sur quatre. Ce qui fait cinq 𝜋 sur quatre. Même s’il existe un nombre infini de solutions, il n’existe que deux solutions comprises dans l’intervalle zéro à deux 𝜋. Nous pouvons donc dire que deux 𝑥 est égal à 𝜋 sur quatre ou cinq 𝜋 sur quatre. En divisant ces deux nombres par deux, nous obtenons des valeurs de 𝑥 égales à 𝜋 sur huit et cinq 𝜋 sur huit. Ce sont les deux valeurs comprises entre zéro et 𝜋 pour lesquelles 𝑓 prime de 𝑥 est égal à zéro.

Nous pouvons maintenant prendre des valeurs de 𝑥 légèrement inférieures et légèrement supérieures à ces valeurs pour déterminer si 𝑓 prime de 𝑥 est positive ou négative autour de ces points. Prenons d’abord une valeur légèrement inférieure à 𝜋 sur huit. Nous allons utiliser 𝜋 sur neuf. En ce point, 𝑓 prime de 𝑥 est égale à deux cosinus deux 𝜋 sur neuf moins deux sinus deux 𝜋 sur neuf. Cela nous donne une valeur positive. Lorsque 𝑥 est égal à 𝜋 sur neuf, 𝑓 prime de 𝑥 est supérieur à zéro. En remplaçant 𝑥 par à 𝜋 sur sept, 𝑓 prime de 𝑥 est négative. Ce qui signifie qu’elle est inférieure à zéro. Nous pouvons donc conclure que lorsque 𝑥 est égal à 𝜋 sur huit, nous avons un maximum. La dérivée 𝑓 prime de 𝑥 est positive avant ce point et négative après ce point.

Nous pouvons maintenant faire de même avec la deuxième valeur cinq 𝜋 sur huit. Lorsque 𝑥 est égal à cinq 𝜋 sur neuf, 𝑓 prime de 𝑥 est inférieure à zéro. Lorsque 𝑥 est égal à cinq 𝜋 sur sept, 𝑓 prime de 𝑥 est supérieure à zéro. Cela signifie que le point 𝑥 égal à cinq 𝜋 sur huit est un minimum, car la dérivée 𝑓 prime de 𝑥 est négative avant ce point et positive après ce point. Nous pouvons donc dire que la fonction 𝑓 de 𝑥 est croissante entre zéro et 𝜋 sur huit et aussi entre cinq 𝜋 sur huit et 𝜋. La fonction est décroissante entre 𝜋 sur huit et cinq 𝜋 sur huit car 𝑓 prime de 𝑥 est négative sur cet intervalle.

Sinus deux 𝑥 plus cosinus deux 𝑥 est croissante entre zéro et 𝜋 sur huit et aussi entre cinq 𝜋 sur huit et 𝜋, mais elle est décroissante entre 𝜋 sur huit et cinq 𝜋 sur huit.

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