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Vidéo de question : Calcul du vecteur vitesse résultant après une accélération Physique

Un avion vole vers l’est avec une accélération de 12 m/s². L’avion descend également verticalement avec une accélération de 9 m/s². Avant d’accélérer, le vecteur vitesse de l’avion vers l’est était de 250 m/s et son vecteur vitesse vertical était de 10 m/s. Quelle est la vitesse de l’avion après 10 secondes d’accélération ? On donnera une réponse arrondie au mètre par seconde.

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Transcription de vidéo

Un avion vole vers l’est avec une accélération de 12 mètres par seconde au carré. L’avion descend également verticalement avec une accélération de neuf mètres par seconde au carré. Avant d’accélérer, le vecteur vitesse de l’avion vers l’est était de 250 mètres par seconde et son vecteur vitesse vertical était de 10 mètres par seconde. Quelle est la vitesse de l’avion après 10 secondes d’accélération ? On donnera une réponse arrondie au mètre par seconde.

Alors, dans cette question, on parle de la vitesse et de l’accélération d’un avion. Commençons par faire un schéma de la situation en utilisant les informations données dans l’énoncé. Supposons que ceci est notre avion et on nous dit qu’il vole vers l’est, qui est représenté à droite sur notre figure. On nous dit que l’avion avait initialement un vecteur vitesse vers l’est de 250 mètres par seconde. Nous allons l’appeler 𝑢 indice h, où h indique qu’il s’agit de la composante horizontale du vecteur vitesse de l’avion.

On nous dit également que l’avion descend verticalement avec une vitesse verticale initiale de 10 mètres par seconde. Il s’agit de la composante verticale du vecteur vitesse initial de l’avion et nous allons l’appeler 𝑢 indice v, où v signifie vertical. Nous pouvons remarquer que cette composante est dirigée vers le bas et a une valeur positive. Cela signifie que nous avons implicitement défini suivant la verticale qu’aller vers le bas était le sens positif. De même, pour le mouvement horizontal, nous avons implicitement défini vers la droite ou vers l’est comme sens positif.

Les autres informations qui nous sont données concernent l’accélération de l’avion. On nous dit que l’avion a une accélération vers l’est, que nous allons appeler 𝑎 indice h, de 12 mètres par seconde au carré et que son accélération verticale vers le bas est de neuf mètres par seconde au carré. Nous allons l’appeler 𝑎 indice v et elle est également dirigée verticalement vers le bas.

On nous demande de déterminer la vitesse de l’avion après une accélération de 10 secondes. Appelons cet intervalle de temps Δ𝑡. Et nous supposons qu’après avoir accéléré pendant Δ𝑡, l’avion possède une composante de vecteur vitesse horizontale 𝑉 indice h et une composante de vecteur vitesse verticale 𝑉 indice v. Afin de déterminer les valeurs de 𝑉 indice h et 𝑉 indice v, rappelons que l’accélération est définie comme le taux de variation du vecteur vitesse d’un objet. C’est-à-dire que si le vecteur vitesse d’un objet varie d’une quantité Δ𝑉 sur un intervalle de temps Δ𝑡, alors son accélération 𝑎 est égale à Δ𝑉 divisée par Δ𝑡.

Nous pouvons appliquer cette équation au mouvement horizontal de l’avion et à son mouvement vertical séparément. Pour le mouvement horizontal, l’accélération est l’accélération horizontale 𝑎 indice h. Et la variation de vitesse Δ𝑉 est la composante horizontale finale du vecteur vitesse 𝑉 indice h moins la composante initiale 𝑢 indice h. L’équation du mouvement vertical est quasiment identique, mais avec l’accélération verticale 𝑎 indice v et les composantes du vecteur vitesse verticale 𝑉 indice v et 𝑢 indice v.

Pour calculer les composantes finales du vecteur vitesse de l’avion, il faut modifier ces équations afin d’exprimer les vecteurs vitesse finaux en fonction des autres grandeurs. Comme les deux équations ont exactement la même forme, le principe est le même. Voyons comment faire cela pour l’équation horizontale. Pour déterminer l’expression de 𝑉 indice h, on commence par multiplier les deux côtés par l’intervalle de temps Δ𝑡. Le Δ𝑡 au numérateur s’annule avec le Δ𝑡 au dénominateur sur le côté droit de l’équation.

Si nous écrivons l’équation dans l’autre sens, nous obtenons alors que 𝑉 indice h moins 𝑢 indice h est égal à 𝑎 indice h multiplié par Δ𝑡. À partir de là, nous ajoutons ensuite le vecteur vitesse horizontal initial 𝑢 indice h de chaque côté. Sur le côté gauche, les 𝑢 indice h s’annulent. Nous avons donc une équation pour le vecteur vitesse horizontal final 𝑉 indice h. 𝑉 indice h est égale à l’accélération horizontale 𝑎 indice h multipliée par Δ𝑡, l’intervalle de temps, plus le vecteur vitesse horizontal initial 𝑢 indice h.

Et nous savons aussi que nous allons obtenir exactement la même équation pour le mouvement vertical. Mais dans ce cas, nous aurons les composantes du vecteur vitesse et d’accélération verticales. Nous pouvons maintenant remplacer les valeurs dans la partie droite de ces deux équations. Faisons un peu de place pour cela.

Alors, commençons par l’équation horizontale. En remplaçant les valeurs de l’accélération horizontale, de l’intervalle de temps et du vecteur vitesse horizontal initial, nous obtenons que le vecteur vitesse horizontal final 𝑉 indice h est égale à 12 mètres par seconde au carré multipliée par 10 secondes plus 250 mètres par seconde. Voilà donc l’accélération horizontale 𝑎 indice h multipliée par l’intervalle de temps Δ𝑡 plus le vecteur vitesse horizontal initial 𝑢 indice h.

Calculons maintenant l’expression de 𝑉 indice h. Le premier terme vaut 12 mètres par seconde au carré multiplié par 10 secondes. Ce qui fait 120 mètres par seconde. Il faut ensuite ajouter le deuxième terme, 250 mètres par seconde. En additionnant ces deux termes, nous obtenons que le vecteur vitesse horizontal final est de 370 mètres par seconde.

Faisons maintenant la même chose pour le mouvement vertical, en remplaçant les valeurs dans l’équation du vecteur vitesse vertical final. Nous obtenons que 𝑉 indice v est égal à neuf mètres par seconde au carré multiplié par 10 secondes plus 10 mètres par seconde. C’est donc la valeur de l’accélération verticale 𝑎 indice v multipliée par l’intervalle de temps Δ𝑡 plus le vecteur vitesse vertical initial 𝑢 indice v.

Ce premier terme sur la droite vaut 90 mètres par seconde. Nous obtenons donc que le vecteur vitesse vertical final 𝑉 indice v est égale à 90 mètres par seconde plus 10 mètres par seconde, soit 100 mètres par seconde.

Nous avons donc calculé la composante horizontale et la composante verticale du vecteur vitesse final de l’avion. Ce que nous cherchons à déterminer, c’est la vitesse finale de l’avion. Cette vitesse finale est la norme du vecteur vitesse final résultant de l’avion. Afin de déterminer la résultante de deux vecteurs, il faut mettre ces vecteurs bout à bout. C’est-à-dire que pour déterminer le vecteur vitesse final résultant de l’avion, nous devons dessiner le vecteur vitesse horizontal comme ceci. Et puis nous devons dessiner le vecteur vitesse vertical, en plaçant l’origine de ce vecteur au niveau de l’extrémité du vecteur vitesse horizontal.

La résultante de ces deux vecteurs correspond alors au vecteur qui commence à l’origine du premier vecteur, c’est-à-dire le vecteur vitesse horizontal, et qui s’étend jusqu’à l’extrémité du deuxième vecteur, le vecteur vitesse vertical. Donc, cette flèche ici est le vecteur qui représente le vecteur vitesse final résultant de l’avion.

Appelons 𝑉 la norme de ce vecteur, qui correspond à la vitesse finale de l’avion. Afin de déterminer la valeur de 𝑉, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore. Ce théorème dit que pour un triangle rectangle quelconque, si l’hypoténuse a une longueur 𝑐 et les autres côtés des longueurs 𝑎 et 𝑏, alors 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Ou en prenant la racine carrée de cette expression, nous avons que la longueur de l’hypoténuse 𝑐 est égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Dans notre cas, puisque nous avons un vecteur pour la composante horizontale du vecteur vitesse et un autre pour la composante verticale du vecteur vitesse, l’angle entre ces deux vecteurs doit être égal à 90 degrés, donc nous avons un triangle rectangle. La longueur de l’hypoténuse de ce triangle est la vitesse finale de l’avion 𝑉, que nous cherchons à déterminer. Et les deux autres côtés de ce triangle sont des valeurs que nous avons déjà calculées, les composantes horizontale et verticale du vecteur vitesse final de l’avion.

En appliquant l’équation du théorème de Pythagore à ce triangle pour la vitesse finale de l’avion, nous obtenons que 𝑉 est égal à la racine carrée de 𝑉 indice h au carré plus 𝑉 indice v au carré. Ensuite, en remplaçant les valeurs de 𝑉 indice h et 𝑉 indice v, nous obtenons que 𝑉 est égal à la racine carrée du carré de 370 mètres par seconde plus le carré de 100 mètres par seconde. En prenant le carré de ces deux termes, puis en les additionnant, nous obtenons que 𝑉 est égal à la racine carrée de 146900 mètres carrés par seconde au carré. En calculant la racine carrée, nous obtenons un résultat pour 𝑉 de 383,28 mètres par seconde. Les points de suspension ici indiquent que ce résultat a davantage de décimales.

En regardant l’énoncé, nous voyons qu’on nous demande de donner une réponse arrondie au mètre par seconde. En arrondissant le résultat, nous obtenons la réponse finale à la question : après 10 secondes d’accélération, la vitesse de l’avion est de 383 mètres par seconde.

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