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Vidéo de question : Utiliser la loi des cosinus pour calculer une longueur inconnue dans un triangle Mathématiques

𝐴𝐵𝐶 est un triangle tel que 𝑎 = 13cm, 𝑏 = 10cm et cos 𝐶 = 0,2. Calculez la valeur de 𝑐 au millième près.

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Transcription de vidéo

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle avec 𝑎 égale à 13 centimètres, 𝑏 égale à 10 centimètres et cos de 𝐶 égale à 0,2. Calculez la longueur 𝑐 en donnant la réponse au millième près.

Avant tout, il faut faire la différence entre les utilisations de la lettre 𝑐. Rappelons que les lettres minuscules correspondent aux côtés et les lettres majuscules aux angles. Commençons par dessiner ce triangle pour mieux visualiser le problème.

Voilà à quoi ressemble le triangle. On nous a donné les longueurs de deux des côtés et certaines informations relatives à l'angle inclus. On nous demande ensuite de calculer la longueur du troisième côté. Toutes ces données suggèrent que nous devrions utiliser la loi des cosinus pour résoudre ce problème.

Rappelez-vous, la loi des cosinus est la suivante : 𝑎 au carré est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins deux 𝑏𝑐 cosinus de 𝐴, où les lettres minuscules représentent les côtés et la lettre majuscule 𝐴 représente un angle. Cependant, cette formule n'est pas particulièrement utile ici car il ne s'agit pas du cosinus de l'angle 𝐴 qui nous a été donné, mais plutôt de celui de l'angle 𝐶.

Donc je vais réécrire ça, mais en échangeant les 𝐴 et les 𝐶. Alors partout où il y a 𝑎 minuscule, je vais la remplacer par une 𝑐 minuscule. Les 𝑐 minuscules seront remplacées par des 𝑎 minuscules. Et la lettre 𝐴 majuscule sera remplacée par la lettre 𝐶 majuscule.

Ça me donne une alternative à la loi des cosinus, mais dans laquelle c'est 𝑐 au carré qu'on calcule. Et ça me dit que 𝑐 au carré égale 𝑏 au carré plus 𝑎 au carré moins deux 𝑏𝑎 cosinus de 𝐶.

Souvenez-vous que les côtés 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les côtés opposés aux angles portant la même lettre. Donc je les ai marqués en orange sur la figure. À présent, nous sommes prêts à substituer les longueurs des côtés 𝑎 et 𝑏 et la valeur de cos 𝐶 dans cette question.

On a donc que 𝑐 au carré égale 10 au carré plus 13 au carré moins deux fois 10 fois 13 fois cos de 𝐶, dont on rappelle qu'il est de 0,2. On obtient 𝑐 au carré égale à 100 plus 169 moins 52.

Ce qui donne 𝑐 au carré égale à 217. Par la suite, afin de trouver la valeur de 𝑐, on doit prendre la racine carrée des deux côtés de cette équation. Ainsi, 𝑐 est la racine carrée de 217.

En écriture décimale, cela donne 14,730919. Or, la question demandait cette valeur au millième près. Il faut donc l'arrondir. On a donc que la valeur de 𝑐 au millième près est 14,731 centimètres.

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