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Vidéo de question : Utiliser la norme d’un vecteur pour déterminer la valeur d’une inconnue Mathématiques

Sachant que 𝐀 = (6 ; 4 ; 𝑘) et ||𝐀|| = 2√ (17) unités, déterminez les valeurs possibles de 𝑘.

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Transcription de vidéo

Sachant que le vecteur 𝐀 est égal à six, quatre, 𝑘 et que la norme de 𝐀 est égale à deux racine carrée de 17 unités, déterminez les valeurs possibles de 𝑘.

Commençons par considérer un vecteur quelconque 𝐮 de composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧. La norme de 𝐮 est égale à la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré. Cela signifie que puisque le vecteur 𝐀 a les composantes six, quatre et 𝑘, la norme de 𝐀 est égale à racine carrée de six au carré plus quatre au carré plus 𝑘 au carré. Et nous savons que cette norme est égale à deux racine carrée de 17. Donc deux racine carrée de 17 égale racine carrée de six au carré plus quatre au carré plus 𝑘 au carré.

Afin de résoudre cette équation de 𝑘, la première étape consiste à mettre les deux membres au carré. Le membre droit devient six au carré plus quatre au carré plus 𝑘 au carré. Et le membre gauche devient quatre fois 17, car deux au carré égale quatre et racine carrée de 17 au carré égale 17. Quatre fois 17 égale 68. Six au carré égale 36. Et quatre au carré égale 16. L’équation se simplifie donc par 68 égale 36 plus 16 plus 𝑘 au carré. 36 plus 16 égale 52. Soustraire ensuite 52 aux deux membres de l’équation nous donne 68 moins 52 égale 𝑘 au carré. Cela signifie que 𝑘 au carré est égal à 16. Notre dernière étape consiste à prendre la racine carrée des deux membres de l’équation. Racine carrée de 16 est égale à plus ou moins quatre. Et la racine carrée de 𝑘 au carré est égale à 𝑘. Cela signifie que les deux valeurs possibles de 𝑘 sont quatre et moins quatre.

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