Vidéo : Équations différentielles séparables

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier et à résoudre des équations différentielles séparables.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre la définition d’une équation différentielle séparable et comment nous pouvons la récrire pour obtenir une égalité entre deux intégrales que nous pourrons ensuite évaluer. À cette fin, il est important que vous ayez confiance en l’évaluation des intégrales d’une variété de fonctions-telles que les fonctions polynomiales, trigonométriques et exponentielles-avant d’accéder à cette vidéo.

Une équation séparable est une équation différentielle du premier ordre dans laquelle l’expression de d𝑦 sur d𝑥 peut s’exprimer en fonction de 𝑥 fois une fonction de 𝑦. En d’autres termes, elle peut être écrite sous la forme d𝑦 sur d𝑥 égal 𝑔 de 𝑥 fois 𝑓 de 𝑦. Le nom séparable vient du fait que l’expression sur le côté droit peut être séparée en fonction de 𝑥 et une fonction de 𝑦. De manière équivalente, si 𝑓 de 𝑦 n’est pas égal à zéro, nous pouvons écrire notre équation d𝑦 sur d𝑥 égale 𝑔 de 𝑥 sur ℎ de 𝑦, où ℎ de 𝑦 est un sur 𝑓 de 𝑦.

Pour résoudre cette équation, on écrit sous la forme différentielle ℎ de 𝑦 d𝑦 égal 𝑔 de 𝑥 d𝑥 Essentiellement, nous avions besoin pour obtenir tous les 𝑦 d’un côté de l’équation et tous les 𝑥 de l’autre. Et ensuite, nous pouvons intégrer les deux côtés de l’équation. Maintenant, il est important de se rendre compte que d𝑦 sur d𝑥 n’est pas une fraction. Mais dans le but de résoudre des équations différentielles séparables, nous le traitons un peu comme telle. Et ce que nous avons fait ici définit 𝑦 implicitement en fonction de 𝑥. Et dans de nombreux cas, nous pourrons résoudre 𝑦 en fonction de 𝑥. Regardons un exemple de la façon dont cela pourrait fonctionner.

Résoudre l’équation différentielle d𝑦 sur d𝑥 plus 𝑦 est égal à un.

Une équation séparable est une équation différentielle du premier ordre dans laquelle l’expression de d𝑦 sur d𝑥 peut s’exprimer en fonction de 𝑥 fois une fonction de 𝑦. En d’autres termes, elle peut être écrite sous la forme 𝑔 de 𝑥 fois 𝑓 de 𝑦. Réarrangeons donc notre équation d𝑦 sur d𝑥 plus 𝑦 égale 1, de sorte qu’elle se présente sous cette forme. Pour ce faire, nous allons soustraire 𝑦 des deux côtés de l’équation. Et nous obtenons d𝑦 sur d𝑥 être égale à un moins 𝑦. Cela ne ressemble peut-être pas à cela, mais nous avons atteint notre objectif. Notre fonction de 𝑦 est un moins 𝑦 et notre fonction de 𝑥 en est simplement un.

Ensuite, pour résoudre cette équation, nous allons la réécrire en utilisant des différentiels. Maintenant, rappelez-vous, d𝑦 sur d𝑥 n’est absolument pas une fraction. Mais nous le traitons un peu comme si c’était le cas. Nous commençons en divisant les deux côtés de notre équation par un moins 𝑦. Et nous voyons que cela est égal à dire un sur un moins 𝑦 d𝑦 est égal à un d𝑥. Et maintenant, nous sommes prêts à intégrer les deux côtés de cette équation. Alors, comment pouvons-nous intégrer un sur un moins 𝑦 par rapport à 𝑦 ? Eh bien, nous commençons par citer le résultat général pour l’intégrale de un sur 𝑥 par rapport à 𝑥. Il est le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 plus une constante d’intégration, 𝑐.

Ce que nous allons faire, c’est substituer notre intégrale. Nous allons poser 𝑢 égal à un moins 𝑦 de sorte que d𝑢 par d𝑦 soit égal à moins un. Nous pourrions écrire ceci de manière équivalente comme étant moins d𝑢 est égal à d𝑦. Et puis nous allons remplacer d𝑦 avec moins d𝑢 et un moins 𝑦 avec 𝑢. Et nous voyons que nous avons besoin maintenant d’intégrer moins un sur 𝑢 par rapport à 𝑢. Eh bien, c’est moins un, le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑢 ainsi que constante d’intégration 𝑐. En remplaçant 𝑢 avec un moins 𝑦, on trouve l’intégrale de un sur un moins 𝑦 égal à moins le logarithme naturel de la valeur absolue de un moins 𝑦 plus une constante d’intégration que je vais appeler 𝑎.

Lorsque nous en intégrons un par rapport à 𝑥, c’est un peu plus simple. Nous obtenons 𝑥 plus une seconde constante d’intégration. Appelons ça 𝑏. On soustrait 𝑎 des deux côtés de notre équation et on multiplie par moins un. Cela nous donne le logarithme naturel de la valeur absolue de un moins 𝑦 est égal à moins 𝑥 plus 𝑐 un. 𝑐 un est une nouvelle constante, et elle est obtenue en soustrayant 𝑎 de 𝑏 et en multipliant par moins un. Et puis, nous constatons que nous pouvons élever les deux côtés de cette équation comme puissances de 𝑒. Ainsi, on obtient la valeur absolue de un moins 𝑦 égale à 𝑒 à la puissance moins 𝑥 plus 𝑐 un.

En utilisant les lois des exposants, nous voyons que nous pouvons réécrire 𝑒 à la puissance moins 𝑥 plus 𝑐 un comme 𝑒 à la puissance moins 𝑥 fois 𝑒 à la puissance 𝑐 un. Mais, bien sûr, 𝑒 à la puissance 𝑐 un lui-même est une constante. Appelons ça deux. Et nous voyons que nous pouvons réécrire le côté droit comme 𝑐 deux fois 𝑒 à la puissance moins 𝑥. Bien sûr, nous avons affaire à la valeur absolue de un moins 𝑦. Et on peut dire que cela signifie que un moins 𝑦 pourrait être positif égal à 𝑐 deux fois 𝑒 à la puissance moins 𝑥 ou moins 𝑐 deux fois 𝑒 à la puissance moins 𝑥. Mais 𝑐 deux est une constante, nous n’avons donc pas besoin d’écrire cela.

Dans notre dernière étape, nous allons ajouter 𝑦 aux deux côtés de l’équation, puis soustraire 𝑐 deux 𝑒 à la puissance moins 𝑥. Cela nous donne 𝑦 est égal à un moins 𝑐 deux fois 𝑒 à la puissance moins 𝑥. Mais bien sûr, encore une fois, puisque 𝑐 deux est une constante, nous pouvons changer cela en plus 𝑐. Et nous voyons que 𝑦 égal un plus 𝑐 fois 𝑒 à la puissance moins 𝑥 est la solution à notre équation différentielle séparables.

Nous allons maintenant examiner un exemple nécessitant d’autres techniques d’intégration.

Déterminer une relation entre 𝑦 et 𝑥 étant donné que 𝑥𝑦 fois 𝑦 prime est égal à 𝑥 carré moins cinq.

Maintenant, cette première étape n’est pas entièrement nécessaire. Mais il peut être un peu plus facile de voir quoi faire ensuite. Nous écrivons 𝑦 prime en utilisant la notation de Leibniz. Et on voit que 𝑥𝑦 d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑥 carré moins cinq. Et nous rappelons qu’une équation différentielle séparable est celle dans laquelle l’expression d𝑦 sur d𝑥 peut être écrite comme une fonction de 𝑥 fois une fonction de 𝑦. Maintenant, en fait, si l’on divise les deux parties de notre équation par 𝑥𝑦, nous voyons que nous pouvons y parvenir. Nous obtenons d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑥 carré moins cinq sur 𝑥𝑦 ou 𝑥 carré moins cinq sur 𝑥 fois un sur 𝑦. Et c’est génial parce que 𝑔 de 𝑥 est donc 𝑥 moins cinq au carré sur 𝑥. Et notre fonction de 𝑦 est un sur 𝑦.

En fait, nous venons d’effectuer cette opération pour démontrer que nous avions effectivement une équation différentielle séparable. Nous aurions pu garder 𝑦 sur le côté gauche, comme indiqué. Et puis, nous effectuons cette étape plutôt étrange. d𝑦 sur d𝑥 n’est pas une fraction, mais nous le traitons un peu comme si. Et nous disons que 𝑦 d𝑦 est égal à 𝑥 carré moins cinq sur 𝑥 d𝑥. Notre prochaine étape consiste à intégrer les deux côtés de cette équation. Rappelez-vous, pour intégrer un terme polynomial dont l’exposant n’est pas égal à moins un, nous ajoutons un à l’exposant et divisons par ce nouveau nombre. Ainsi, l’intégrale de 𝑦 est 𝑦 au carré sur deux plus une constante d’intégration 𝑎.

Ensuite, il peut sembler que nous devions effectuer une sorte de substitution pour évaluer cette intégrale. Mais en fait, si nous séparons notre fraction en 𝑥 au carré sur 𝑥 moins cinq sur 𝑥, nous constatons que nous devons intégrer 𝑥 moins cinq sur 𝑥 par rapport à 𝑥. Ensuite, nous rappelons le résultat général pour l’intégrale de un sur 𝑥. C’est le log naturel de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝑐. Ainsi, lorsque nous intégrons à droite de notre équation, nous obtenons 𝑥 au carré sur deux moins cinq fois le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 plus une seconde constante d’intégration que je l’ai appelé 𝑏.

Notre dernière étape consiste à soustraire 𝑎 de 𝑏 puis multiplier l’ensemble de l’équation par deux. Quand nous le faisons, nous constatons que 𝑦 carré égal à 𝑥 moins 10 fois au carré le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝑐. Cette 𝑐 est une autre constante obtenue en soustrayant 𝑎 de 𝑏 puis multiplier par deux. Et donc, étant donné notre équation différentielle, nous avons trouvé une relation entre 𝑦 et 𝑥. 𝑦 au carré égal à 𝑥 moins 10 fois au carré le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝑐.

Dans cet exemple, nous verrons comment une factorisation intelligente peut créer une expression beaucoup plus simple à séparer.

Déterminez une relation entre 𝑢 et 𝑡 étant donné que d𝑢 sur d𝑡 est égal à un plus 𝑡 à la puissance quatre sur 𝑢𝑡 carré plus 𝑢 à la puissance quatre fois 𝑡 carré.

Maintenant, cette équation différentielle peut paraître vraiment méchante. Mais c’est en fait une équation différentielle séparable. Dans ce cas, c’est celle où une expression d𝑢 sur d𝑡 peut être écrite comme une fonction de 𝑢 fois une fonction de 𝑡. Alors, comment allons-nous y parvenir ? Eh bien, nous commençons par la factorisation du dénominateur par 𝑡 carré. Et nous trouvons que d𝑢 sur d𝑡 est égal à un plus 𝑡 à la puissance quatre sur 𝑡 fois au carré 𝑢 plus 𝑢 à la puissance quatre. Nous pouvons maintenant écrire cela comme une fonction de 𝑡 fois une fonction de 𝑢. Il est un plus 𝑡 à la puissance sur 𝑡 carré fois un sur 𝑢 plus 𝑢 à la puissance quatre.

Commençons en multipliant les deux côtés de cette équation par 𝑢 plus 𝑢 à la puissance quatre. Ensuite, nous rappelons que tout d𝑢 sur d𝑡 n’est pas une fraction, nous traitons un peu comme un. Et on peut dire que 𝑢 plus 𝑢 à la puissance quatre d𝑢 est égal à un plus 𝑡 à la puissance quatre sur 𝑡 au carré d𝑡. Et c’est très bien parce que nous sommes maintenant prêts à intégrer les deux côtés de notre équation. Le côté gauche est assez simple à intégrer. L’intégrale de 𝑢 est 𝑢 au carré sur deux. Et l’intégrale de 𝑢 à la puissance quatre est 𝑢 à la puissance cinq sur cinq. Ne pas oublier, car cela est une intégrale indéfinie, il faut la constante d’intégration 𝑎.

Du côté droit, nous allons réécrire notre expression comme un plus 𝑡 à la puissance quatre sur 𝑡 carré. Et qui permet de simplifier en un sur 𝑡 carré plus 𝑡 carré. Mais, bien sûr, un sur 𝑡 carré est le même que 𝑡 à la puissance moins deux. Et nous pouvons maintenant intégrer normalement. Lorsque nous intégrons 𝑡 à la puissance moins deux, nous ajoutons un à l’exposant pour obtenir moins un, puis nous divisons par ce nombre. 𝑡 carré devient 𝑡 au cube sur trois. Et nous avons une seconde constante d’intégration ; Je l’ai appelé 𝑏. Maintenant, bien sûr, nous pouvons réécrire 𝑡 à la puissance moins un sur moins un en tant que moins un sur 𝑡.

Notre dernière étape consiste à soustraire notre constante 𝑎 des deux côtés de l’équation. Cela nous donne une nouvelle constante 𝑐. C’est égal à la différence entre 𝑏 et 𝑎. Nous avons donc trouvé une relation entre 𝑢 et 𝑡. C’est 𝑢 à la puissance cinq sur cinq plus 𝑢 au carré sur deux est égal à moins un sur 𝑡 plus deux au cube sur trois plus 𝑐.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment ce processus fonctionne pour les fonctions exponentielles.

Résoudre l’équation différentielle d𝑧 par d𝑡 plus 𝑒 à la puissance deux 𝑡 plus deux 𝑧 égale à zéro.

Rappelez-vous, une équation différentielle séparable est une pour laquelle l’expression d𝑧 par d𝑡 peut être exprimée comme une fonction de 𝑧 fois une fonction de 𝑡. Alors, comment allons-nous y parvenir pour notre équation ? Eh bien, nous allons commencer par la soustraction 𝑒 la puissance de deux 𝑡 plus deux 𝑧 des deux côtés de notre équation. Nous rappelons ensuite que les lois des exposants nous disent que 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏 peut être écrit lorsque 𝑥 à la puissance 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑏. On peut donc écrire moins 𝑒 à la puissance deux 𝑡 plus deux 𝑧 moins 𝑒 à la puissance deux 𝑡 fois 𝑒 à la puissance deux 𝑧.

Maintenant, bien sûr, d𝑧 par d𝑡 n’est pas une fraction, mais nous le traitons un peu comme si. Et on peut dire que cela est égal à un sur 𝑒 à la puissance deux 𝑧 d𝑧 est égal à 𝑒 de moins deux 𝑡 d𝑡. Et c’est formidable car nous sommes maintenant prêts à intégrer les deux côtés. Il peut être plus simple d’exprimer un sur 𝑒 à la puissance deux 𝑧 comme 𝑒 à la puissance moins deux 𝑧. Et puis, nous citerons le résultat général pour l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑘𝑥 pour une constante 𝑘. Il est 𝑒 à la puissance 𝑘𝑥 sur 𝑘 plus 𝑐. Cela signifie donc l’intégrale de 𝑒 à la puissance moins deux 𝑧 est moins 𝑒 à la puissance moins deux 𝑧 sur deux. Et l’intégrale de moins 𝑒 de deux 𝑡 est moins 𝑒 de deux 𝑡 sur deux.

Notre prochaine étape consiste à soustraire 𝑐 un des deux côtés de l’équation, puis à le multiplier par moins deux. Rappelez-vous, dans la résolution de notre équation différentielle, idéalement, nous voulons une équation pour 𝑧 en fonction de 𝑡, donc nous constatons que 𝑒 à la puissance moins deux 𝑧 est égale à 𝑒 à la puissance deux 𝑡 plus 𝑐 trois. 𝑐 trois est une nouvelle constante obtenue en soustrayant 𝑐 un de 𝑐 deux, puis en multipliant par moins deux. Pour résoudre en 𝑧, on trouve le logarithme naturel des deux côtés de cette équation. Mais le log naturel de 𝑒 à la puissance moins deux est égal à moins deux 𝑧. Notre dernière étape consiste donc à diviser par moins deux. Et nous avons résolu notre équation différentielle. 𝑧 est égal à moins un fois un demi le logarithme naturel de 𝑒 à la puissance deux 𝑡 plus une constante ; appelons-la 𝑐.

Dans cette vidéo, nous avons vu qu’une équation séparable est une équation différentielle d’ordre un de la forme d𝑦 sur d𝑥 est égale à une fonction de 𝑥 fois une fonction de 𝑦. Nous avons vu que pour résoudre ce genre d’équations, nous séparons tous nos 𝑥 d’un côté et tous nos 𝑦 de l’autre, puis nous intégrons. Enfin, nous avons souligné que, si nous traitons d𝑦 sur d𝑥 un peu comme une fraction dans cette méthode, d𝑦 sur d𝑥 n’est absolument pas une fraction.

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