Transcription de la vidéo
La vitesse et la hauteur au-dessus du niveau du sol d’un objet sont indiquées à différents moments dans la figure suivante. La figure n’est pas à l’échelle. L’énergie mécanique de l’objet est constante. Lesquels des suivants ont la même valeur? Approximez toutes les vitesses au mètre près par seconde. (A) La valeur absolue de 𝑣 indice trois moins la valeur absolue de 𝑣 indice quatre et la valeur absolue de 𝑣 indice un moins la valeur absolue de 𝑣 indice deux. (B) La valeur absolue de 𝑣 indice trois moins la valeur absolue de 𝑣 indice un et 10 mètres par seconde moins la valeur absolue de 𝑣 indice trois. (C) La valeur absolue de 𝑣 indice deux moins la valeur absolue de 𝑣 indice quatre et la valeur absolue de 𝑣 indice trois moins la valeur absolue de 𝑣 indice un. (D) La valeur absolue de 𝑣 indice trois moins la valeur absolue de 𝑣 indice un et la valeur absolue de 𝑣 indice un moins la valeur absolue de 𝑣 indice deux.
Dans cette question, on nous donne une figure montrant le mouvement d’un objet lorsqu’il se déplace sur une trajectoire avec différentes hauteurs. On souhaite calculer la vitesse de l’objet à chaque intervalle de mesure de sa hauteur afin de pouvoir déterminer laquelle des réponse a la même valeur. Avant de commencer à résoudre ce problème, on peut rappeler quelques informations sur l’énergie mécanique et comment l’utiliser pour calculer les valeurs recherchées.
On peut rappeler que l’énergie mécanique, EM, d’un objet est définie comme la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle. L’énergie cinétique, EC, est égale à un demi multiplié par la masse, 𝑚, multipliée par la vitesse, 𝑣, au carré. On a également l’énergie potentielle gravitationnelle, EPG, dans ce problème, qui est égale à la masse, 𝑚, multipliée par l’accélération due à la gravité, 𝑔, multipliée par la hauteur de l’objet, ℎ. Par conséquent, l’énergie mécanique de l’objet est égale à un demi 𝑚𝑣 carré plus 𝑚𝑔ℎ.
On souhaite réorganiser cette équation pour isoler la vitesse 𝑣. Faisons de la place pour travailler. Mais avant cela, on notera que la question nous dit que l’énergie mécanique de l’objet est constante sur la figure. Ceci étant noté, faisons de la place.
On commence par soustraire 𝑚𝑔ℎ des deux côtés pour nous donner EM moins 𝑚𝑔ℎ est égal à un demi 𝑚𝑣 carré. On divise ensuite les deux côtés par 𝑚 sur deux, ce qui nous donne deux multipliés par EM sur 𝑚 moins 𝑔ℎ est égal à 𝑣 au carré. On prend ensuite la racine carrée des deux côtés pour nous laisser avec 𝑣 égal à la racine carrée de deux multipliée par EM sur 𝑚 moins 𝑔ℎ. Avant de calculer les vitesses individuelles, on peut calculer une valeur pour EM sur 𝑚. On nous dit dans la question que l’énergie mécanique de l’objet est constante, mais une autre constante de ce système est la masse de l’objet. Donc, si on divise les deux côtés de l’équation de l’énergie mécanique par la masse, 𝑚, on constate que EM sur 𝑚 est égal à un demi 𝑣 carré plus 𝑔ℎ.
On voit sur la figure que la vitesse initiale de l’objet est de 10 mètres par seconde et que la hauteur initiale est de 25 mètres. On peut également rappeler que l’accélération due à la gravité, 𝑔, est égale à 9,8 mètres par seconde au carré. En substituant ces valeurs dans cette équation et en effectuant le calcul sur une calculatrice, on obtient que EM sur 𝑚 est égal à 295 mètres carrés par seconde au carré. Rappelons que comme l’énergie mécanique et la masse sont des constantes, la quantité EM sur 𝑚 va être la même dans toutes les positions.
On peut maintenant poursuivre et calculer les vitesses individuelles en utilisant l’équation trouvée ci-dessus. Sur la figure, on voit que la hauteur en position un est de 15 mètres. Donc, en substituant cela à notre équation de vitesse et avec une calculatrice, on constate que 𝑣 indice un est égal à 17 mètres par seconde au mètre par seconde près. On peut voir que la hauteur en position deux est de 10 mètres, donc 𝑣 indice deux sera égal à 20 mètres par seconde. De même, on peut voir que la hauteur en position trois est de 20 mètres, donc 𝑣 indice trois sera égal à 14 mètres par seconde. Et la hauteur en position quatre est de zéro mètre, donc 𝑣 indice quatre sera égal à 24 mètres par seconde.
Maintenant que l’on connait les valeurs de toutes nos vitesses, examinons les réponses qui nous ont été données et calculons les valeurs dont on a besoin.
Commençons par la réponse (A). La valeur absolue de 𝑣 indice trois moins la valeur absolue de 𝑣 indice quatre est égale à 14 mètres par seconde moins 24 mètres par seconde, ce qui équivaut à moins 10 mètres par seconde. La valeur absolue de 𝑣 indice un moins la valeur absolue de 𝑣 indice deux est égale à 17 mètres par seconde moins 20 mètres par seconde, ce qui équivaut à moins trois mètres par seconde. On voit que ces deux expressions n’ont pas la même valeur, donc la réponse (A) est incorrecte.
Voyons maintenant la réponse (B). La valeur absolue de 𝑣 indice trois moins la valeur absolue de 𝑣 indice un est égale à 14 mètres par seconde moins 17 mètres par seconde, ce qui équivaut à moins trois mètres par seconde. 10 mètres par seconde moins la valeur absolue de 𝑣 indice trois est égale à 10 mètres par seconde moins 14 mètres par seconde, ce qui équivaut à moins quatre mètres par seconde. On voit que ces deux expressions n’ont pas la même valeur, donc la réponse (B) est incorrecte.
Voyons maintenant la réponse (C). La valeur absolue de 𝑣 indice deux moins la valeur absolue de 𝑣 indice quatre est égale à 20 mètres par seconde moins 24 mètres par seconde, ce qui équivaut à moins quatre mètres par seconde. On peut voir que cela n’est pas égal à la valeur absolue de 𝑣 indice trois moins la valeur absolue de 𝑣 indice un, donc la réponse (C) est incorrecte.
Cela nous laisse avec la réponse (D). Si on compare la valeur absolue de 𝑣 indice trois moins la valeur absolue de 𝑣 indice un avec la valeur absolue de 𝑣 indice un moins la valeur absolue de 𝑣 indice deux, on voit que ces deux expressions sont égales à moins trois mètres par seconde. Celles-ci ont la même valeur. Donc, donc, la réponse (D) doit être la bonne réponse. La valeur absolue de 𝑣 indice trois moins la valeur absolue de 𝑣 indice un est égale à la valeur absolue de 𝑣 indice un moins la valeur absolue de 𝑣 indice deux.
