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Vidéo de question : Rechercher une matrice inconnue à l’aide d’opérations sur les matrices Mathématiques

Considérez les matrices 𝐴 = [0, −4, 2, 1], 𝐵 = [−3, −7, 6, 6, −4, 3] et 𝐶 = [7, −7, −7, 2, - 7, 7]. Déterminez la matrice 𝑋 qui vérifie −𝑋 ^ (𝑇) = 𝐴² + (𝐵𝐶) ^ (𝑇).

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Transcription de vidéo

Considérez les matrices 𝐴 est égale à la matrice deux deux : zéro, moins quatre, deux, un; 𝐵 est égale à la matrice trois deux : moins trois, moins sept, six, six, moins quatre, trois; et 𝐶 est éagle à la matrice deux trois : sept, sept, moins sept, deux, moins sept, sept. Déterminez la matrice 𝑋 qui vérfie moins 𝑋 transposée est égale à 𝐴 au carré plus 𝐵𝐶 le tout transposé.

Dans cette question, on nous donne une équation matricielle impliquant trois matrices connues 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Nous devons l’utiliser pour déterminer la matrice 𝑋. Pour ce faire, commençons par évaluer le côté droit de cette équation, nous pouvons le faire terme par terme. Tout d’abord, nous devons évaluer 𝐴 au carré. Nous nous souvenons que mettre au carré une matrice signifie que nous la multiplions par elle-même. 𝐴 au carré est 𝐴 fois 𝐴. Par conséquent, 𝐴 au carré est donné par l’expression suivante.

Nous rappelons que pour multiplier deux matrices ensemble, nous devons trouver la somme des produits des entrées correspondantes dans les lignes de la première matrice et les colonnes de la deuxième matrice. Par exemple, pour trouver l’entrée dans la première ligne et la première colonne de la matrice 𝐴 au carré, nous devons trouver le produit de zéro et de zéro et l’ajouter au produit de moins quatre et de deux. Nous pouvons évaluer cette expression. Cela donne moins huit. Il s’agit de l’entrée de la première ligne et de la première colonne de la matrice 𝐴 au carré.

Nous pouvons suivre le même processus pour trouver l’entrée dans la première ligne, colonne deux de la matrice 𝐴 au carré. Cela donne zéro multiplié par moins quatre plus moins quatre multiplié par un, ce que nous pouvons calculer et ce qui nous donne moins quatre. Nous pouvons suivre la même procédure pour trouver les deux derniers éléments de 𝐴 au carré. Nous voyons que la matrice 𝐴 au carré est égale à la matrice deux deux : moins huit, moins quatre, deux, moins sept. Maintenant que nous avons trouvé une expression pour la matrice 𝐴 au carré, trouvons une expression pour le deuxième terme du membre droit de notre équation. Il s’agit de la transposée de 𝐵𝐶. Pour trouver la transposée de la matrice 𝐵𝐶, commençons par multiplier la matrice 𝐵 par la matrice 𝐶. Bien que cela ne soit pas nécessaire, vérifions que nous pouvons multiplier la matrice 𝐵 par la matrice 𝐶.

Rappelez-vous, pour multiplier deux matrices ensemble, nous avons besoin que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième matrice. Nous pouvons voir que ces nombres sont tous les deux de trois. Ensuite, les dimensions du produit de ces deux matrices sera le nombre de lignes de la première matrice par le nombre de colonnes de la deuxième matrice. Le produit de ces deux matrices est une matrice deux deux. Nous trouvons les produits de ces deux matrices de la même manière que pour la matrice 𝐴 au carré.

Nous devons trouver la somme des produits des éléments correspondants des lignes de la matrice 𝐵 avec les colonnes de la matrice 𝐶. Par exemple, l’entrée dans la première ligne, première colonne de la matrice 𝐵𝐶 sera moins trois fois sept plus moins sept fois moins sept plus six multipliée par moins sept, ce qui, si nous calculons le tout, est égal à moins 14. Ainsi, l’entrée dans la première ligne, la première colonne de 𝐵𝐶 est moins 14.

Nous pouvons suivre le même processus pour trouver l’entrée dans la première ligne, deuxième colonne. Nous obtenons moins trois fois sept plus moins sept fois deux plus six multiplié par sept, ce qui, si nous calculons, est égal à sept. Nous pouvons faire de même pour trouver les deux autres entrées de cette matrice. 𝐵 fois 𝐶 est la matrice deux deux : moins 14, sept, 49, 55. Nous sommes maintenant prêts à trouver une expression pour le deuxième terme du membre droit de notre équation. Nous devons prendre la transposée de la matrice 𝐵𝐶. Pour ce faire, rappelons comment nous trouvons la transposée d’une matrice. Cela signifie que nous écrivons les lignes de la matrice comme les colonnes de la nouvelle matrice. Ainsi, la première colonne de la transposée de cette matrice est trouvée en utilisant la première ligne de cette matrice.

La première colonne de la transposée est moins 14, sept. Nous pouvons faire la même chose pour trouver la deuxième colonne de cette matrice. Nous utilisons la deuxième ligne de 𝐵𝐶. La deuxième colonne est 49, 55. Par conséquent, nous avons montré que la transposée de 𝐵𝐶 est la matrice deux par deux moins 14, 49, sept, 55. Maintenant que nous avons trouvé 𝐴 au carré et la transposée de 𝐵𝐶, nous pouvons évaluer le côté droit de l’équation. Nous avons juste besoin d’ajouter 𝐴 au carré à la transposée de la matrice 𝐵𝐶.

N’oubliez pas que pour ajouter deux matrices du même ordre, il suffit d’additionner les entrées correspondantes. Par exemple, l’entrée dans la première ligne, première colonne de la somme de ces deux matrices sera moins huit plus moins 14, ce que nous pouvons évaluer en moins 22. De même, l’élément de la ligne un, colonne deux de notre matrice sera moins quatre plus 49, que nous pouvons évaluer en 45. Nous pouvons continuer ce processus pour trouver les deux derniers éléments de la matrice. Nous avons deux plus sept est égal à neuf et moins sept plus 55 est égal à 48. Notre matrice est donc la matrice deux par deux moins 22, 45, neuf, 48.

Maintenant, nous pouvons remplacer la matrice que nous avons trouvée pour tout le côté droit de l’équation qui nous est donnée. Cela nous donne que moins la transpose de 𝑋 est la matrice deux deux : moins 22, 45, neuf, 48. Rappelez-vous, nous voulons trouver la matrice 𝑋, il y a plusieurs façons de procéder. Par exemple, nous pourrions remarquer que multiplier par un scalaire et que transposer une matrice carré ne change pas son ordre. Par conséquent, nous pouvons conclure que la matrice 𝑋 est également une matrice deux deux. Nous pourrions donc écrire 𝑋 comme une matrice deux deux et trouver tous les éléments de la matrice 𝑋. Cela fonctionnerait. Cependant, nous pouvons résoudre cette équation matricielle directement.

Tout d’abord, nous allons multiplier les deux côtés de notre équation par moins un. Lorsque nous faisons cela, sur le côté gauche de notre équation, nous obtenons moins un fois moins un qui est un multiplié par la transposée de 𝑋. Sur le côté droit de notre équation, nous obtenons moins un multiplié par notre matrice. Rappelez-vous, pour multiplier une matrice par un scalaire, nous multiplions simplement toutes les entrées de la matrice par notre scalaire. Puisque notre scalaire est moins un, cela signifie simplement que nous changeons le signe de toutes les entrées de la matrice. Cela nous donne la matrice deux deux : 22, moins 45, moins neuf, moins 48.

Maintenant, nous pouvons trouver la matrice 𝑋 en prenant la transposée des deux côtés de l’équation. Lorsque nous faisons cela, sur le côté gauche de l’équation, nous obtenons la transposée de la transposée de 𝑋. Sur le côté droit de notre équation, nous obtenons la transposée de la matrice donnée deux par deux. Nous pouvons alors simplifier cela. Premièrement, pour toute matrice 𝑀, la transposée de la transposée de 𝑀 est juste égale à 𝑀. Ainsi, le côté gauche de notre équation est égal à 𝑋. 𝑋 est juste la transposée de la matrice deux deux donnée. Ainsi, nous pouvons trouver la matrice 𝑋 en prenant la transposée de cette matrice. 𝑋 est la matrice deux deux : 22, moins neuf, moins 45, moins 48.

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