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Vidéo de question : Étude du mouvement d’un objet se déplaçant sur un plan horizontal sous l’action d’une force inclinée par rapport à l’horizontale Mathématiques

Un objet de poids 𝑊 se déplace avec une vitesse constante sur un plan horizontal sous l’action d’une force d’intensité 145 N, et dont la ligne d’action est inclinée d’un angle 𝜃 par rapport à l’horizontale, où sin 𝜃 = 3/5. Si la résistance du plan au mouvement de l’objet est de 1/6 𝑊, alors déterminez 𝑊 et la réaction normale du plan 𝑅.

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Transcription de vidéo

Un objet de poids 𝑊 se déplace à une vitesse constante sur un plan horizontal sous l’action d’une force de 145 newtons dont la ligne d’action est inclinée d’un angle 𝜃 à l’horizontale, où le sin de 𝜃 est égal aux trois cinquièmes. Si la résistance du plan au mouvement de l’objet est un sixième du 𝑊, trouvez 𝑊 et la réaction normale du plan 𝑅.

On va appeler l’intensité de la force agissant sur l’objet, 145 newtons, 𝐹 majuscule. On nous dit que le sin de l’angle 𝜃 impliqué est égal aux trois cinquièmes. Et que la résistance du plan au mouvement de l’objet est 𝑊 sur six. On appelle cette résistance 𝐹 indice 𝑟. On veut calculer 𝑊, le poids de l’objet, et aussi la réaction normale du plan, appelée 𝑅 majuscule.

Pour commencer, traçons un schéma de ce scénario. Dans cette situation, on a un objet de poids 𝑊 poussé par une force 𝐹 qui fait un angle de 𝜃 par rapport à l’horizontale. En plus de 𝐹, trois autres forces agissent sur l’objet. Il y a la force gravitationnelle ou le poids qui agit directement vers le bas. La force de résistance au mouvement de l’objet pour glisser sur la surface, que l’on va appeler 𝐹 indice 𝑟. Et il y a aussi la force de réaction de la surface sur l’objet. On l’appelle 𝑅 majuscule. C’est bien ce que l’on appelle la force normale. Avec les valeurs de 𝐹, sinus de 𝜃 et de la force de résistance 𝐹 𝑟, on peut calculer 𝑊 et 𝑅.

Pour commencer, on doit rappeler la deuxième loi de Newton. Cette loi nous dit que la force totale sur un objet est égale à la masse de l’objet multipliée par son accélération 𝑎. Dans notre scénario, on a des forces agissant dans deux directions orthogonales. Et si l’on dit que le mouvement vers le haut dans la direction 𝑦 ainsi que le mouvement à droite dans la direction 𝑥 sont positifs, alors on peut écrire la deuxième loi de Newton pour ces deux directions. Si l’on commence par la direction 𝑥, on voit qu’il y a deux forces avec des composantes le long de cet axe, 𝐹 𝑟 et 𝐹. Selon la deuxième loi de Newton, on peut écrire que 𝐹 𝑟 moins 𝐹 fois le cos de 𝜃 est égal à la masse de l’objet multipliée par son accélération 𝑎.

Dans l’énoncé du problème, on nous dit que la vitesse de l’objet est constante. Ce qui signifie que son accélération est égale à zéro. Puisque 𝑚 fois 𝑎 est égal à zéro, on peut écrire que 𝐹 𝑟 est égal à 𝐹 fois le cos de 𝜃. Et rappelons-nous que 𝐹 𝑟 peut être exprimé comme un sixième du 𝑊.

Ensuite, considérons le terme avec cos 𝜃 pour un instant. Si l’on regarde notre schéma, on voit que là où la force 𝐹 est appliquée, on peut l’exprimer en composantes avec l’aide d’un triangle rectangle, où 𝐹 est l’hypoténuse et 𝐹 indice 𝑥 et 𝐹 indice 𝑦 sont les côtés. On nous dit que le sin de l’angle 𝜃 est égal à trois divisé par cinq. Si l’on enlève les étiquettes de ce triangle rectangle et on le considère uniquement d’une perspective trigonométrique, vu que le sin de 𝜃 est trois sur cinq, cela signifie que notre côté vertical a une longueur de trois et l’hypoténuse une longueur de cinq.

Ce triangle peut commencer à sembler familier. On voit que c’est un triangle 3 : 4 : 5. Puisque l’on connait le rapport du côté horizontal par rapport aux deux autres côtés, on peut également calculer cos de 𝜃 avec ces informations. Eh bien, sin de 𝜃 est 𝑦 divisé par l’hypoténuse 𝐻. cos de 𝜃 est 𝑥, quatre, divisé par l’hypoténuse, cinq. Ainsi, le cos de 𝜃 est égal à quatre cinquièmes. Et 𝐹, la force, nous est donnée comme 145 newtons. En plaçant cette valeur et en multipliant les deux côtés de notre équation par six, on voit que 𝑊 est égal à six fois 145 newtons fois quatre cinquièmes, ou 696 newtons. C’est le poids de notre corps.

Sachant cela, on veut ensuite calculer 𝑅, qui est la force de réaction de la table contre l’objet. Pour résoudre ce problème, on va considérer les forces dans la direction verticale ou 𝑦. Et en regardant notre schéma, on voit qu’il y a trois forces avec des composantes dans la direction verticale : 𝑅, 𝑊 et 𝐹. On peut écrire que 𝑅 plus 𝐹 fois le sinus de 𝜃 moins 𝑊 est égal à la masse de l’objet multipliée par son accélération, ce qui, encore une fois, parce que son mouvement est constant, est zéro.

On peut réorganiser cette équation pour calculer 𝑅. 𝑅 est égal à 𝑊 moins 𝐹 fois le sin de 𝜃. On connait sin de 𝜃. Et aussi 𝐹. On a calculé 𝑊 dans une partie précédente. On est donc prêts à substituer les valeurs et à calculer 𝑅. En entrant ces valeurs sur notre calculatrice, on trouve que 𝑅 est égal à 609 newtons. C’est la force de réaction de la surface qui pousse l’objet vers le haut.

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