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Vidéo de question : Calcul de la force de résistance d’un plan incliné sur un corps en mouvement connaissant sa vitesse après un certain temps Mathématiques

Une voiture de masse 𝑚 tonnes était initialement au repos sur une colline inclinée d'un angle 𝜃 par rapport à l’horizontale, avec sin 𝜃 = 1/2. Après 100 secondes, sa vitesse était de 21 m/s. Calculez la résistance par tonne de la masse de la voiture. Prenez 𝑔 = 9,8 m/s².

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Transcription de vidéo

Une voiture de masse 𝑚 tonnes était initialement au repos sur une colline inclinée d'un angle 𝜃 par rapport à l’horizontale, avec sinus de 𝜃 égal à un demi. Après 100 secondes, sa vitesse était de 21 mètres par seconde. Calculez la résistance par tonne de la masse de la voiture. Prenez 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde au carré.

Nous appelons le temps pendant lequel la voiture accélère 𝑡, qui vaut 100 secondes. Et la vitesse atteinte après ce temps, est 21 mètres par seconde, nous l’allons l’appeler v indice 𝑓. On nous a dit que le sinus de l’angle d’inclinaison de la pente où se trouve la voiture vaut un demi. Nous voulons calculer la force de réaction par tonne de masse de la voiture. Nous appellerons cette valeur 𝐹 indice 𝑓 sur 𝑚.

Commençons par faire un schéma de cette situation. On nous a dit que la voiture est initialement au repos en haut d’une colline inclinée d’un angle 𝜃 par rapport à l’horizontale. À 𝑡 égal à zéro, la voiture se met en mouvement et commence à glisser en descente. Après un temps de 100 secondes, la voiture a atteint une vitesse de 21 mètres par seconde vers le bas. Connaissant ces informations sur la voiture et la descente, nous voulons déterminer la force de résistance - nous allons l’appeler 𝐹 indice 𝑓 – qui s’exerce sur la voiture par tonne de sa masse 𝑚.

Pour commencer notre solution, faisons le point sur les forces qui agissent sur la voiture lorsqu’elle descend la pente. Premièrement, il y a le poids qui agit vers le bas. Il est égal à la masse de la voiture multipliée par l’accélération de la pesanteur 𝑔, pour laquelle on nous dit de prendre une valeur de 9,8 mètres par seconde au carré. Il y a aussi une force normale qui pousse la voiture perpendiculairement au plan de la colline. Nous appelons cette force 𝐹 indice 𝑁. Et finalement, il y a une force résistante due aux frottements, que nous avons appelée 𝐹 𝑓, agissant sur la voiture et opposant à son mouvement vers le bas.

Pour déterminer cette force par tonne de masse de la voiture, commençons par rappeler la deuxième loi de Newton sur le mouvement. La deuxième loi dit que la somme des forces agissant sur un objet est égale à la masse de cet objet multipliée par son accélération. Si nous plaçons un système d’axes sur notre schéma avec l’axe positif des 𝑥 vers le haut de la pente et l’axe positif des 𝑦 perpendiculairement au plan, alors nous sommes capables d’appliquer la deuxième loi dans les deux directions.

Considérons les forces dans la direction 𝑥. Deux des trois forces de notre schéma agissent le long de cet axe : 𝐹 𝑓 et une composante du poids 𝑚𝑔. Si nous décomposons le poids 𝑚𝑔 en composantes 𝑦 et 𝑥, alors l’angle supérieur du triangle rectangle ainsi formé vaut 𝜃. Cela signifie que lorsque nous appliquons la deuxième loi de Newton aux forces dans la direction 𝑥, nous pouvons écrire 𝐹 𝑓 moins 𝑚𝑔 fois sinus 𝜃 est égal à 𝑚 fois 𝑎.

Si nous divisons ensuite les deux membres de l’équation par la masse de la voiture 𝑚, ce terme se simplifie dans deux des trois termes et nous avons maintenant 𝐹 𝑓 sur 𝑚 tout à gauche, ce que nous voulons déterminer. Nous pouvons réorganiser l’équation. Donc, nous avons 𝐹 𝑓 sur 𝑚 égal à 𝑔 sinus 𝜃 plus 𝑎.

Nous connaissons l’accélération de la pesanteur 𝑔 et nous connaissons également le sinus de 𝜃. Mais qu’en est-il de l’accélération 𝑎 ? Rappelons que l’accélération est définie comme la variation de vitesse sur la variation de temps. On nous a dit que la voiture est initialement au repos. Donc, la vitesse initiale est nulle et elle atteint sa vitesse finale 𝑣 indice 𝑓 de 21 mètres par seconde. Tout cela se passe en un temps de 100 secondes.

Donc, lorsque nous remplaçons 𝑣 𝑓 et 𝑡, nous voyons que 𝑎 est égal à moins 21 mètres par seconde divisé par 100 secondes, soit moins 0,21 mètres par seconde au carré. Nous pouvons maintenant remplacer 𝑎 par cette valeur. Et nous connaissons 𝑔 et le sinus de 𝜃.

Lorsque nous entrons ces valeurs sur la calculatrice, nous obtenons que 𝐹 𝑓 sur 𝑚 est égal à 4,69 newtons par tonne. C’est la force de résistance de la colline sur la voiture par tonne de masse de la voiture.

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