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Vidéo de question : Utiliser les probabilités conditionnelles pour décider si deux événements réels sont indépendants Mathématiques

Mason et Ethan utilisent leurs ordinateurs pour participer à une expérience en ligne sur un site web. Lorsque Mason appuie sur la barre d'espace de son clavier, il y a une probabilité de 50% que son écran devienne bleu. Lorsque Ethan appuie sur la barre d'espace de son clavier, il y a une probabilité de 45% que son écran devienne bleu. S'ils appuient tous les deux sur leurs barres d'espace, il y a une probabilité de 15% que leurs deux écrans deviennent bleus. Est-ce que les évènements « l'écran de Mason devient bleu » et « l'écran d’Ethan devient bleu » sont indépendants ?

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Transcription de vidéo

Mason et Ethan utilisent leurs ordinateurs pour participer à une expérience en ligne sur un site web. Lorsque Mason appuie sur la barre d'espace de son clavier, il y a une probabilité de 50 pour cent que son écran devienne bleu. Lorsque Ethan appuie sur la barre d'espace de son clavier, il y a une probabilité de 45 pour cent que son écran devienne bleu. S'ils appuient tous les deux sur leurs barres d'espace, il y a une probabilité de 15 pour cent que leurs deux écrans deviennent bleus. Est-ce que les évènements « l'écran de Mason devient bleu » et « l'écran d’Ethan devient bleu » sont indépendants ?

Dans cette question, on nous demande de déterminer si deux événements sont indépendants ou non. Plus précisément : les événements « l’écran de Mason devient bleu » et « l’écran d’Ethan devient bleu » sont-ils indépendants ou non ? Alors rappelons d’abord ce que sont deux événements indépendants. On dit que deux événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si le fait que 𝐴 se réalise n’affecte pas la probabilité que 𝐵 se réalise, et vice versa. Et pour deux événements indépendants 𝐴 et 𝐵, la probabilité de 𝐴 et 𝐵 ensemble est égale à la probabilité de 𝐴 fois la probabilité de 𝐵.

Mais regardons maintenant la formule des probabilités conditionnelles. Cette formule dit que la probabilité de 𝐴 sachant que 𝐵 est réalisé est égale à la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 sur la probabilité de 𝐵. Nous pouvons modifier cette équation, en multipliant les deux membres par la probabilité de 𝐵 et nous obtenons que la probabilité de 𝐵 fois la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. En permutant les membres de l’équation, nous pouvons comparer cela à la première équation concernant les événements indépendants. Et nous voyons que si 𝐴 et 𝐵 sont des événements indépendants, alors la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴. Et de même pour la probabilité de 𝐵. Alors, la probabilité de 𝐵 sachant que 𝐴 est réalisé est égale à la probabilité de 𝐵.

Et c’est logique, parce que si 𝐴 et 𝐵 sont indépendants, le fait que 𝐴 soit réalisé n’affecte pas la probabilité que 𝐵 se réalise. Et ceci nous donne une méthode très pratique pour vérifier si deux événements sont indépendants ou non. Appliquons donc cela à la question sur Mason et Ethan.

Supposons que 𝑃 de 𝑀 soit la probabilité que l’écran de Mason devienne bleu et 𝑃 de 𝐸 la probabilité que l’écran d’Ethan devienne bleu. On nous dit que lorsque Mason appuie sur la barre d’espace de son clavier, la probabilité que son écran devienne bleu est de 50 pour cent. C’est-à-dire que 𝑃 de 𝑀 est égale à 50 pour cent. Et quand Ethan appuie sur la barre d’espace de son clavier, la probabilité que son écran devienne bleu est de 45 pour cent, donc 𝑃 de 𝐸 est égal à 45 pour cent. Nous pouvons les écrire sous forme de fractions, 50 sur 100 et 45 sur 100 ou sous forme décimale soit 0,5 et 0,45. On nous dit également que s’ils appuient tous les deux sur leurs barres d’espace, la probabilité que les deux écrans deviennent bleus est de 15 pour cent. Ce qui donne 0,15 sous forme décimale et donc la probabilité de 𝑀 inter 𝐸, c’est-à-dire d’avoir 𝑀 et 𝐸 ensemble, est de 0,15.

Maintenant, nous cherchons à déterminer si les événements « l’écran de Mason devient bleu » et « l’écran d’Ethan devient bleu » sont indépendants. Et nous savons que si deux événements sont indépendants, nos deux équations doivent être vraies : la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 doit être égale à la probabilité de 𝐴 et la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴 doit être égale à la probabilité de 𝐵. Et donc si les deux événements sont indépendants, alors la probabilité de 𝑀 sachant 𝐸 doit être égale à la probabilité de 𝑀 et la probabilité de 𝐸 sachant 𝑀 doit être égale à la probabilité de 𝐸. Appelons ces équations un et deux et voyons si ces équations sont vraies en utilisant la formule des probabilités conditionnelles avec nos valeurs.

Selon la formule des probabilité conditionnelles, la probabilité de 𝑀 sachant 𝐸, c’est-à-dire la probabilité que l’écran de Mason devienne bleu sachant que l’écran d’Ethan devient bleu, est égale à la probabilité de 𝑀 inter 𝐸 sur la probabilité de 𝐸. C’est la probabilité que les deux écrans deviennent bleus divisée par la probabilité que l’écran d’Ethan devienne bleu. Nous savons que le numérateur vaut 0,15 et que le dénominateur vaut 0,45, donc la probabilité de 𝑀 sachant 𝐸 est de 0,15 sur 0,45. Ce qui fait 0,3 récurent.

Si vous n’avez jamais vu cette notation auparavant, le point au-dessus du trois signifie que le trois se répètent à l’infini. Nous avons donc que la probabilité de 𝑀 sachant 𝐸 est de 0,33 récurrent. Et si 𝑀 et 𝐸 sont des événements indépendants, cela doit être égal à la probabilité de 𝑀. Mais la probabilité de 𝑀 est de 0,5, ce qui n’est pas égal à 0,3 récurrent. Donc, l’équation un n’est pas vraie. La probabilité de 𝑀 sachant 𝐸 n’est pas égale à la probabilité de 𝑀.

Alors maintenant, regardons la deuxième équation, la probabilité de 𝐸 sachant 𝑀 est-elle égale à la probabilité de 𝐸 ? La probabilité de 𝐸 sachant 𝑀, selon la formule des probabilités conditionnelles, est égale à la probabilité de 𝐸 inter 𝑀 sur la probabilité de 𝑀. C’est-à-dire que la probabilité que l’écran d’Ethan devienne bleu sachant que l’écran de Mason devient bleu est égale à la probabilité que les deux écrans deviennent bleus sur la probabilité que l’écran de Mason devienne bleu. En utilisant nos valeurs, nous avons 0,15 sur 0,5, puisque la probabilité de 𝑀 inter 𝐸 est égale à la probabilité de 𝐸 inter 𝑀, car l’intersection est commutative. Et 0,15 sur 0,5 donne 0,3. Et cela n’est pas égal à la probabilité que l’écran d’Ethan devienne bleu, qui vaut 0,45. Donc, en fait, la deuxième équation n’est pas vraie non plus. La probabilité de 𝐸 sachant 𝑀 n’est pas égale à la probabilité de 𝐸.

Comme aucune des équations n’est vraie, les deux événements « l’écran de Mason devient bleu » et « l’écran d’Ethan devient bleu » ne sont pas indépendants. Cela signifie que la probabilité que l’écran d’Ethan devienne bleu est impactée par ce qui se passe sur l’écran de Mason et vice versa. Ce qui se passe sur l’un des écrans affecte la probabilité que l’autre écran devienne bleu.

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