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Vidéo de question : Localisation d’un point sur un rectangle compte tenu de la somme des moments de forces par rapport à ce point Mathématiques

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un rectangle tel que 𝐴𝐵 = 6 cm et 𝐵𝐶 = 8 cm. Des forces d’intensités 24, 30, 8 et 30 newtons agissent respectivement selon 𝐵𝐴, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 et 𝐶𝐴. Si le point 𝐸 ∈ 𝐵𝐶, où la somme des moments des forces autour du point 𝐸 est 53 N ⋅ cm dans la direction de 𝐴𝐵𝐶𝐷, alors déterminez la longueur de 𝐵𝐸.

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Transcription de vidéo

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un rectangle tel que 𝐴𝐵 est égal à six centimètres et 𝐵𝐶 est égal à huit centimètres. Des forces d’intensités 24, 30, huit et 30 newtons agissent respectivement selon 𝐵𝐴, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 et 𝐶𝐴. Si le point 𝐸 se situe le long de 𝐵𝐶, où la somme des moments des forces autour du point 𝐸 est 53 newtons centimètres dans la direction de 𝐴𝐵𝐶𝐷, alors déterminez la longueur de 𝐵𝐸.

D’accord, donc dans cette situation, on a ce rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷. Et on nous dit que 𝐴𝐵 est égal à six centimètres et 𝐵𝐶 est huit. Parallèlement à cela, il y a des forces qui agissent le long des quatre côtés de cette figure. Tout d’abord, le long du côté 𝐴𝐵 mais dans le sens de 𝐵 à 𝐴, on nous dit qu’il y a une force de 24 newtons. Ensuite, le long du côté 𝐵𝐶 dans le sens de 𝐵 à 𝐶, il y a une force de 30 newtons. Et puis le long de la ligne de 𝐶 à 𝐷, il y a une force de huit newtons qui agit. On nous dit ensuite que, sur une ligne allant du sommet 𝐶 au sommet 𝐴, on peut le dessiner comme ceci, il y a une autre force de 30 newtons qui agit.

On nous parle ensuite de ce point, le point 𝐸, qui se trouve le long du segment 𝐵𝐶. On ne sait pas encore où se situe le point 𝐸 exactement. Mais juste pour le représenter, disons que c’est ce point rose. L’énoncé du problème nous dit que la somme des moments dus à ces quatre forces autour du point 𝐸 est de 53 newtons centimètres dans la direction de 𝐴𝐵𝐶𝐷. Alors, voici l’idée. Toute force dont la ligne d’action ne passe pas par un axe de rotation donné va créer un moment 𝑀 majuscule autour de cet axe. L’intensité de 𝑀 est égale à la composante de la force 𝐹 qui est perpendiculaire à une distance 𝑑 entre le point d’application de la force et l’axe de rotation.

Tout cela pour dire que lorsqu’on considère les quatre forces agissant sur un rectangle, leur somme crée un moment autour du point 𝐸. On nous a donné la norme de ce moment ainsi que sa direction. La direction de 𝐴𝐵𝐶𝐷 telle qu’on l’a dessinée est dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Et puisque le moment donné dans cette direction est positif, on dit que les moments dans le sens contraire au sens des aiguilles d’une montre sont positifs et ceux dans le sens des aiguilles d’une montre sont négatifs. Avec tout cela en tête, ce qu’on cherche vraiment dans cette question, c’est ce segment ici, la distance entre 𝐵 et le point 𝐸.

Pour commencer à chercher cela, notons le moment total par rapport au point 𝐸, qu’on va appeler 𝑀 indice 𝑡, puis faisons de la place sur l’écran pour commencer à travailler. Sachant qu’il y a quatre forces agissant sur un rectangle, on peut dire que ce moment total est la somme des moments de chacune. En écrivant cela comme une équation, on peut dire que 𝑀 𝑡 est égal à la somme de ces quatre moments où chacun de ceux-ci est créé par une force agissant le long de ce segment donné. On connait déjà 𝑀 𝑡. Et un par un, on peut calculer ces quatre autres moments. En faisant cela, nous allons calculer la longueur du segment de droite 𝐵𝐸.

Donc, en partant de ce moment, 𝑀 𝐵𝐴 est créé par cette force de 24 newtons agissant du sommet 𝐵 au sommet 𝐴. On peut écrire une équation pour la norme de ce moment en utilisant cette expression générale ici. Et notons que, dans ce cas, la force de 24 newtons agit déjà perpendiculairement à la distance entre sa ligne d’action et notre axe de rotation, le point 𝐸. Laissant de côté les unités, on peut écrire 𝑀 𝐵𝐴 comme 24 multiplié par le segment BE.

Et puis considérons le signe de ce moment. On voit bien qu’autour du point 𝐸, cette force a tendance à créer une rotation dans le sens des aiguilles d’une montre. Par notre convention sur les signes, c’est un moment négatif. Ceci est alors notre expression complète pour le moment créé par notre force de 24 newtons autour du point 𝐸. Considérant le moment suivant, 𝑀 𝐵𝐶, il s’agit du moment créé par la force de 30 newtons du sommet 𝐵 au sommet 𝐶. On remarque cependant que la ligne d’action de cette force passe par le point 𝐸. Cela nous indique que notre distance 𝑑 dans cette équation du moment créé par une force est nulle. Autrement dit, il n’y a pas de distance perpendiculaire entre la ligne d’action de cette force et l’axe de rotation. Cela nous dit que 𝑀 𝐵𝐶 est nul.

Passons à autre chose, regardons 𝑀 𝐶𝐷. C’est le moment autour de 𝐸 créé par cette force de huit newtons. Et ici, on a à nouveau une situation où notre force agit perpendiculairement au segment 𝐵𝐶. Alors, la distance par laquelle on veut multiplier la magnitude de cette force est donnée par la longueur de cette ligne orange ici. On peut appeler ce segment EC. Mais il y a une autre façon d’exprimer cette distance. On peut l’appeler 𝐵𝐶, la distance totale du sommet 𝐵 au sommet 𝐶, moins 𝐵𝐸, la longueur qu’on veut calculer. Et puis, en réfléchissant au signe de ce moment, remarquons que cette force de huit newtons a tendance à créer une rotation dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de 𝐸. Par conséquent, ce moment est positif.

Cela nous amène enfin à notre dernier moment. Il s’agit de celui autour du point 𝐸 dû à cette force de 30 newtons agissant sur une droite allant du sommet 𝐶 au sommet 𝐴. La distance entre la ligne d’action de cette force et notre axe de rotation est à nouveau la longueur de cette ligne orange 𝐵𝐶 moins 𝐵𝐸. Mais notons que cette force n’agit plus perpendiculairement à cette droite. Ce qu’on aimerait faire alors, c’est décomposer cette force de 30 newtons en ses composantes, puis utiliser cette composante verticale de cette force dans le calcul. La question est alors de savoir quelle est cette composante verticale.

Eh bien, on sait que ce triangle ici est un triangle rectangle. Et nous savons aussi qu’il est similaire à ce triangle rectangle beaucoup plus grand qui forme la moitié supérieure droite de notre rectangle. Pour ce triangle plus grand, on connait le rapport des longueurs des côtés horizontal et vertical. Ce même rapport est vrai pour notre triangle orange similaire. En termes de côtés correspondants, on peut dire que ce côté de notre triangle orange mesure quatre unités de longueur par rapport à trois unités de longueur pour ce côté.

On dit cela parce que si l’on peut trouver la longueur relative de l’hypoténuse de ce triangle, qui correspond à une force de 30 newtons, alors on peut utiliser ces rapports pour calculer la composante verticale de cette force. Puisqu’il s’agit d’un triangle rectangle et que les deux côtés les plus courts ont des longueurs de trois et quatre, on peut l’identifier comme un triangle trois-quatre-cinq. Voici ce que cela signifie. Si on appelle la composante verticale de notre force de 30 newtons 𝐹 𝑣, alors 𝐹 𝑣 sur trois est égal à trois newtons sur cinq. Ou, en enlevant les unités, 𝐹 𝑣 est égal à trois cinquièmes fois 30. Cela fait 18 en unités de newtons.

Sachant cela, on peut commencer à progresser dans le calcul de 𝑀 CA. Elle est égale à notre composante verticale, 18 newtons, multipliée par cette distance 𝐵𝐶 moins 𝐵𝐸. Parce que cette force a également tendance à créer une rotation dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour du point 𝐸, ce moment est positif. On a maintenant une expression complète pour tous les moments de nos forces. On rappelle que 𝑀 𝑡 est une valeur connue, tandis que 𝐵𝐸, la longueur de ce segment, est ce qu’on veut calculer. Ce qu’on peut faire alors, c’est commencer à collecter des termes qui incluent cette valeur 𝐵𝐸.

En faisant cela, notre expression devient 𝐵𝐸 fois moins 24 moins 18 moins huit plus 𝐵𝐶, longueur inconnue, fois huit plus 18. Cela nous donne moins 50 𝐵𝐸 plus 26 𝐵𝐶. À ce stade, rappelons que cette expression est égale à 𝑀 𝑡, qui, en laissant de côté les unités, vaut 53. En prenant cette expression, si on ajoute 50 𝐵𝐸 des deux membres et on soustrait 53 des deux membres, on voit que 26 𝐵𝐶 moins 53 est égal à 50 𝐵𝐸. Et puis, finalement, en divisant les deux membres par 50, en simplifiant ce facteur à droite, on a une expression pour la longueur qu’on veut trouver, 𝐵𝐸.

Sachant que le segment 𝐵𝐶 est égal à huit centimètres, on a 𝐵𝐸 égal à 26 fois huit moins 53 le tout divisé par 50. En entrant cette expression sur notre calculatrice, elle ressort à 3,1. Ce résultat est une distance et il a des unités de centimètres. C’est alors notre réponse finale que le segment 𝐵𝐸 mesure 3,1 centimètres de long.

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