Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons étudier comment calculer le volume d’un cylindre. Tout d’abord, nous allons examiner le prisme et voir comment calculer son volume. Puis, nous allons expliquer comment un cylindre est un prisme circulaire. Enfin, nous observerons quelques exemples de cylindres et comment calculer leurs volumes.
Avant de parler de cylindres, réfléchissons aux prismes. Un prisme est une figure 3D à section transversale constante. Par exemple, voici un parallélépipède rectangle. J’ai marqué la section transversale avec la couleur orange rayée. Et si nous coupons ce prisme à n’importe quel point, par exemple, à ce point, et que nous observons la partie que nous obtenons, alors nous obtenons exactement la même section transversale. Et voici un autre exemple de prisme, un prisme triangulaire. La section transversale, qui est un triangle, est la même tout au long de la longueur du prisme. Et voici un prisme circulaire. Cette figure de cercle est la même tout au long de la longueur du prisme. En fait, les prismes circulaires ont obtenu le nom spécifique d’un cylindre.
Maintenant, avant d’aborder plus en détail le volume, pensons à un cube de chaque côté d’une unité. L’aire de la section transversale de ce cube serait un fois un, c’est-à-dire une unité carrée. Nous pouvons calculer le volume de ce prisme, de ce parallélépipède rectangle, en calculant l’aire de la section transversale multipliée par la longueur. Dans ce cas, la longueur sera la hauteur de notre cube. Donc, notre volume est égal à un fois un, ce qui vaut un. Et comme il s’agit du volume, les unités seront des unités cubiques.
Donc, si nous prenons notre cube d’une unité cubique et que nous le plaçons sur un autre cube identique, nous obtiendrons deux unités cubiques. Et un troisième équivaut à trois unités cubiques, et un quatrième équivaut à quatre unités cubiques, et ainsi de suite. Mais que se passerait-il si nous commencons avec deux de ces cubes l’un à côté de l’autre ? Ensuite, chaque fois que nous ajoutons une autre couche, nous ajoutons deux autres unités cubiques. Donc, trois couches nous donnent six unités cubiques, et quatre couches font huit unités cubiques. Donc, l’idée générale est de multiplier l’aire de notre section transversale par le nombre de couches, ou la longueur ou, la hauteur de notre prisme.
Maintenant, comme nous l’avons déjà indiqué, un cylindre n’est qu’un prisme avec une section transversale circulaire. Alors, encore une fois, pour calculer le volume, il suffit de calculer l’aire de la section transversale et de la multiplier par la hauteur. Donc, plus la hauteur devient grande, plus le volume sera grand. Pour calculer l’aire d’un cercle, c’est 𝜋 fois le rayon au carré, que vous pouvez l’écrire comme 𝜋𝑟 au carré, où 𝑟 est notre rayon. Puis, supposons que la hauteur de notre cylindre est ℎ, alors puisque le volume est égal à l’aire de la section transversale multipliée par la hauteur, alors nous pouvons écrire que le volume d’un cylindre est égal à 𝜋𝑟 au carré ℎ. Et nous pouvons utiliser ce résultat, cette formule, pour nous aider à répondre aux questions concernant le volume d’un cylindre.
Voyons donc quelques exemples de questions.
Déterminez le volume du cylindre donné, arrondi au dixième près.
Donc, dans ce cylindre, nous avons un rayon 𝑟 de 4,2 pieds et une hauteur ℎ de 6,5 pieds. Nous pouvons utiliser l’approche selon laquelle le volume du cylindre est égal à l’aire de la section transversale multipliée par la hauteur. Et puisque l’aire de la section transversale est un cercle, alors ça sera égal à 𝜋𝑟 au carré, et nous pouvons écrire la hauteur comme ℎ. En remplissant les valeurs du rayon 𝑟 et de la hauteur ℎ, nous avons 𝜋 fois 4,2 au carré fois 6,5. Nous devons faire attention que c’est juste le rayon de 4,2 qui est au carré. Alors, nous obtenons 𝜋 fois 17,64 fois 6,5. En utilisant une calculatrice nous pouvons déterminer cela sous forme de 360,2150137 et ainsi de suite. Et les unités ici seront des pieds cubes car il s’agit d’un volume.
Puisqu’on nous demande d’arrondir notre réponse au dixième près, alors nous vérifions notre deuxième chiffre décimal et voyons s’il est égal ou supérieur à cinq. Puisque ce n’est pas le cas, notre réponse reste 360,2 pieds cubes. Et c’est notre réponse finale pour le volume d'un cylindre.
Dans la question suivante, nous verrons un exemple de détermination du volume d’un cylinder et nous n’avons pas besoin d’utiliser une calculatrice. Et nous pouvons le faire en laissant notre réponse en fonction de 𝜋.
Le volume d’un cylindre est 𝑉 est égal à 𝜋𝑟 au carré ℎ. Déterminez le volume d’un cylindre d’un rayon de quatre centimètres et d’une hauteur de 14 centimètres. Donnez votre réponse en fonction de 𝜋.
Dans cette question, il y a deux choses à noter. Premièrement, nous n’avons pas de figure. Deuxièmement, on nous demande de donner notre réponse en fonction de 𝜋. Donc, on ne va pas simplement taper nos valeurs dans une calculatrice puis les arrondir. Nous n’avons pas besoin de tracer une figure, mais il peut être utile de nous aider à organiser nos réflexions sur une question. Donc, sur notre cylindre, nous avons un rayon 𝑟 de quatre centimètres et une hauteur ℎ de 14 centimètres. Nous pouvons utiliser la formule selon laquelle le volume d’un cylindre est égal à 𝜋 fois le rayon au carré multiplié par la hauteur, en rappelant que 𝜋 fois le rayon au carré est l’aire de la section transversale, c’est-à-dire l’aire d’un cercle, multipliée par la hauteur du cylindre.
Donc, pour notre 𝑉 est égal à 𝜋𝑟 au carré ℎ, nous insérerons les valeurs du rayon et de la hauteur, ce qui nous donne 𝑉 est égal à 𝜋 fois quatre au carré fois 14. Et puisque quatre au carré est égal à 16, nous obtenons 𝑉 est égal à 𝜋 fois 16 fois 14. Puisque 16 fois 14 nous donne 224, nous obtenons alors 𝑉 est égal à 224𝜋. Puisqu’il s’agit d’un volume et que les deux unités ont été données en centimètres, nos unités seront en centimètres cubes. On nous a demandé de laisser notre réponse en fonction de 𝜋. Donc, notre réponse finale est 224𝜋 centimètres cubes.
Nous pouvons souvent trouver d’autres types de problèmes plus difficiles, qui sont écrits sous forme de problèmes écrits. Ici, au lieu de dire explicitement qu’il y a un cylindre et que le rayon et la hauteur sont tels et tels, nous devons déterminer le sens des différentes variables à partir du contexte de la question. Voyons donc un exemple de cela.
Étant donné qu’environ 7,5 gallons d’eau peuvent remplir un pied cube, combien de gallons entiers y aurait-il environ dans ce réservoir d’eau cylindrique s’il était plein ?
Donc, si nous imaginons que notre réservoir est plein d’eau, alors nous trouverons le volume d’eau dans ce réservoir en utilisant la formule selon laquelle le volume d’un cylindre est égal à 𝜋 fois le rayon au carré multiplié par la hauteur. On ne nous donne pas le rayon 𝑟 ici. Mais on nous indique que le diamètre est de 20 pieds. Et puisque le rayon est la moitié du diamètre, alors nous savons que le rayon serait de 10 pieds. Donc, afin de déterminer le volume, nous écrivons notre formule et nous insérons les valeurs. Nous avons donc le volume est égal à 𝜋 fois 10 au carré fois 12. Et il est important de noter que c’est seulement le 10 qui est au carré et pas le 𝜋 ou le 12. Puisque 10 au carré est égal à 100, nous avons alors 𝜋 fois 100 fois 12, ce qui fait 1200𝜋 pieds cubes.
Pour le moment, nous pouvons laisser notre réponse en fonction de 𝜋 pour une précision maximale. Si nous commençons à arrondir au millième près, nous pourrions commettre ces erreurs d’arrondi tout au long du calcul et la réponse finale pourrait être tout à fait incorrecte. Nous avons calculé le volume du réservoir en pieds cubes. Mais la question nous demande combien de gallons entiers d’eau seraient dans le réservoir d’eau cylindrique. Chaque pied cube contient 7,5 gallons d’eau. Donc, s’il y a 1200𝜋 pieds cubes, alors il y aura 7,5 fois autant de gallons d’eau.
Donc, le calcul que nous devons faire est de déterminer le nombre de gallons, alors nous multiplions 1200𝜋 par 7,5. Ensuite, nous pouvons écrire cela sur la calculatrice pour obtenir 28274,3338 et ainsi de suite. Mais nous devrons arrondir cela car dans la question on nous demande le nombre de gallons entiers d’eau, puis vérifier notre premier chiffre décimal pour voir si c’est cinq ou plus. Comme ce n’est pas le cas, notre réponse au gallon entier près est 28274 gallons.
Voyons maintenant une question où nous comparons le volume d’un cylindre avec le volume d’une autre figure.
Lequel a le plus grand volume, un cube dont les arêtes sont de quatre centimètres de long ou un cylindre de rayon de trois centimètres et de hauteur de huit centimètres ?
Donc, ce que nous devons faire ici, c’est calculer le volume du cube et calculer le volume du cylindre, puis comparer les deux volumes. En commençant par notre cube, nous pouvons tracer une figure où nous avons un cube de quatre centimètres, quatre centimètres et quatre centimètres. Et le volume peut être trouvé en calculant quatre fois quatre fois quatre, soit 64. Et puisque nos unités sont en centimètres et que c’est un volume, alors nos unités seront en centimètres cubes. Nous pouvons alors examiner notre cylindre, qui a un rayon de trois centimètres et une hauteur de huit centimètres. Le volume du cylindre peut être déterminé en utilisant la formule qu’il est égal à 𝜋 fois le rayon au carré fois la hauteur.
Donc, en utilisant la formule et en insérant les valeurs du rayon 𝑟 et de la hauteur ℎ, nous obtenons alors que le volume est égal à 𝜋 fois trois au carré fois huit et nous devons faire attention que seul le rayon et 3 qui soient au carré et non pas les autres valeurs. Et puisque trois au carré est neuf, alors nous avons 𝜋 fois neuf fois huit. Et neuf fois huit font 72, donc nous obtenons 𝜋 fois 72. En utilisant notre calculatrice, nous pouvons écrire ceci comme 226,1946 et ainsi de suite. Et les unités seront en centimètres cubes. Et donc, nous avons trouvé les volumes de ces deux figures. Puisqu’ils sont tous les deux dans les mêmes unités, alors nous pouvons facilement comparer nos 64 centimètres cubes pour le volume de notre cube et nos 226,19 et ainsi de suite les centimètres cubes de notre cylindre. Alors, lequel est le plus grand ? Eh bien, notre valeur 226,1946 est nettement plus grand que 64. Et par conséquent, le cylindre a le plus grand volume.
Alors maintenant, résumons ce que nous avons appris dans cette vidéo.
Nous avons appris qu’un cylindre est un type de prisme à section transversale circulaire. Pour calculer le volume d’un prisme, nous trouvons l’aire de la section transversale et la multiplions par la longueur, parfois appelée hauteur, du prisme. Nous pouvons écrire ceci plus précisément sous forme d’une formule, le volume d’un cylindre est égal à 𝜋 fois le rayon au carré fois la hauteur. Et une astuce, lorsque nous répondons à une question, nous devons vérifier si nous avons donné le diamètre ou le rayon du cylindre. Et enfin, lorsque vous répondez à des problèmes écrits, lisez attentivement la question pour trouver les informations pertinentes et vérifier vos unités. De même, envisagez toujours de tracer une figure, car cela peut être très utile pour nous aider à organiser nos réflexions sur la question.