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Vidéo de question : Simplifier le quotient de deux fonctions rationnelles Mathématiques

Simplifiez l’expression 𝑛 (𝑥) = (𝑥² + 7𝑥) / (6𝑥² + 25𝑥 + 4) ÷ (6𝑥² - 𝑥) / (36𝑥² - 1).

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Transcription de vidéo

Simplifier l’expression 𝑛 de 𝑥 est égal à 𝑥 carré plus sept 𝑥 divisé par six 𝑥 carré plus 25𝑥 plus quatre divisé par six 𝑥 carré moins 𝑥 divisé par 36𝑥 carré moins un.

Bien, nous allons donc simplifier cette fonction. En fin de compte, pour simplifier une fonction comme celle-ci, nous devrons simplifier le quotient. Bien. Tout d’abord, nous allons appliquer l’une des règles utiles quand nous travaillons avec des fractions. Comme vous pouvez le voir, nous avons en fait 𝑥 au carré plus sept 𝑥 sur six 𝑥 au carré plus 25𝑥 plus quatre, maintenant multiplié par 36𝑥 au carré moins un sur six 𝑥 au carré moins 𝑥.

En fait, vous pouvez voir que nous avons multiplié par l’inverse, ce qui signifie que le numérateur et le dénominateur ont échangé des places. Très bien ! Maintenant, que faisons-nous ? Comment allons-nous simplifier cette function ? Bien, comme vous pouvez le voir, nous avons beaucoup de fonctions du second degré En effet, il y a beaucoup de 𝑥 au carré. Ainsi, nous allons, comme dans tout type de problème comme celui-ci, factoriser nos numérateurs et factoriser nos dénominateurs.

Bien, nous allons donc commencer par 𝑥 au carré plus sept 𝑥. Regardons 𝑥 au carré plus sept 𝑥, nous avons un facteur commun entre 𝑥 au carré et sept 𝑥 de 𝑥. Ainsi, 𝑥 serait en dehors des parenthèses. A l’intérieur des parenthèses, nous aurions 𝑥 plus sept car 𝑥 multiplié par 𝑥 nous donnera 𝑥 au carré, puis 𝑥 multiplié par plus sept nous donnera sept 𝑥. Nous allons maintenant factoriser le dénominateur. Pour nous rappeler ce que nous devons faire ici, nous pouvons voir que nous avons une expression du second degré, nous savons donc que nous allons obtenir une paire de parenthèses.

Nous devons maintenant déterminer ce qui va entrer dans ces parenthèses comme facteurs. Pour ce polynôme, la démarche est un peu plus compliquée parce que nous avons en fait un coefficient de 𝑥 au carré qui est supérieur à un, en effet, nous avons un coefficient de 𝑥 au carré qui est de six, nous allons donc juste passer par une petite méthode que vous pouvez utiliser pour déterminer quels seraient les facteurs de ce polynôme. Tout d’abord, nous allons multiplier 𝑎 par 𝑐, nous allons donc avoir six fois plus quatre. Maintenant, nous devons trouver quels deux nombres se multiplieront pour nous donner notre valeur de 𝑎𝑐, donc 24, et même plus 24, et qui s’additionnent pour donner notre valeur 𝑏 de 25.

Dans cet exemple, nous savons que les nombres 24 et un fonctionneront parce que 24 fois un nous donne 24 et que 24 plus un nous donne plus 25. Ainsi, nous prenons maintenant le 24 et le un et nous les replaçons dans notre polynôme à la place de 25𝑥 parce que nous séparons le coefficient en 𝑥 en deux parties. Bien, nous sommes maintenant dans une position où nous pouvons en fait commencer à factoriser cette expression : nous avons séparé notre polynôme en deux sections, factorisons donc les deux premiers termes, puis nous factoriserons les deux seconds termes.

Ainsi, lorsque nous factorisons les deux premiers termes, nous pouvons prendre six comme facteur et 𝑥 comme facteur, de sorte qu’ils sortent de la parenthèse. Puis à l’intérieur de la parenthèse, nous avons 𝑥 parce que six 𝑥 multiplié par 𝑥 nous donne six 𝑥 au carré et nous avons plus quatre parce que plus quatre multiplié par six 𝑥 nous donne 24𝑥. Nos deux termes suivants ne nécessitent pas réellement d’autre factorisation dans ce cas. Cela nous donne juste 𝑥 plus quatre. Pour la deuxième partie, nous devons placer un plus un en dehors des parenthèses comme facteur, alors cela nous donnera plus un 𝑥 plus quatre.

Maintenant, enfin, nous pouvons entièrement factoriser ce que nous avons : notre façon de procéder est la suivante, encore une fois, vérifiez que toujours avoir le même facteur entre parentheses ; c’est ainsi que vous savez que vous obtenez cette méthode correcte. Cela signifie que nous savons maintenant que nos deux facteurs seront : dans la première parenthèse, nous prenons le facteur de départ de chacune des factorisations de gauche et de droite que nous avons fait, donc six 𝑥 plus un ; dans la deuxième parenthèse, nous aurons 𝑥 plus quatre. Alors maintenant, nous savons que notre polynôme six 𝑥 au carré plus 25𝑥 plus quatre nous donne les facteurs six 𝑥 plus un et 𝑥 plus quatre.

Bien, nous allons maintenant factoriser le côté droit de notre fonction, nous devons commencer par le numérateur. Ceci est en fait un type particulier de factorisation qui est appelé la différence de deux carrés. Je vais juste démontrer cette factorization maintenant. La différence de deux carrés est une façon de factoriser un type d’expression particulier. Nous avons donc 36𝑥 au carré moins un. Nous pouvons remarquer que les trois parties sont des nombres carrés ou des termes au carré ; 36 est six au carré, 𝑥 au carré est 𝑥 au carré et un est un au carré. Vous pouvez donc voir que chaque partie de ce terme est en fait un carré.

L’autre point clé pour pouvoir utiliser la différence de deux carrés est le fait qu’il y a un signe moins. Ainsi, vous avez 36𝑥 au carré, donc notre terme 𝑥 au carré moins notre nombre carré. Cela est la forme souhaitée quand nous voulons utiliser la différence de deux carrés. Bien, pour factoriser la différence de deux carrés, nous allons avoir une paire de parenthèses. Le premier terme de chacune des parenthèses va donner la racine de notre terme en 𝑥 au carré, donc la racine de 36𝑥 au carré. Dans ce cas, cela va nous donner six 𝑥 en premier, puis, le dernier terme de chaque parenthèse va être la racine de un, ce qui nous donne un.

Maintenant, l’autre chose dont nous devons nous rappeler lorsque nous faisons la différence de deux carrés est que chaque parenthèse doit avoir un signe différent, donc une sera positive, une sera négative. La raison en est que lorsque nous multiplions les parenthèses, nous aurons 36𝑥 au carré et moins six 𝑥 plus six 𝑥 afin qu’ils s’annulent et nous laissent avec le 36𝑥 carré moins un. Aussi, en multipliant un positif et un négatif, nous obtiendrons le négatif dont nous avons besoin.

Bien, cela signifie que nous avons maintenant factorisé le numérateur. Maintenant, la dernière chose à faire est de factoriser le dénominateur de ce côté. Pour ce faire, nous avons 𝑥 en facteur commun des deux termes, nous plaçons donc 𝑥 en dehors des parenthèses, ce qui nous donne 𝑥 parenthèses six 𝑥 moins un. En effet, 𝑥 fois six 𝑥 nous donne six 𝑥 au carré et 𝑥 fois moins un nous donne moins 𝑥. Très bien. D’accord. A présent, je peux multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux grâce au signe multiplicative entre les fractions, ce qui nous donne la fonction sous cette forme.

Maintenant, une astuce en or, chaque fois que vous essayez de simplifier une fonction comme celle-ci et que vous avez factorisé le numérateur et le dénominateur, vous aurez toujours des facteurs en haut identiques aux facteurs en bas. Nous allons donc avoir des facteurs du numérateur identiques à ceux du dénominateur. Si ce n’est pas le cas, veuillez vérifier vos réponses et votre factorisation car sans cela, nous ne pourrions pas simplifier.

Pour la dernière étape, pour simplifier la fonction, nous devons regarder nos facteurs communs et diviser le numérateur et le dénominateur par ces facteurs communs. Ainsi, la première chose que nous allons faire est de diviser le numérateur et le dénominateur par 𝑥 car il s’agit d’un facteur commun. Nous pouvons alors ensuite notre numérateur et notre dénominateur par six 𝑥 plus un puisqu’il s’agit aussi d’un facteur commun. Enfin, notre dernier facteur commun est six 𝑥 moins un afin que nous puissions diviser le numérateur et le dénominateur par six 𝑥 moins un, ce qui nous laisse avec la fonction égale 𝑥 plus sept divisé par 𝑥 plus quatre.

Maintenant, est-ce la réponse finale ? Est-ce complètement simplifié ? Bien, vérifiez que nous ne pouvons plus factoriser ni le numérateur ni le dénominateur. Si nous ne pouvons pas, alors oui, voici notre dernière réponse simplifiée. Bien, récapitulons ce que nous avons fait pour simplifier la fonction. Tout d’abord, puisqu’il y avait une fraction de fractions, nous devions trouver l’inverse de la deuxième fraction puis la multiplier. La étape suivante est de vérifier les polynômes ou les termes qui peuvent être factorisés, puis nous factorisons tout ce qui peut être factorisé dans les numérateurs et les dénominateurs.

Nous multiplions ensuite les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux comme nous le ferions avec n’importe quelle fraction, puis enfin, notre astuce, vérifier nos facteurs communs. Une fois que nous avons nos facteurs communs, nous divisons le numérateur et le dénominateur par ces derniers pour nous laisser avec notre fonction simplifiée, en nous rappelant de vérifier qu’elle est simplifiée autant que possible et que ni le numérateur ni le dénominateur ne peuvent être simplifiés ou factorisés advantage.

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