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Vidéo de question : Résoudre une équation trigonométrique impliquant des angles spéciaux Mathématiques

Déterminez l’ensemble des valeurs satisfaisant sin 𝑥 = −√ (2) / 2, où 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’ensemble des valeurs satisfaisant sinus 𝑥 égal à moins racine de deux sur deux, où zéro est inférieur ou égal à 𝑥 et strictement inférieur à deux 𝜋.

L’intervalle que nous avons reçu dans ce format, zéro est inférieur ou égal à 𝑥 est strictement inférieur à deux 𝜋, nous dit que nous devons donner nos réponses en radians plutôt qu’en degrés. Aussi, nous utilisons souvent notre calculatrice pour calculer le sinus des angles. Seulement, il y a certains angles dont nous devrions nous souvenir du sinus ou du cosinus ou de la tangente simplement de mémoire.

Considérons ce triangle rectangle avec deux côtés de longueur égale à une unité, nous appellerons cet angle 𝑥. Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur de l’hypoténuse ; elle vaut la racine carrée de un au carré plus un au carré, cela donne donc la racine carrée de deux.

Maintenant, si nous voulons déterminer le sinus de cet angle, ce côté est le côté opposé, celui-ci est le côté adjacent et voici l’hypoténuse. Puis, le sinus d’un angle vaut le côté opposé divisé par l’hypoténuse.

Ainsi, cela donne un sur la racine de deux, mais j’obtiens un nombre irrationnel dans le dénominateur. Si je multiplie donc par racine de deux sur racine de deux, ce qui, après tout, ne donne que un - je ne change pas la valeur de ce nombre ; je suis juste en train de changer le format dans lequel nous le présentons - je finirai avec un fois racine de deux en haut, ce qui vaut racine de deux et racine de deux fois racine de deux en bas, ce qui est juste deux. Ainsi, le sinus de cet angle particulier ici vaut racine de deux sur deux.

Maintenant, nous utilisons le fait que ce triangle soit un triangle isocèle. Ces deux côtés de longueur un, l’angle 𝑥 va donc être de 45 degrés ou de 𝜋 sur quatre radians. Bien, cela pourrait être très intéressant, mais ce n’est pas l’angle que nous recherchons. Nous recherchons un angle qui a un sinus de moins racine de deux sur deux, pas de plus racine de deux sur deux.

Considérons les angles sur le cercle trigonométrique. L’intervalle qui nous a été donné pour nos réponses était de zéro à deux 𝜋, il s’agit donc d’un tour complet dans le cercle trigonométrique.

Maintenant, si nous plaçons l’angle 𝜋 sur quatre sur notre cercle trigonométrique, qui était l’angle qui correspondait à un sinus de racine de deux sur deux, alors nous créons ici ce petit triangle qui a une hypoténuse de longueur un, puisque nous travaillons sur le cercle trigonométrique, et la hauteur de ce triangle est le sinus de l’angle 𝑥.

Rappelez-vous que 𝑥 vaut 𝜋 sur quatre radians, le sinus de 𝜋 sur quatre radians vaut donc racine de deux sur deux. Maintenant, si je réalise une symétrie de ce triangle par rapport à l’axe des 𝑦, le triangle obtenu va de nouveau avoir une hypoténuse de un et une hauteur de racine de deux sur deux. Cependant, l’angle auquel cela correspond n’est pas seulement 𝑥 ; il englobe tout ceci. Cela vaut trois 𝜋 sur quatre.

Nous disons donc que le sinus de trois 𝜋 sur quatre est égal à la racine de deux sur deux. Bien, cela pourrait être à nouveau très intéressant, mais nous avons une nouvelle fois échoué à répondre à notre question parce que nous recherchons des angles qui ont un sinus de moins racine de deux sur deux, pas de racine de deux sur deux.

Seulement, regardez, si je prends ce deuxième triangle et que je réalise une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥 ; puisque la hauteur est maintenant en dessous de l’axe des 𝑥, elle est devenue négative. Ainsi, cette hauteur est de moins racine de deux sur deux.

Voyons donc à quel angle cela correspond. Il s’agit de l’angle qui va au-delà du 𝑥 original, au-delà de celui que nous venions d’examiner et jusqu’à ici. Cela donne un angle de cinq 𝜋 sur quatre.

En effet, nous avons 𝜋, qui est quatre 𝜋 sur quatre, plus un 𝜋 sur quatre supplémentaire. Voilà donc la première de nos solutions. Maintenant, si nous réalisons à nouveau une symétrie par rapport à l’axe des 𝑦, le triangle obtenu aura également une hauteur de moins racine de deux sur deux parce qu’il est en dessous de l’axe des 𝑥. Cela correspond à un angle qui va jusqu’à ici, soit sept 𝜋 sur quatre.

Voici notre deuxième réponse. Ainsi, dans un tour complet de 𝑥 entre zero inclus et jusqu’à deux 𝜋 exclu, nous avons trouvé deux solutions qui nous donnent une valeur de sinus de moins racine de deux sur deux.

En mettant cela en notation ensembliste comme la question le demande, nous avons deux solutions. L’ensemble des solutions est : la première est cinq 𝜋 sur quatre et la seconde est sept 𝜋 sur quatre.

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