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Vidéo de question : Résoudre un système à l’aide de matrices Mathématiques

Utilisez les matrices pour résoudre le système d’équations 3𝑥 - 24 = −8𝑦, 𝑥 = 3 - 𝑦.

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Transcription de vidéo

Utilisez les matrices pour résoudre le système d’équations trois 𝑥 moins 24 est égal à moins huit 𝑦 et 𝑥 est égal à trois moins 𝑦.

Rappelez-vous, étant donné un système d’équations linéaires de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 est égal à 𝑐 et 𝑑𝑥 plus 𝑒𝑦 est égal à 𝑓, en raison de la façon dont nous multiplions une matrice carrée avec une matrice colonne, nous pouvons écrire ce système de manière équivalente sous la forme 𝑎, 𝑏, 𝑑, 𝑒 fois la matrice de colonne 𝑥, 𝑦 égale la matrice 𝑐, 𝑓. Puis, si nous écrivons alternativement cela comme le produit des matrices 𝐴 et grand 𝑋 est égal à la matrice 𝐵, alors nous savons que si l’inverse de la matrice deux par deux 𝐴 existe, nous pouvons multiplier les deux côtés de notre équation matricielle par l’inverse de 𝐴. Ainsi, nous constatons que 𝑋 est égal à l’inverse de 𝐴 fois 𝐵.

Nous allons donc résoudre notre système d’équations linéaires en l’écrivant d’abord sous forme matricielle. Ensuite, nous allons trouver l’inverse de la matrice deux deux qui apparaît et la multiplier par la matrice sur le côté droit. Maintenant, nous aurions peut-être aussi remarqué que notre système d’équations linéaires n’est pas sous la forme correcte. Nous devons isoler les termes 𝑥 et 𝑦 d’un côté de chaque équation et la constante de l’autre. Pour notre première équation, nous y parvenons en ajoutant huit 𝑦 des deux côtés, puis en ajoutant 24 des deux côtés. De même, pour notre deuxième équation, nous allons simplement ajouter 𝑦 des deux côtés. Nous avons donc le système d’équations linéaires sous la forme dont nous avons besoin.

Pour trouver notre matrice deux deux, nous prenons simplement les coefficients de 𝑥 et 𝑦 dans chaque équation. Nous avons trois et huit dans notre première équation et un et un dans notre seconde. La matrice deux deux donne donc trois, huit, un, un. Nous multiplions ensuite cela par la matrice colonne 𝑥, 𝑦. Cette expression sera égale à la matrice colonne constante avec les éléments 24, trois. Rappelez-vous, ce sont les constantes dans chacune de nos équations linéaires quand elles sont sous la forme correcte. Ainsi, 𝐴, dans ce cas, est la matrice deux deux : trois, huit, un, un. Grand 𝑋 est la matrice colonne 𝑥, 𝑦. 𝐵 est la matrice colonne 24, trois. Nous avons dit que pour résoudre une équation matricielle sous cette forme, nous commençons par trouver l’inverse de la matrice 𝐴, si elle existe.

Si nous revenons à la forme générale d’une matrice 𝐴 : 𝑎, 𝑏, 𝑑, 𝑒, l’inverse vaut un sur le déterminant de 𝐴 fois la matrice deux deux dont les éléments sont 𝑒, moins 𝑏, moins 𝑑, 𝑎. Essentiellement, nous échangeons les éléments en haut à gauche et en bas à droite et changeons le signe des deux autres. Le déterminant de 𝐴 est simplement le produit des éléments en haut à gauche et en bas à droite moins le produit des éléments en haut à droite et en bas à gauche. Bien sûr, si le déterminant est égal à zéro, l’inverse n’existe pas. Il est donc toujours logique de commencer par calculer le déterminant.

Le déterminant de notre matrice 𝐴 est trois fois un moins huit fois un, ce qui donne moins cinq. Ce déterminant n’est pas égal à zéro, nous pouvons donc en déduire que l’inverse de 𝐴 doit bien exister. Ainsi, nous avons un sur le déterminant de 𝐴, un sur moins cinq, puis nous multiplions cela par la matrice avec les éléments un, moins huit, moins un, trois. Rappelez-vous, nous échangeons les éléments en haut à gauche et en bas à droite et changeons le signe des deux autres. Maintenant, à ce stade, nous pourrions distribuer moins un cinquième sur cette matrice. Seulement, cela entraînera une matrice lourde pleine de fractions, ce qui rendra la prochaine étape un peu plus compliquée. Nous allons donc le faire à la fin.

Pour trouver la matrice 𝑥, 𝑦, nous allons multiplier l’inverse de 𝐴 par la matrice constante 𝐵. Soit la matrice avec les éléments 24, trois. Pour multiplier cette paire de matrices, nous calculons le produit scalaire des éléments dans la première ligne de notre première matrice et dans la colonne de notre matrice ici. Cela donne un fois 24 plus moins huit fois trois, ce qui donne zéro. Nous répétons ce processus avec les éléments de la deuxième ligne de notre première matrice et les éléments de notre colonne. Cela donne moins un fois 24 plus trois fois trois, ce qui est moins 15.

Ainsi, la matrice 𝑥, 𝑦 est égale à moins un cinquième de la matrice avec les éléments zéro, moins 15. Il ne reste plus qu’à distribuer moins un cinquième sur cette matrice. Moins un cinquième fois zéro donne zéro et moins un cinquième fois moins 15 égale trois. Nous pourrions séparer cela et écrire que la solution est 𝑥 est égal à zéro et 𝑦 est égal à trois ou écrire cela sous forme matricielle comme 𝑥, 𝑦 est égal à zéro, trois.

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