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Vidéo de question : Déterminer l’angle entre deux vecteurs donnés connaissant leurs normes et leur produit scalaire Mathématiques

Sachant que ||𝐀|| = 17, ||𝐁|| = 12 et 𝐀 · 𝐁 = 102, déterminez la mesure de l’angle entre les deux vecteurs.

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Transcription de vidéo

Sachant que la norme du vecteur 𝐀 est égale à 17, que la norme du vecteur 𝐁 est égale à 12 et que le produit scalaire des vecteurs 𝐀 et 𝐁 est égal à 102, déterminez la mesure de l’angle entre les deux vecteurs.

Cette question nous donne quelques informations sur deux vecteurs. On nous dit que la norme du vecteur 𝐀 est de 17, que la norme du vecteur 𝐁 est de 12 et que le produit scalaire de ces deux vecteurs est égal à 102. Et nous devons utiliser ces informations pour calculer la mesure de l’angle entre ces deux vecteurs.

La première chose à remarquer est ce point entre les vecteurs. Il s’agit de la notation standard du produit scalaire. Le résultat du produit scalaire de deux vecteurs est toujours une quantité scalaire. Et il existe plusieurs formules permettant de le calculer. Donc, pour répondre à cette question, commençons par rappeler comment calculer l’angle entre deux vecteurs. On rappelle que si 𝜃 est l’angle entre deux vecteurs 𝐮 et 𝐯, alors le produit scalaire entre les vecteurs 𝐮 et 𝐯 est égal à la norme de 𝐮 fois la norme de 𝐯 fois le cosinus de l’angle 𝜃.

Et quelques points méritent d’être soulignés au sujet de cette définition. Tout d’abord, lorsque l’on parle de l’angle entre deux vecteurs, on fait référence à l’angle de mesure comprise entre zéro et 180 degrés. Ensuite, on suppose que 𝐮 et 𝐯 sont de même dimension afin que leur produit scalaire soit défini. Et enfin, comme l’ensemble image de la réciproque de la fonction cosinus va de zéro à 180 degrés, on peut l’utiliser pour trouver la mesure de l’angle 𝜃. Il nous suffit donc de réarranger cette formule pour trouver une expression de 𝜃.

En définissant 𝜃 comme l’angle entre les vecteurs 𝐀 et 𝐁, le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 est donc égal à la norme de 𝐀 fois la norme de 𝐁 fois le cosinus de 𝜃. Nous savons que la norme de 𝐀 est égale à 17, que la norme de 𝐁 est égale à 12 et que le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 est égal à 102. On peut donc substituer ces valeurs dans notre expression et on obtient 102 égale 17 fois 12 fois cosinus 𝜃.

Et nous pouvons commencer à simplifier cette expression. Tout d’abord, 17 fois 12 égale 204. On peut ensuite diviser les deux membres de l’équation par 204 pour obtenir 102 sur 204 égale cosinus 𝜃. Et on remarque que le numérateur 102 et le dénominateur 204 ont pour diviseur commun 102. On peut donc le supprimer et on obtient la fraction un demi. Enfin, on peut calculer la mesure de 𝜃 en appliquant la réciproque du cosinus aux deux membres de cette équation. Et on trouve que 𝜃 égale cosinus moins un de un demi. Comme nous savons que le cosinus de 60 degrés est égal à un demi, nous pouvons conclure que cosinus moins un de un demi est égal à 60 degrés.

Nous avons ainsi montré que si la norme du vecteur 𝐀 est 17, la norme du vecteur 𝐁 est 12 et le produit scalaire des vecteurs 𝐀 et 𝐁 est 102, alors la mesure de l’angle entre ces deux vecteurs doit être de 60 degrés.

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