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Un élève remplace correctement les valeurs dans une formule du second degré comme suit : 𝑥 est égal à cinq plus ou moins la racine carrée de 25 moins 80 le tout sur huit. Quelle est l’équation du second degré qu’il essaie de résoudre ?
Dans ce problème, on nous a dit qu’un élève a utilisé une formule du second degré pour tenter de résoudre une équation du second degré. On nous donne la solution pendant le raisonnement. Et on nous dit aussi que le calcul est correct. Maintenant, la raison pour laquelle la question posée pour l’équation que l’élève essayait de résoudre est parce que si nous regardons de près, nous pouvons voir que la valeur sous la racine carrée sera négative. C’est 25 moins 80, ce qui est égal à moins 55. L’élève essaie de trouver la racine carrée d’une valeur négative, ce que nous ne pouvons pas faire en nombres réels comme nous savons. Cela ne signifie pas que le calcul est faux. Cela signifie simplement qu’il n’y a pas des solutions réelles à cette équation.
Afin de déterminer l’équation du second degré qu’il essayait de résoudre, nous allons travailler à l’envers. Rappelons la formule du second degré. Cela nous indique que les racines de l’équation générale du second degré 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égale à zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes réelles et 𝑎 est différent de zéro, sont données par 𝑥 égal à moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 le tout sur deux 𝑎. Nous devons donc déterminer quelles sont les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 pour cette équation du second degré, car cela nous donnera les coefficients de 𝑥 au carré, 𝑥 et le terme constant. Nous pouvons le faire en comparant les différentes parties de la solution de l’élève avec les parties correspondantes de la formule générale du second degré.
Comparons tout d’abord les dénominateurs des deux fractions. Dans la formule générale du second degré, nous avons deux 𝑎, alors que dans la solution de l’élève, nous avons huit. Donc, cela donne l’équation deux 𝑎 est égal à huit. Nous pouvons résoudre cette équation en divisant les deux membres par deux, et cela donne 𝑎 est égal à quatre. Nous avons donc trouvé la valeur de l’une des trois inconnues 𝑎, 𝑏 et 𝑐.
Ensuite, regardons le premier terme du numérateur. Dans la formule générale du second degré, cela est donné par moins 𝑏. Et dans la solution de l’élève, cela est donné par cinq. En mettant en équation ces valeurs, nous avons l’équation moins 𝑏 égale cinq. Nous pouvons résoudre cette équation en multipliant ou en divisant les deux membres par moins un. Et cela donne 𝑏 est égal à moins cinq. Nous avons donc trouvé deux des inconnues. Et en fait, si nous regardons la racine carrée, nous pouvons voir que le premier terme sous la racine carrée est 𝑏 au carré. Et cela est égal à 25 dans la solution de l’élève. Si nous prenons notre valeur de moins cinq pour 𝑏 et l’élevons au carré, nous obtenons effectivement 25. Donc, cela confirme que notre valeur de 𝑏 est correcte.
Comparons maintenant l’autre partie sous la racine carrée. Nous avons 𝑏 au carré, puis la partie suivante est le signe négatif de quatre 𝑎𝑐 ou moins quatre 𝑎𝑐. Dans la solution de l’élève, cela est égal à moins 80. Nous avons donc l’équation moins quatre 𝑎𝑐 égale moins 80. Et en fait, nous pouvons multiplier les deux membres de cette équation par moins un pour simplifier. Donc, nous avons simplement quatre 𝑎𝑐 égale 80. Rappelez-vous, nous avons déjà calculé la valeur de 𝑎. 𝑎 est égal à quatre. Donc, en substituant 𝑎 est égal à quatre, sur le membre gauche, nous avons quatre multiplié par quatre multiplié par 𝑐, soit 16𝑐. Donc, notre équation devient 16𝑐 est égale à 80.
Pour résoudre, nous divisons les deux membres de l’équation par 16, ce qui donne 𝑐 est égal à 80 sur 16, ce qui se simplifie à cinq. Nous avons donc trouvé les valeurs des constantes 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Tout ce qui reste à faire est de les remplacer dans la forme générale d’une équation du second degré. Rappelez-vous, 𝑎 représente le coefficient de 𝑥 au carré, 𝑏 représente le coefficient de 𝑥 et 𝑐 représente le terme constant. Nous avons donc l’équation quatre 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 plus cinq est égal à zéro. Et c’est l’équation du second degré que l’élève essayait de résoudre en appliquant la formule du second degré.
