Vidéo : Asymptotes horizontales et verticales d'une fonction

Dans cette vidéo, nous apprendrons à déterminer les asymptotes horizontales et verticales d’une fonction.

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Asymptotes horizontales et verticales d’une fonction

Dans cette vidéo, nous apprendrons à déterminer les asymptotes horizontales et verticales d’une fonction. Et nous examinerons une variété d’exemples de la façon dont nous pouvons le faire. Commençons par rappeler la définition d’une asymptote.

Une asymptote est une droite dont une courbe s’approche et se rapproche arbitrairement mais ne la touche pas. Par exemple, si nous considérons la courbe de 𝑦 est égal à un sur 𝑥. On peut voir qu’elle a une asymptote horizontale à 𝑦 égale à zéro et une asymptote verticale à 𝑥 égale à zéro.

Voyons maintenant une définition plus rigoureuse d’une asymptote verticale et horizontale. Nous pouvons définir une asymptote verticale comme suit. Si, lorsque 𝑥 s’approche d’une constante 𝑐, 𝑓 de 𝑥 s’approche de plus ou moins ∞, alors 𝑥 est égal à 𝑐 est une asymptote verticale. Une autre façon de penser à une asymptote verticale est toute entrée qui n’a pas de sortie définie.

Nous pouvons définir une asymptote horizontale par ce qui suit. Si, lorsque 𝑥 s’approche de plus ou moins ∞, 𝑓 de 𝑥 s’approche d’une constante 𝑐, alors 𝑦 est égal à 𝑐 est une asymptote horizontale. Une autre façon dont nous pouvons penser aux asymptotes horizontales est toute sortie qui ne peut être atteinte à partir d’aucune entrée dans l’ensemble de définition des fonctions.

Cependant, nous devons être prudents en utilisant ce raisonnement car ce n’est pas toujours le cas. Parfois, la sortie peut être atteinte par une entrée dans l’ensemble de définition des fonctions. Et pourtant, il peut encore y avoir une asymptote à ce stade. Lorsque vous déterminez des asymptotes horizontales, il est souvent plus facile de considérer ce qui se passe lorsque 𝑥 s’approche de plus ou moins ∞.

Lorsque nous définissons et déterminons des asymptotes verticales et horizontales, nous parlons beaucoup d’entrées et de sorties. Et pour cette raison, ils se relient assez fortement à l’ensemble de définition et à l’ensemble image d’une fonction. Si nous connaissons l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction, il est souvent plus facile de déterminer les asymptotes horizontales et verticales. Et de même, si nous connaissons les asymptotes horizontales et verticales, il est souvent plus facile de déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image de cette fonction. Passons maintenant à un exemple de la façon dont nous pouvons déterminer des asymptotes verticales et horizontales.

Déterminer les asymptotes verticales et horizontales de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à moins un plus trois sur 𝑥 moins quatre sur 𝑥 au carré.

On peut commencer par déterminer l’asymptote verticale de cette fonction. Maintenant, nous pouvons déterminer l’asymptote verticale en déterminant n’importe quelle entrée qui n’a pas de sortie définie. Lorsque nous regardons notre fonction 𝑓 de 𝑥, nous remarquons qu’elle a deux termes rationnels. Et ce sont trois sur 𝑥 et moins quatre sur 𝑥 au carré.

Or, un terme rationnel n’est pas défini lorsque son dénominateur est nul. Donc, pour trois sur 𝑥, c’est quand 𝑥 est égal à zéro. Et pour moins quatre sur 𝑥 au carré, c’est quand 𝑥 au carré est égal à zéro. Et lorsque 𝑥 au carré est égal à zéro, cela signifie bien sûr que 𝑥 est également égal à zéro. Puisque ces deux termes apparaissent dans 𝑓 de 𝑥, lorsque l’un de ces termes n’est pas défini, 𝑓 de 𝑥 est également indéfinie.

Et donc, donc, nous pouvons dire que lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑓 de 𝑥 n’a pas de sortie définie. Par conséquent, nous avons déterminé l’asymptote verticale de 𝑓 de 𝑥. Et c’est que 𝑥 est égal à zéro. Afin de déterminer des asymptotes horizontales, nous devons déterminer toute valeur qui n’apparaît pas dans l’ensemble image de leur fonction. Et pour ce faire, nous pouvons considérer ce qui se passe lorsque 𝑥 approche ∞.

Eh bien, nous pouvons regarder les termes 𝑥 en 𝑓 de 𝑥. Nous avons trois sur 𝑥 et moins quatre sur 𝑥 au carré. À mesure que 𝑥 approche ∞, nous constatons que le dénominateur de ces deux termes rationnels augmentera de plus en plus. Et donc ces deux termes rationnels approcheront de zéro. Cependant, aucun de ces termes n’atteindra jamais zéro. Ils se rapprocheront arbitrairement de zéro.

Par conséquent, lorsque nous regardons 𝑓 de 𝑥 et que ces deux termes rationnels approchent de zéro, nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 approchera de moins un. Et nous pouvons dire que 𝑓 de 𝑥 se rapprochera arbitrairement de moins un sans atteindre moins un. Par conséquent, nous aurons une asymptote horizontale à 𝑦 égale à moins un.

Nous avons déterminé ici les asymptotes verticales et horizontales de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Elles sont à 𝑥 est égal à zéro et 𝑦 est égal à moins un. Et c’est la solution à la question. Cependant, cette question est un bon exemple de la raison pour laquelle nous devons être prudents en utilisant ce raisonnement pour déterminer des asymptotes horizontales. Étant donné que parfois la valeur peut apparaître dans l’ensemble image de la fonction. Pourtant, il peut encore y avoir une asymptote horizontale à ce stade.

Nous pouvons le voir en définissant 𝑓 de 𝑥 égal à moins un. Nous avons moins un est égal à moins un plus trois sur 𝑥 moins quatre sur 𝑥 au carré. Nous pouvons ajouter un des deux côtés de l’équation pour obtenir un zéro égal à trois sur 𝑥 moins quatre sur 𝑥 au carré.

Dans notre prochaine étape, nous ajoutons quatre sur 𝑥 au carré des deux côtés. Ensuite, nous multiplions les deux côtés de l’équation par 𝑥 au carré. Ensuite, nous divisons les deux côtés de l’équation par trois pour obtenir 𝑥 est égal à quatre sur trois. Donc, cela nous dit que lorsque 𝑥 est égal à quatre sur trois, 𝑓 de 𝑥 est égal à moins un. Par conséquent, moins un est de l’ordre de 𝑓 de 𝑥.

Cependant, il existe toujours une asymptote à 𝑦 égale à moins un. Nous pouvons voir pourquoi c’est le cas en considérant le graphe de 𝑓 de 𝑥. En utilisant une calculatrice graphique ou un logiciel graphique, nous pouvons voir que la courbe de 𝑓 de 𝑥 ressemblerait à ceci. Nous pouvons voir que les asymptotes en 𝑥 sont égales à zéro et 𝑦 est égal à moins un. Et nous pouvons voir où la droite de 𝑓 de 𝑥 croise l’asymptote en 𝑦 est égal à moins un et 𝑥 est égal à quatre sur trois. Ensuite, nous pouvons voir comment 𝑓 de 𝑥 continue de montrer un comportement asymptotique vers la droite 𝑦 est égal à moins un.

Puisque si nous regardons à droite de 𝑥 est égal à quatre sur trois, nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 se rapproche arbitrairement de 𝑦 est égal à moins un sans toucher réellement cette droite. Et c’est pourquoi nous devons être prudents en utilisant ce raisonnement lors de la recherche des asymptotes horizontales. Dans l’exemple suivant, nous verrons comment déterminer l’asymptote d’une hyperbole. Une hyperbole est un type de fonction rationnelle avec deux asymptotes.

Quelles sont les asymptotes de l’hyperbole 𝑦 est égal à huit sur quatre 𝑥 moins trois plus cinq sur trois?

On peut commencer par déterminer l’asymptote verticale de cette hyperbole. Nous utiliserons le fait qu’une asymptote verticale peut être décrite comme n’importe quelle entrée sans sortie définie. En regardant l’équation de notre hyperbole, nous voyons que nous avons un terme rationnel, qui est huit sur quatre 𝑥 moins trois.

Nous savons maintenant que tout terme rationnel n’est pas défini lorsque le dénominateur est nul. C’est donc lorsque quatre 𝑥 moins trois est égal à zéro. Nous pouvons réorganiser ceci pour déterminer 𝑥. Cela nous donne que 𝑥 est égal à trois sur quatre. Nous avons maintenant que lorsque 𝑥 est égal à trois sur quatre, ce terme rationnel de huit sur quatre 𝑥 moins trois n’est pas défini.

Par conséquent, lorsque nous entrons 𝑥 est égal à trois sur quatre dans l’équation de notre hyperbole, nous aurons une sortie non définie. Par conséquent, notre hyperbole aura une asymptote verticale à 𝑥 égale à trois sur quatre.

Nous pouvons maintenant passer à la recherche de l’asymptote horizontale. Les asymptotes horizontales sont des valeurs qui ne sont pas dans l’ensemble image de la fonction. Pour déterminer de telles valeurs, nous pouvons considérer ce qui se passe lorsque 𝑥 s’approche de plus ou moins ∞.

Maintenant, le seul 𝑥 terme dans notre équation -dépendante est de huit sur quatre 𝑥 moins trois. Maintenant que 𝑥 s’approche de plus ou moins ∞, ce terme rationnel se rapproche de zéro. Et il devient en fait arbitrairement proche de zéro. Par conséquent, si nous regardons en arrière l’équation de l’hyperbole, nous pouvons voir que 𝑦 se rapprochera arbitrairement de cinq sur trois lorsque 𝑥 s’approche de plus ou moins ∞. Puisque le terme rationnel dans l’équation approchera de zéro. Par conséquent, notre hyperbole a une asymptote horizontale à 𝑦 égale à cinq sur trois. Et maintenant, nous avons déterminé les asymptotes de notre hyperbole, ce qui complète la solution à cette question.

Avant de passer à notre exemple suivant, notons rapidement qu’il est en fait possible qu’une fonction ait plus d’une asymptote horizontale ou verticale. Par exemple, considérons que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à un sur 𝑥 au carré moins quatre. Nous pouvons factoriser le dénominateur de cette fonction pour obtenir un sur 𝑥 moins deux multiplié par 𝑥 plus deux.

Nous pouvons maintenant identifier les asymptotes verticales comme n’importe quelle entrée sans sortie définie. Puisque 𝑓 de 𝑥 est une fonction rationnelle, cela se produit lorsque le dénominateur est égal à zéro. Ainsi, lorsque 𝑥 moins deux multiplié par 𝑥 plus deux est égal à zéro. Cela nous donne deux solutions et, par conséquent, deux asymptotes. Et ceci est à 𝑥 est égal à deux et 𝑥 est égal à moins deux.

En utilisant ces asymptotes, nous pourrions essayer d’esquisser la courbe de 𝑓 de 𝑥. Cependant, nous devons d’abord considérer ce qui arrive à 𝑓 de 𝑥 autour des valeurs de 𝑥 est égal à deux et 𝑥 est égal à moins deux. Nous devons considérer quand 𝑥 est inférieur à moins deux, lorsque 𝑥 est compris entre deux et moins deux, et lorsque 𝑥 est supérieur à deux.

Lorsque 𝑥 est inférieur à moins deux et supérieur à deux, 𝑥 carré moins quatre est supérieur à zéro. Par conséquent, 𝑓 de 𝑥 doit être positif. Et lorsque 𝑥 est compris entre deux et moins deux, 𝑥 au carré moins quatre est inférieur à zéro. Par conséquent, 𝑓 de 𝑥 est négatif. En utilisant ces informations, nous pouvons esquisser un graphique de 𝑓 de 𝑥, quelque chose comme ça. Et comme nous pouvons le voir, il a deux asymptotes verticales. Déterminer ces asymptotes nous a vraiment aidés à esquisser ce graphique. Nous pouvons donc voir à quel point les asymptotes peuvent être utiles pour dessiner des graphiques.

Il y a maintenant certains cas où nous devons être très prudents lorsque nous essayons de déterminer des asymptotes. Et ce sont les cas où notre fonction a un facteur qui peut être annulé. Prenons l’exemple suivant.

Déterminez les asymptotes de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 plus deux sur 𝑥 au carré moins quatre.

Nous commencerions normalement par chercher les asymptotes verticales de cette fonction. Cependant, si nous examinons attentivement notre fonction, nous remarquons que le dénominateur peut être factorisé. Par conséquent, nous pouvons écrire 𝑓 de 𝑥 comme 𝑥 plus deux sur 𝑥 plus deux multiplié par 𝑥 moins deux. Et nous remarquons que nous pouvons annuler un facteur 𝑥 plus deux.

Cependant, nous devons être prudents car, ce faisant, nous modifions légèrement la fonction. Après avoir annulé le facteur, nous pouvons appeler la nouvelle fonction 𝑔 de 𝑥. Nous avons que 𝑔 de 𝑥 est égal à un sur 𝑥 moins deux. Nous pouvons voir comment ces deux fonctions diffèrent légèrement en considérant les domaines de ces fonctions.

Nous pouvons voir que si nous avons entré 𝑥 est égal à moins deux dans 𝑓 de 𝑥, nous aurions une sortie non définie. Puisque cela donnerait 𝑓 un dénominateur de zéro. Cependant, nous pouvons entrer 𝑥 est égal à moins deux dans 𝑔 de 𝑥.

Maintenant, il est important de noter que bien que ces deux fonctions diffèrent légèrement, elles ont en fait les mêmes asymptotes. Par conséquent, nous pouvons déterminer les asymptotes de 𝑓 en déterminant les asymptotes de 𝑔. Donc nous allons déterminer ces asymptotes. Nous pouvons identifier les asymptotes verticales comme n’importe quelle entrée sans sortie définie.

Puisque 𝑔 de 𝑥 est une fonction rationnelle, cela se produit lorsque le dénominateur est égal à zéro ou lorsque 𝑥 moins deux est égal à zéro. En réarrangeant cela, nous avons 𝑥 est égal à deux. Par conséquent, 𝑔 de 𝑥 a une asymptote verticale en 𝑥 est égale à deux. Nous pouvons identifier une asymptote horizontale comme n’importe quelle valeur qui n’est pas dans l’ensemble image de la fonction. Nous pouvons déterminer de telles valeurs en considérant ce qui se passe lorsque 𝑥 s’approche de plus ou moins ∞.

Nous pouvons voir que lorsque 𝑥 devient très grand dans le sens positif ou négatif, le dénominateur de 𝑔 de 𝑥 devient très grand dans le sens positif ou négatif. Par conséquent, 𝑔 de 𝑥 se rapprochera de plus en plus de zéro. Nous avons donc déterminé que 𝑔 de 𝑥 a une asymptote horizontale à 𝑦 égale à zéro.

Puisque 𝑔 de 𝑥 et 𝑓 de 𝑥 partagent les mêmes asymptotes, en déterminant les asymptotes verticales et horizontales de 𝑔, nous avons déterminé les asymptotes verticales et horizontales de 𝑓. Et cela complète notre solution à cette question.

Mais avant de continuer, examinons rapidement en quoi 𝑔 et 𝑓 diffèrent avec un croquis rapide. Ici, nous avons des croquis de 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥. Nous pouvons voir que les asymptotes en 𝑦 sont égales à zéro et 𝑥 est égal à deux. Maintenant, la seule différence entre ces deux graphiques est que 𝑓 de 𝑥 est indéfini en 𝑥 est égal à moins deux. Et 𝑔 de 𝑥 est défini en 𝑥 est égal à moins deux. Et malgré cela, nous pouvons voir que les deux graphiques ont toujours les mêmes asymptotes. Dans notre dernier exemple, nous verrons comment utiliser les asymptotes pour identifier le graphe d’une fonction.

Lequel des graphiques suivants représente 𝑓 de 𝑥 est égal à un sur 𝑥 plus un ?

Commençons par déterminer les asymptotes verticales de 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons déterminer des asymptotes verticales en identifiant toute entrée sans sortie définie. Puisque 𝑓 de 𝑥 est une fonction rationnelle, cela se produit lorsque son dénominateur est zéro, donc lorsque 𝑥 plus un est égal à zéro. En réarrangeant, nous pouvons voir que c’est quand 𝑥 est égal à moins un.

Ici, nous pouvons en déduire que 𝑓 de 𝑥 a une asymptote verticale à 𝑥 est égale à moins un. c ) et d) sont les seuls graphiques avec des asymptotes verticales où 𝑥 est égal à moins un. Par conséquent, nous pouvons éliminer les options a) et b). Lorsque nous regardons les graphiques de c) et d), nous pouvons voir qu’ils ont tous les deux une asymptote horizontale à 𝑦 égale à zéro. Par conséquent, notre fonction 𝑓 de 𝑥 doit avoir une asymptote horizontale à 𝑦 égale à zéro.

Voyons maintenant en quoi les graphiques c) et d) diffèrent. Pour le graphique c), nous pouvons voir que lorsque 𝑥 est inférieur à moins un, 𝑓 de 𝑥 est négatif. Et quand 𝑥 est supérieur à moins un, 𝑓 de 𝑥 est positif. Cependant, pour le graphique d), lorsque 𝑥 est inférieur à moins un, 𝑓 de 𝑥 est positif. Et quand 𝑥 est supérieur à moins un, 𝑓 de 𝑥 est négatif.

Maintenant, nous allons voir ce qui se passe pour 𝑓 de 𝑥 dans la question lorsque 𝑥 est inférieure à moins un et quand 𝑥 est supérieur à moins un. Nous avons cela quand 𝑥 est inférieur à moins un, 𝑥 plus un est négatif. Par conséquent, 𝑓 de 𝑥 doit également être négatif. Et lorsque 𝑥 est supérieur à moins un, 𝑥 plus un est positif. Par conséquent, 𝑓 de 𝑥 est également positif. Et ces informations sur 𝑓 sont en accord avec ce que nous avons montré pour le graphique c). Par conséquent, notre solution est que le graphique c) représente notre fonction 𝑓 de 𝑥.

Nous avons maintenant couvert une variété d’exemples de la façon dont nous pouvons déterminer des asymptotes et de l’utilité des asymptotes, en particulier lors de l’identification ou du dessin de graphiques. Nous allons récapituler maintenant quelques points clés de la vidéo.

Points clés. Pour déterminer les asymptotes verticales d’une fonction, nous devons identifier tout point qui conduirait à un dénominateur de zéro. Mais attention si la fonction peut être simplifiée. Pour déterminer les asymptotes horizontales d’une fonction rationnelle, nous devons identifier toute valeur que la fonction ne peut pas prendre. Cependant, nous devons être prudents ici car la fonction peut être en mesure de prendre la valeur à l’asymptote comme nous l’avons vu dans le premier exemple. Nous pouvons utiliser les asymptotes pour nous aider à identifier l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction. Et enfin, nous pouvons utiliser les asymptotes pour nous aider à esquisser et identifier la courbe d’une fonction.

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