Transcription de la vidéo
Asymptotes horizontales et verticales dâune fonction
Dans cette vidéo, nous apprendrons à déterminer les asymptotes
horizontales et verticales dâune fonction. Et nous examinerons une variĂ©tĂ© dâexemples de la façon dont nous pouvons
le faire. Commençons par rappeler la dĂ©finition dâune asymptote.
Une asymptote est une droite dont une courbe sâapproche et se rapproche
arbitrairement mais ne la touche pas. Par exemple, si nous considĂ©rons la courbe de đŠ est Ă©gal Ă un sur
đ„. On peut voir quâelle a une asymptote horizontale Ă đŠ Ă©gale Ă zĂ©ro et une
asymptote verticale Ă đ„ Ă©gale Ă zĂ©ro.
Voyons maintenant une dĂ©finition plus rigoureuse dâune asymptote
verticale et horizontale. Nous pouvons dĂ©finir une asymptote verticale comme suit. Si, lorsque đ„ sâapproche dâune constante đ, đ de đ„ sâapproche de plus
ou moins â, alors đ„ est Ă©gal Ă đ est une asymptote verticale. Une autre façon de penser Ă une asymptote verticale est toute entrĂ©e qui
nâa pas de sortie dĂ©finie.
Nous pouvons dĂ©finir une asymptote horizontale par ce qui suit. Si, lorsque đ„ sâapproche de plus ou moins â, đ de đ„ sâapproche dâune
constante đ, alors đŠ est Ă©gal Ă đ est une asymptote
horizontale. Une autre façon dont nous pouvons penser aux asymptotes horizontales est
toute sortie qui ne peut ĂȘtre atteinte Ă partir dâaucune entrĂ©e dans
lâensemble de dĂ©finition des fonctions.
Cependant, nous devons ĂȘtre prudents en utilisant ce raisonnement car ce
nâest pas toujours le cas. Parfois, la sortie peut ĂȘtre atteinte par une entrĂ©e dans lâensemble de
définition des fonctions. Et pourtant, il peut encore y avoir une asymptote à ce stade. Lorsque vous déterminez des asymptotes horizontales, il est souvent plus
facile de considĂ©rer ce qui se passe lorsque đ„ sâapproche de plus
ou moins â.
Lorsque nous définissons et déterminons des asymptotes verticales et
horizontales, nous parlons beaucoup dâentrĂ©es et de sorties. Et pour cette raison, ils se relient assez fortement Ă lâensemble de
dĂ©finition et Ă lâensemble image dâune fonction. Si nous connaissons lâensemble de dĂ©finition et lâensemble image dâune
fonction, il est souvent plus facile de déterminer les asymptotes
horizontales et verticales. Et de mĂȘme, si nous connaissons les asymptotes horizontales et
verticales, il est souvent plus facile de dĂ©terminer lâensemble de
dĂ©finition et lâensemble image de cette fonction. Passons maintenant Ă un exemple de la façon dont nous pouvons dĂ©terminer
des asymptotes verticales et horizontales.
DĂ©terminer les asymptotes verticales et horizontales de la fonction đ de
đ„ est Ă©gal Ă moins un plus trois sur đ„ moins quatre sur đ„ au
carré.
On peut commencer par dĂ©terminer lâasymptote verticale de cette
fonction. Maintenant, nous pouvons dĂ©terminer lâasymptote verticale en dĂ©terminant
nâimporte quelle entrĂ©e qui nâa pas de sortie dĂ©finie. Lorsque nous regardons notre fonction đ de đ„, nous remarquons quâelle a
deux termes rationnels. Et ce sont trois sur đ„ et moins quatre sur đ„ au carrĂ©.
Or, un terme rationnel nâest pas dĂ©fini lorsque son dĂ©nominateur est
nul. Donc, pour trois sur đ„, câest quand đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro. Et pour moins quatre sur đ„ au carrĂ©, câest quand đ„ au carrĂ© est Ă©gal Ă
zĂ©ro. Et lorsque đ„ au carrĂ© est Ă©gal Ă zĂ©ro, cela signifie bien sĂ»r que đ„ est
Ă©galement Ă©gal Ă zĂ©ro. Puisque ces deux termes apparaissent dans đ de đ„, lorsque lâun de ces
termes nâest pas dĂ©fini, đ de đ„ est Ă©galement indĂ©finie.
Et donc, donc, nous pouvons dire que lorsque đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro, đ de đ„
nâa pas de sortie dĂ©finie. Par consĂ©quent, nous avons dĂ©terminĂ© lâasymptote verticale de đ de
đ„. Et câest que đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro. Afin de dĂ©terminer des asymptotes horizontales, nous devons dĂ©terminer
toute valeur qui nâapparaĂźt pas dans lâensemble image de leur
fonction. Et pour ce faire, nous pouvons considĂ©rer ce qui se passe lorsque đ„
approche â.
Eh bien, nous pouvons regarder les termes đ„ en đ de đ„. Nous avons trois sur đ„ et moins quatre sur đ„ au carrĂ©. Ă mesure que đ„ approche â, nous constatons que le dĂ©nominateur de ces
deux termes rationnels augmentera de plus en plus. Et donc ces deux termes rationnels approcheront de zĂ©ro. Cependant, aucun de ces termes nâatteindra jamais zĂ©ro. Ils se rapprocheront arbitrairement de zĂ©ro.
Par consĂ©quent, lorsque nous regardons đ de đ„ et que ces deux termes
rationnels approchent de zĂ©ro, nous pouvons voir que đ de đ„
approchera de moins un. Et nous pouvons dire que đ de đ„ se rapprochera arbitrairement de moins
un sans atteindre moins un. Par consĂ©quent, nous aurons une asymptote horizontale Ă đŠ Ă©gale Ă moins
un.
Nous avons déterminé ici les asymptotes verticales et horizontales de
notre fonction đ de đ„. Elles sont Ă đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro et đŠ est Ă©gal Ă moins un. Et câest la solution Ă la question. Cependant, cette question est un bon exemple de la raison pour laquelle
nous devons ĂȘtre prudents en utilisant ce raisonnement pour
dĂ©terminer des asymptotes horizontales. Ătant donnĂ© que parfois la valeur peut apparaĂźtre dans lâensemble image
de la fonction. Pourtant, il peut encore y avoir une asymptote horizontale Ă ce
stade.
Nous pouvons le voir en dĂ©finissant đ de đ„ Ă©gal Ă moins un. Nous avons moins un est Ă©gal Ă moins un plus trois sur đ„ moins quatre
sur đ„ au carrĂ©. Nous pouvons ajouter un des deux cĂŽtĂ©s de lâĂ©quation pour obtenir un zĂ©ro
Ă©gal Ă trois sur đ„ moins quatre sur đ„ au carrĂ©.
Dans notre prochaine Ă©tape, nous ajoutons quatre sur đ„ au carrĂ© des deux
cĂŽtĂ©s. Ensuite, nous multiplions les deux cĂŽtĂ©s de lâĂ©quation par đ„ au
carrĂ©. Ensuite, nous divisons les deux cĂŽtĂ©s de lâĂ©quation par trois pour
obtenir đ„ est Ă©gal Ă quatre sur trois. Donc, cela nous dit que lorsque đ„ est Ă©gal Ă quatre sur trois, đ de đ„
est Ă©gal Ă moins un. Par consĂ©quent, moins un est de lâordre de đ de đ„.
Cependant, il existe toujours une asymptote Ă đŠ Ă©gale Ă moins un. Nous pouvons voir pourquoi câest le cas en considĂ©rant le graphe de đ de
đ„. En utilisant une calculatrice graphique ou un logiciel graphique, nous
pouvons voir que la courbe de đ de đ„ ressemblerait Ă ceci. Nous pouvons voir que les asymptotes en đ„ sont Ă©gales Ă zĂ©ro et đŠ est
Ă©gal Ă moins un. Et nous pouvons voir oĂč la droite de đ de đ„ croise lâasymptote en đŠ
est Ă©gal Ă moins un et đ„ est Ă©gal Ă quatre sur trois. Ensuite, nous pouvons voir comment đ de đ„ continue de montrer un
comportement asymptotique vers la droite đŠ est Ă©gal Ă moins un.
Puisque si nous regardons Ă droite de đ„ est Ă©gal Ă quatre sur trois,
nous pouvons voir que đ de đ„ se rapproche arbitrairement de đŠ est
Ă©gal Ă moins un sans toucher rĂ©ellement cette droite. Et câest pourquoi nous devons ĂȘtre prudents en utilisant ce raisonnement
lors de la recherche des asymptotes horizontales. Dans lâexemple suivant, nous verrons comment dĂ©terminer lâasymptote dâune
hyperbole. Une hyperbole est un type de fonction rationnelle avec deux
asymptotes.
Quelles sont les asymptotes de lâhyperbole đŠ est Ă©gal Ă huit sur quatre
đ„ moins trois plus cinq sur trois?
On peut commencer par dĂ©terminer lâasymptote verticale de cette
hyperbole. Nous utiliserons le fait quâune asymptote verticale peut ĂȘtre dĂ©crite
comme nâimporte quelle entrĂ©e sans sortie dĂ©finie. En regardant lâĂ©quation de notre hyperbole, nous voyons que nous avons un
terme rationnel, qui est huit sur quatre đ„ moins trois.
Nous savons maintenant que tout terme rationnel nâest pas dĂ©fini lorsque
le dĂ©nominateur est nul. Câest donc lorsque quatre đ„ moins trois est Ă©gal Ă zĂ©ro. Nous pouvons rĂ©organiser ceci pour dĂ©terminer đ„. Cela nous donne que đ„ est Ă©gal Ă trois sur quatre. Nous avons maintenant que lorsque đ„ est Ă©gal Ă trois sur quatre, ce
terme rationnel de huit sur quatre đ„ moins trois nâest pas
défini.
Par consĂ©quent, lorsque nous entrons đ„ est Ă©gal Ă trois sur quatre dans
lâĂ©quation de notre hyperbole, nous aurons une sortie non
dĂ©finie. Par consĂ©quent, notre hyperbole aura une asymptote verticale Ă đ„ Ă©gale Ă
trois sur quatre.
Nous pouvons maintenant passer Ă la recherche de lâasymptote
horizontale. Les asymptotes horizontales sont des valeurs qui ne sont pas dans
lâensemble image de la fonction. Pour dĂ©terminer de telles valeurs, nous pouvons considĂ©rer ce qui se
passe lorsque đ„ sâapproche de plus ou moins â.
Maintenant, le seul đ„ terme dans notre Ă©quation -dĂ©pendante est de huit
sur quatre đ„ moins trois. Maintenant que đ„ sâapproche de plus ou moins â, ce terme rationnel se
rapproche de zĂ©ro. Et il devient en fait arbitrairement proche de zĂ©ro. Par consĂ©quent, si nous regardons en arriĂšre lâĂ©quation de lâhyperbole,
nous pouvons voir que đŠ se rapprochera arbitrairement de cinq sur
trois lorsque đ„ sâapproche de plus ou moins â. Puisque le terme rationnel dans lâĂ©quation approchera de zĂ©ro. Par consĂ©quent, notre hyperbole a une asymptote horizontale Ă đŠ Ă©gale Ă
cinq sur trois. Et maintenant, nous avons déterminé les asymptotes de notre hyperbole, ce
qui complĂšte la solution Ă cette question.
Avant de passer Ă notre exemple suivant, notons rapidement quâil est en
fait possible quâune fonction ait plus dâune asymptote horizontale
ou verticale. Par exemple, considĂ©rons que la fonction đ de đ„ est Ă©gale Ă un sur đ„
au carré moins quatre. Nous pouvons factoriser le dénominateur de cette fonction pour obtenir un
sur đ„ moins deux multipliĂ© par đ„ plus deux.
Nous pouvons maintenant identifier les asymptotes verticales comme
nâimporte quelle entrĂ©e sans sortie dĂ©finie. Puisque đ de đ„ est une fonction rationnelle, cela se produit lorsque le
dĂ©nominateur est Ă©gal Ă zĂ©ro. Ainsi, lorsque đ„ moins deux multipliĂ© par đ„ plus deux est Ă©gal Ă
zĂ©ro. Cela nous donne deux solutions et, par consĂ©quent, deux asymptotes. Et ceci est Ă đ„ est Ă©gal Ă deux et đ„ est Ă©gal Ă moins deux.
En utilisant ces asymptotes, nous pourrions essayer dâesquisser la courbe
de đ de đ„. Cependant, nous devons dâabord considĂ©rer ce qui arrive Ă đ de đ„ autour
des valeurs de đ„ est Ă©gal Ă deux et đ„ est Ă©gal Ă moins deux. Nous devons considĂ©rer quand đ„ est infĂ©rieur Ă moins deux, lorsque đ„
est compris entre deux et moins deux, et lorsque đ„ est supĂ©rieur Ă
deux.
Lorsque đ„ est infĂ©rieur Ă moins deux et supĂ©rieur Ă deux, đ„ carrĂ© moins
quatre est supĂ©rieur Ă zĂ©ro. Par consĂ©quent, đ de đ„ doit ĂȘtre positif. Et lorsque đ„ est compris entre deux et moins deux, đ„ au carrĂ© moins
quatre est infĂ©rieur Ă zĂ©ro. Par consĂ©quent, đ de đ„ est nĂ©gatif. En utilisant ces informations, nous pouvons esquisser un graphique de đ
de đ„, quelque chose comme ça. Et comme nous pouvons le voir, il a deux asymptotes verticales. DĂ©terminer ces asymptotes nous a vraiment aidĂ©s Ă esquisser ce
graphique. Nous pouvons donc voir Ă quel point les asymptotes peuvent ĂȘtre utiles
pour dessiner des graphiques.
Il y a maintenant certains cas oĂč nous devons ĂȘtre trĂšs prudents lorsque
nous essayons de dĂ©terminer des asymptotes. Et ce sont les cas oĂč notre fonction a un facteur qui peut ĂȘtre
annulĂ©. Prenons lâexemple suivant.
DĂ©terminez les asymptotes de la fonction đ de đ„ est Ă©gal Ă đ„ plus deux
sur đ„ au carrĂ© moins quatre.
Nous commencerions normalement par chercher les asymptotes verticales de
cette fonction. Cependant, si nous examinons attentivement notre fonction, nous
remarquons que le dĂ©nominateur peut ĂȘtre factorisĂ©. Par consĂ©quent, nous pouvons Ă©crire đ de đ„ comme đ„ plus deux sur đ„
plus deux multipliĂ© par đ„ moins deux. Et nous remarquons que nous pouvons annuler un facteur đ„ plus deux.
Cependant, nous devons ĂȘtre prudents car, ce faisant, nous modifions
légÚrement la fonction. AprÚs avoir annulé le facteur, nous pouvons appeler la nouvelle fonction
đ de đ„. Nous avons que đ de đ„ est Ă©gal Ă un sur đ„ moins deux. Nous pouvons voir comment ces deux fonctions diffĂšrent lĂ©gĂšrement en
considérant les domaines de ces fonctions.
Nous pouvons voir que si nous avons entrĂ© đ„ est Ă©gal Ă moins deux dans
đ de đ„, nous aurions une sortie non dĂ©finie. Puisque cela donnerait đ un dĂ©nominateur de zĂ©ro. Cependant, nous pouvons entrer đ„ est Ă©gal Ă moins deux dans đ de
đ„.
Maintenant, il est important de noter que bien que ces deux fonctions
diffĂšrent lĂ©gĂšrement, elles ont en fait les mĂȘmes asymptotes. Par consĂ©quent, nous pouvons dĂ©terminer les asymptotes de đ en
dĂ©terminant les asymptotes de đ. Donc nous allons dĂ©terminer ces asymptotes. Nous pouvons identifier les asymptotes verticales comme nâimporte quelle
entrée sans sortie définie.
Puisque đ de đ„ est une fonction rationnelle, cela se produit lorsque le
dĂ©nominateur est Ă©gal Ă zĂ©ro ou lorsque đ„ moins deux est Ă©gal Ă
zĂ©ro. En rĂ©arrangeant cela, nous avons đ„ est Ă©gal Ă deux. Par consĂ©quent, đ de đ„ a une asymptote verticale en đ„ est Ă©gale Ă
deux. Nous pouvons identifier une asymptote horizontale comme nâimporte quelle
valeur qui nâest pas dans lâensemble image de la fonction. Nous pouvons dĂ©terminer de telles valeurs en considĂ©rant ce qui se passe
lorsque đ„ sâapproche de plus ou moins â.
Nous pouvons voir que lorsque đ„ devient trĂšs grand dans le sens positif
ou nĂ©gatif, le dĂ©nominateur de đ de đ„ devient trĂšs grand dans le
sens positif ou nĂ©gatif. Par consĂ©quent, đ de đ„ se rapprochera de plus en plus de zĂ©ro. Nous avons donc dĂ©terminĂ© que đ de đ„ a une asymptote horizontale Ă đŠ
égale à zéro.
Puisque đ de đ„ et đ de đ„ partagent les mĂȘmes asymptotes, en
dĂ©terminant les asymptotes verticales et horizontales de đ, nous
avons dĂ©terminĂ© les asymptotes verticales et horizontales de đ. Et cela complĂšte notre solution Ă cette question.
Mais avant de continuer, examinons rapidement en quoi đ et đ diffĂšrent
avec un croquis rapide. Ici, nous avons des croquis de đ de đ„ et đ de đ„. Nous pouvons voir que les asymptotes en đŠ sont Ă©gales Ă zĂ©ro et đ„ est
Ă©gal Ă deux. Maintenant, la seule diffĂ©rence entre ces deux graphiques est que đ de
đ„ est indĂ©fini en đ„ est Ă©gal Ă moins deux. Et đ de đ„ est dĂ©fini en đ„ est Ă©gal Ă moins deux. Et malgrĂ© cela, nous pouvons voir que les deux graphiques ont toujours
les mĂȘmes asymptotes. Dans notre dernier exemple, nous verrons comment utiliser les asymptotes
pour identifier le graphe dâune fonction.
Lequel des graphiques suivants reprĂ©sente đ de đ„ est Ă©gal Ă un sur đ„
plus un ?
Commençons par dĂ©terminer les asymptotes verticales de đ de đ„. Nous pouvons dĂ©terminer des asymptotes verticales en identifiant toute
entrĂ©e sans sortie dĂ©finie. Puisque đ de đ„ est une fonction rationnelle, cela se produit lorsque
son dĂ©nominateur est zĂ©ro, donc lorsque đ„ plus un est Ă©gal Ă
zĂ©ro. En rĂ©arrangeant, nous pouvons voir que câest quand đ„ est Ă©gal Ă moins
un.
Ici, nous pouvons en dĂ©duire que đ de đ„ a une asymptote verticale Ă đ„
est Ă©gale Ă moins un. c ) et d) sont les seuls graphiques avec des
asymptotes verticales oĂč đ„ est Ă©gal Ă moins un. Par consĂ©quent, nous pouvons Ă©liminer les options a) et b). Lorsque nous regardons les graphiques de c) et d), nous pouvons voir
quâils ont tous les deux une asymptote horizontale Ă đŠ Ă©gale Ă
zĂ©ro. Par consĂ©quent, notre fonction đ de đ„ doit avoir une asymptote
horizontale Ă đŠ Ă©gale Ă zĂ©ro.
Voyons maintenant en quoi les graphiques c) et d) diffĂšrent. Pour le graphique c), nous pouvons voir que lorsque đ„ est infĂ©rieur Ă
moins un, đ de đ„ est nĂ©gatif. Et quand đ„ est supĂ©rieur Ă moins un, đ de đ„ est positif. Cependant, pour le graphique d), lorsque đ„ est infĂ©rieur Ă moins un, đ
de đ„ est positif. Et quand đ„ est supĂ©rieur Ă moins un, đ de đ„ est nĂ©gatif.
Maintenant, nous allons voir ce qui se passe pour đ de đ„ dans la
question lorsque đ„ est infĂ©rieure Ă moins un et quand đ„ est
supĂ©rieur Ă moins un. Nous avons cela quand đ„ est infĂ©rieur Ă moins un, đ„ plus un est
nĂ©gatif. Par consĂ©quent, đ de đ„ doit Ă©galement ĂȘtre nĂ©gatif. Et lorsque đ„ est supĂ©rieur Ă moins un, đ„ plus un est positif. Par consĂ©quent, đ de đ„ est Ă©galement positif. Et ces informations sur đ sont en accord avec ce que nous avons montrĂ©
pour le graphique c). Par conséquent, notre solution est que le graphique c) représente notre
fonction đ de đ„.
Nous avons maintenant couvert une variĂ©tĂ© dâexemples de la façon dont
nous pouvons dĂ©terminer des asymptotes et de lâutilitĂ© des
asymptotes, en particulier lors de lâidentification ou du dessin de
graphiques. Nous allons récapituler maintenant quelques points clés de la vidéo.
Points clĂ©s. Pour dĂ©terminer les asymptotes verticales dâune fonction, nous devons
identifier tout point qui conduirait Ă un dĂ©nominateur de zĂ©ro. Mais attention si la fonction peut ĂȘtre simplifiĂ©e. Pour dĂ©terminer les asymptotes horizontales dâune fonction rationnelle,
nous devons identifier toute valeur que la fonction ne peut pas
prendre. Cependant, nous devons ĂȘtre prudents ici car la fonction peut ĂȘtre en
mesure de prendre la valeur Ă lâasymptote comme nous lâavons vu dans
le premier exemple. Nous pouvons utiliser les asymptotes pour nous aider Ă identifier
lâensemble de dĂ©finition et lâensemble image dâune fonction. Et enfin, nous pouvons utiliser les asymptotes pour nous aider Ă
esquisser et identifier la courbe dâune fonction.