Vidéo question :: Déterminer la limite en un point d’une fonction rationnelle Mathématiques

Transcription de la vidéo

Calculez la limite quand 𝑥 tend vers deux de 𝑥 au carré moins quatre, le tout au carré sur quatre 𝑥 moins huit.

Dans cette question, on nous demande de déterminer la limite d’une fonction quand 𝑥 tend vers deux. Si on développait le numérateur, on verrait plus clairement que cette fonction est une fonction rationnelle. Autrement dit, c’est le quotient de deux polynômes. Par conséquent, on peut essayer de déterminer cette limite par substitution directe. Quand c’est possible, il est toujours judicieux d’opter pour la substitution directe. On va donc remplacer 𝑥 par deux dans notre fonction, ce qui nous donne deux au carré moins quatre, le tout au carré et divisé par quatre fois deux moins huit.

On fait les calculs nécessaires au numérateur et au dénominateur et on obtient zéro divisé par zéro. Il s’agit d’une forme indéterminée. Cela signifie qu’on ne peut pas déterminer notre limite ainsi, et donc qu’on va devoir faire quelques manipulations pour la réécrire sous une forme qui nous permettra de le faire. Et puisqu’il s’agit d’une fonction rationnelle, on peut faire cela à l’aide du théorème de factorisation des polynômes. Lorsqu’on a remplacé 𝑥 par deux dans le polynôme qui se trouve au numérateur, on a obtenu zéro. Ainsi, d’après le théorème de factorisation des polynômes, 𝑥 moins deux est un facteur de ce polynôme. De même pour le polynôme qui se trouve au dénominateur. Sachant cela, essayons de factoriser le numérateur et le dénominateur de notre fonction.

Factoriser le dénominateur n’est pas très compliqué. Il suffit de factoriser par le facteur commun, quatre. Notre limite devient alors la limite quand 𝑥 tend vers deux de 𝑥 au carré moins quatre, le tout au carré sur quatre fois 𝑥 moins deux. Il faut maintenant factoriser le numérateur. Pour cela, on remarque que l’expression entre parenthèses est la différence de deux carrés. On sait que 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré est égal à 𝑎 moins 𝑏 multiplié par 𝑎 plus 𝑏. On peut appliquer cette identité à notre numérateur. Il suffit de poser que 𝑎 est égal à 𝑥 et 𝑏 est égal à deux. En factorisant notre numérateur, on obtient la limite quand 𝑥 tend vers deux de 𝑥 moins deux multiplié par 𝑥 plus deux, le tout au carré sur quatre fois 𝑥 moins deux.

Mais on ne peut toujours pas utiliser la substitution directe pour déterminer cette limite. En effet, cela nous donnerait un facteur de zéro au numérateur et au dénominateur. Donc il faut encore modifier notre expression. On va développer le carré du numérateur. Cela nous donne 𝑥 moins deux, le tout au carré, multiplié par 𝑥 plus deux, le tout au carré. Il ne reste plus qu’une étape avant de pouvoir déterminer notre limite par substitution directe. Elle consiste à simplifier par le facteur commun 𝑥 moins deux au numérateur et au dénominateur. En faisant cela, on obtient une expression qui n’a plus de facteur 𝑥 moins deux au dénominateur, ce qui signifie qu’on peut utiliser la substitution directe.

Mais il convient de rappeler pourquoi on peut faire cela. Lorsqu’on prend la limite quand 𝑥 tend vers deux, on s’intéresse à ce qui se passe quand 𝑥 s’approche de plus en plus de deux. Mais ce qui se passe en 𝑥 égale deux n’a pas d’importance. Donc on peut supposer que 𝑥 moins deux n’est pas égal à zéro. Cela n’affectera pas la valeur de notre limite. Par conséquent, la limite donnée dans l’énoncé équivaut à la limite quand 𝑥 tend vers deux de 𝑥 moins deux multiplié par 𝑥 plus deux au carré sur quatre. C’est la limite quand 𝑥 tend vers deux d’une fonction rationnelle. On peut aussi dire que c’est la limite quand 𝑥 tend vers deux d’un polynôme de degré trois, ce qui signifie qu’on peut utiliser la substitution directe.

On va donc remplacer 𝑥 par deux. Cela nous donne deux moins deux multiplié par deux plus deux au carré et divisé par quatre. On peut voir au numérateur qu’on a un facteur de deux moins deux, soit un facteur de zéro. Mais notre dénominateur vaut quatre. Par conséquent, cette limite est égale à zéro. C’est notre réponse finale. En faisant quelques manipulations algébriques et en utilisant la substitution directe, on a montré que la limite quand 𝑥 tend vers deux de 𝑥 au carré moins quatre, le tout au carré et divisé par quatre 𝑥 moins huit est égale à zéro.