Vidéo question :: Déterminer l’aire d’un triangle en utilisant la formule de Héron Mathématiques

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Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que 𝐴𝐶 égale sept centimètres, 𝐵𝐶 plus 𝐴𝐵 égale 28 centimètres et 𝐵𝐶 moins 𝐴𝐵 égale quatre centimètres. Calculez l’aire de 𝐴𝐵𝐶 au centimètre carré près.

Commençons par dessiner le triangle 𝐴𝐵𝐶. Nous savons que la longueur du côté 𝐴𝐶 est de sept centimètres. Pour pouvoir calculer l’aire du triangle, nous devons d’abord déterminer les longueurs des deux autres côtés, 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶. Nous pourrons ensuite utiliser ces longueurs dans la formule de Héron pour calculer l’aire. Si nous notons les longueurs des côtés 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵 𝑎 minuscule, 𝑏 minuscule et 𝑐 minuscule respectivement, alors, d’après les informations données dans l’énoncé, nous avons 𝑏 égale sept centimètres, 𝑎 plus 𝑐 égale 28 centimètres, car la somme des longueurs des côtés 𝐵𝐶 et 𝐴𝐵 est égale à 28, et 𝑎 moins 𝑐 égale quatre centimètres, car la longueur du côté 𝐵𝐶 moins la longueur du côté 𝐴𝐵 est égal à quatre centimètres.

Notons ces équations un et deux. Nous pouvons résoudre ces deux équations pour déterminer 𝑎 et 𝑐. Dans l’équation deux, nous pouvons additionner 𝑐 des deux côtés pour obtenir 𝑎 égale quatre plus 𝑐. Ainsi, nous avons maintenant une expression de 𝑎 en fonction de 𝑐. En remplaçant 𝑎 par cette expression dans l’équation un, nous obtenons quatre plus 𝑐 plus 𝑐 égale 28. En rassemblant les 𝑐, nous obtenons quatre plus deux 𝑐 égale 28. Puis, nous soustrayons quatre des deux côtés, ce qui nous donne deux 𝑐 égale 28 moins quatre, ce qui est égal à 24. Il ne nous reste plus qu’à diviser par deux des deux côtés pour obtenir 𝑐 égale 12. Ainsi, 𝑐 minuscule, la longueur de notre côté 𝐴𝐵, est égal à 12 centimètres.

Nous notons ceci et nous faisons un peu de place pour notre prochaine étape, qui va être de remplacer 𝑐 par 12 dans l’une ou l’autre de nos équations afin de déterminer la valeur de 𝑎. Nous choisissons l’équation un. Ainsi, nous remplaçons 𝑐 par 12 dans l’équation un, ce qui nous donne 𝑎 plus 12 égale 28. En soustrayant 12 des deux côtés, nous obtenons 𝑎 égale 28 moins 12, donc 𝑎 est égal à 16 centimètres. Il s’agit de la longueur du côté 𝐵𝐶.

Nous connaissons maintenant les longueurs des trois côtés. 𝑎 est égal à 16 centimètres, 𝑏 à sept centimètres et 𝑐 à 12 centimètres. Nous voulons utiliser ces valeurs pour déterminer l’aire de notre triangle. Pour cela, nous allons utiliser la formule de Héron. D’après la formule de Héron, pour un triangle dont les longueurs des côtés sont 𝑎 minuscule, 𝑏 minuscule et 𝑐 minuscule, l’aire de ce triangle est égale à la racine carrée de 𝑠 multiplié par 𝑠 moins 𝑎 multiplié par 𝑠 moins 𝑏 multiplié par 𝑠 moins 𝑐, où 𝑠 est le demi-périmètre du triangle, ou la moitié du périmètre. Nous rappelons que le périmètre d’un triangle, et plus généralement de tout polygone, est égal à la somme des longueurs de ses côtés. Ainsi, dans notre cas, le demi-périmètre 𝑠 est égal à 16 plus sept plus 12, le tout divisé par deux, ce qui est égal à 35 sur deux, soit 17,5.

Nous avons maintenant tout ce qu’il nous faut pour utiliser la formule de Héron. En appliquant la formule, nous obtenons que notre aire est égale à la racine carrée de 17,5, notre valeur de 𝑠, multiplié par 17,5 moins 16, la différence entre 𝑠 et 𝑎, multiplié par 17,5 moins sept, la différence entre 𝑠 et 𝑏, multiplié par 17,5 moins 12, la différence entre 𝑠 et 𝑐. Nous calculons les produits entre parenthèses et nous obtenons la racine carrée de 17,5 fois 1,5 fois 10,5 fois 5,5. Nous cherchons donc la racine de 1515,9375.

Sachant que les aires sont toujours positives, nous prenons la racine carrée positive de ce nombre et nous obtenons que l’aire de notre triangle 𝐴𝐵𝐶 est de 38,9350 centimètres carrés au dix-millième près. Par conséquent, l’aire de notre triangle est de 39 centimètres carrés au centimètre carré près.