Vidéo question :: Exprimer un système de deux équations sous la forme d’une équation matricielle Mathématiques

Transcription de la vidéo

Exprimez les équations simultanées données comme une équation matricielle: trois 𝑥 plus deux 𝑦 égale 12 et trois 𝑥 plus 𝑦 égale sept.

Pour cette question, on nous a donné un système qui comprend deux équations linéaires. Nous pourrions être habitués aux questions nous demandant de résoudre un tel système, c’est-à-dire nous demandant de trouver la valeur de chacune de nos variables 𝑥 et 𝑦. La première chose à noter pour cette question est qu’on ne nous a pas du tout demandé de résoudre le système. En réalité, nous devons réexprimer ces deux équations sous forme matricielle. Pour ce faire, nous pouvons utiliser la règle suivante. Considérons deux équations : 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 est égal à 𝑝 et 𝑐𝑥 plus 𝑑𝑦 est égal à 𝑞, où 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑝 et 𝑞 sont tous des termes constants.

Notez que les équations données dans notre question correspondent exactement à la forme qui a été montrée ici. Vous connaissez peut-être cela sous le nom de forme standard d’une équation linéaire. Un tel système peut être exprimé sous la forme de l’équation matricielle suivante. Sur le côté gauche, nous avons la matrice deux par deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, qui est multipliée par la matrice deux par un 𝑥, 𝑦. Ceci est égal à la matrice deux par un 𝑝, 𝑞 sur le côté droit. Ici, il convient également de noter que cette règle fonctionne dans les deux sens. Ainsi, si on nous avait donné l’équation matricielle ci-dessous, nous serions en mesure de la convertir en la paire d’équations indiquées ci-dessus. Pour répondre à cette question, nous pouvons simplement substituer les valeurs de notre système dans la règle donnée.

Pour nous simplifier les choses, écrivons-les en commençant par les coefficients de chacune de nos variables. Nous dirons que trois 𝑥 plus deux 𝑦 égale 12 est l’équation un. Cela signifie que 𝑎 et 𝑏 sont les coefficients trois et deux, respectivement. Bien, nous disons maintenant que trois 𝑥 plus 𝑦 égale sept est l’équation deux. Cela signifie que les coefficients 𝑐 et 𝑑 sont trois et un, respectivement. Notez que pour la valeur de 𝑑, les coefficients valant un ne sont généralement pas affichés lorsqu’ils sont appliqués à des variables, mais nous savons que c’est la valeur qui correspond.

Ici, il convient de noter que, dans notre équation matricielle, la première matrice deux deux contient les quatre coefficients de notre système d’équations. Pour cette raison, nous appelons cela la matrice de coefficients de notre équation matricielle. De même, cette matrice deux un contient les deux variables de notre système, nous l’appelons donc la matrice des variables. La dernière matrice deux un contient les deux termes constants à droite de nos deux équations. Pour cette raison, nous l’appelons la matrice des constantes. Dans notre cas, la constante 𝑝 est le membre droit de l’équation un, qui est 12. Enfin, la constante 𝑞 est le côté droit de l’équation deux et sa valeur est sept.

Avec cette information, nous sommes prêts à former notre équation matricielle. Nous allons d’abord substituer les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 dans notre matrice de coefficients, nous donnant la matrice trois, deux, trois, un. Nous notons ensuite que notre matrice de variables est correcte et quz nous n’avons pas besoin d’effectuer de substitutions puisque 𝑥 et 𝑦 correspondent aux variables de nos deux équations. Il convient de noter que cette méthode fonctionnerait également pour deux autres variables tant que l’ordre est conservé. Enfin, nous substituons les valeurs de 𝑝 et 𝑞 dans notre matrice constante. Cela nous donne la matrice deux par un 12, sept. Avec cette dernière étape, nous avons résolu notre question. Nous avons exprimé les équations simultanées données dans notre question comme une équation matricielle.

Enfin, nous réitérons à nouveau que nous n’avons pas résolu ce système ou trouvé la valeur d’une variable particulière. Nous avons juste représenté les deux équations données dans la question en utilisant une notation mathématique différente. Si vous voulez vous le prouver, vous pouvez effectuer le produit matriciel de la matrice de coefficients et de la matrice des variables sur le côté gauche de notre équation matricielle. Nous ne le montrerons pas dans cette vidéo, mais c’est peut-être un bon exercice pour vous.