Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Trouver les racines des nombres complexes en utilisant la formule de Moivre Mathématiques

Déterminez l'ensemble solution de l'équation 𝑧³ = 4 (√2 - √2𝑖) dans ℂ en exprimant les solutions sous forme exponentielle.

06:09

Transcription de vidéo

Déterminez l’ensemble solution de l’équation 𝑧 au cube égale quatre fois racine carrée de deux moins racine carrée de deux 𝑖 dans l’ensemble des nombres complexes, en exprimant les solutions sous forme exponentielle.

Pour exprimer un nombre sous forme exponentielle, on l’écrit 𝑧 égale 𝑟 fois 𝑒 puissance 𝑖𝜃, où 𝑟 est le module du nombre complexe et 𝜃 est son argument. Et nous pouvons utiliser la formule de Moivre pour les racines pour calculer les solutions à notre équation.

Mais avant de le faire, nous allons devoir écrire notre équation, 𝑧 au cube égale quatre fois racine carrée de deux moins racine carrée de deux 𝑖, sous forme exponentielle. En distribuant le quatre, on peut la reformuler par quatre racine carrée de deux moins quatre racine carrée de deux 𝑖. Nous pouvons donc représenter ce nombre complexe sur un plan complexe par le point dont les coordonnées cartésiennes sont quatre racine carrée de deux et moins quatre racine carrée de deux.

Le module de ce nombre complexe, que l’on peut désigner par 𝑟, est la longueur du segment reliant ce point à l’origine. Ce qui signifie que nous pouvons utiliser la formule de la distance ou simplement la formule du module pour le calculer. On trouve alors que 𝑟 est égal à racine carrée de quatre racine carrée de deux au carré plus moins quatre racine carrée de deux au carré. Quatre racine carrée de deux au carré égale 16 fois deux, soit 32. Donc le module est égal à racine carrée de 32 plus 32, ce qui fait racine carrée de 64 et qui est bien sûr égal à huit. Nous savons donc que le module de notre nombre complexe est égal à huit. Mais qu’en est-il de son argument ?

L’argument est la mesure de l’angle que ce segment forme avec l’axe des réels positifs, mais mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On peut également utiliser la mesure principale de 𝜃, qui doit appartenir à l’intervalle ouvert à gauche et fermé à droite de moins 𝜋 à 𝜋, en considérant que le sens des aiguilles d’une montre est négatif ; cela revient donc à déterminer la mesure de cet angle ici. Et nous pourrions utiliser la tangente pour cela.

Nous savons que la mesure du segment opposé à 𝜃 est de quatre racine carrée de deux unités et que la mesure de son segment adjacent est également de quatre racine carrée de deux unités. Mais en remarquant que la longueur de ces segments est la même, nous voyons que nous avons en fait un triangle isocèle. Plus précisément, il s’agit d’un triangle rectangle isocèle. Et nous savons que les deux angles non droits d’un triangle rectangle isocèle mesurent 45 degrés ou 𝜋 sur quatre radians.

Puisque nous le mesurons dans le sens des aiguilles d’une montre, nous en déduisons que notre argument doit être égal à moins 𝜋 sur quatre radians. Et c’est une bonne nouvelle parce que nous pouvons maintenant écrire notre nombre complexe quatre racine carrée de deux moins racine carrée de deux 𝑖 comme huit 𝑒 puissance moins 𝜋 sur quatre 𝑖. Et cela est vraiment utile car cela nous permet d’utiliser la formule de Moivre pour les racines pour trouver l’ensemble solution à cette équation.

La formule de Moivre pour les racines stipule que pour un nombre complexe de la forme 𝑟𝑒 puissance 𝑖𝜃, ses racines 𝑛 ième sous forme exponentielle sont 𝑟 puissance un sur 𝑛 fois 𝑒 puissance 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 𝑖 pour des valeurs de 𝑘 allant de zéro à 𝑛 moins un. Et nous cherchons ici à résoudre l’équation 𝑧 au cube égale huit 𝑒 puissance moins 𝜋 sur quatre 𝑖. Nous définissons donc 𝑛 égal à trois. Nous recherchons donc en réalité les racines cubiques de ce nombre complexe.

En appliquant la formule de Moivre, la forme générale de ces racines est huit puissance un sur trois fois 𝑒 puissance moins 𝜋 sur quatre plus deux 𝜋𝑘 sur trois 𝑖. Et puisque 𝑘 va de zéro à 𝑛 moins un, notre 𝑘 prend ici les valeurs de zéro à trois moins un, soit deux.

Huit puissance un sur trois correspond alors à la racine cubique de huit. Qui est égale à deux. Donc cette formule est la forme générale des racines à notre équation. Nous allons maintenant remplacer 𝑘 par zéro, par un et par deux. Lorsque 𝑘 est égal à zéro, la racine est deux 𝑒 puissance moins 𝜋 sur quatre plus zéro sur trois 𝑖. Mais moins 𝜋 sur quatre plus zéro sur trois égale moins 𝜋 sur quatre divisé par trois, ce qui fait moins 𝜋 sur 12. La première racine de notre équation est donc deux 𝑒 puissance moins 𝜋 sur 12𝑖.

On remplace ensuite 𝑘 par un. Et on obtient deux 𝑒 puissance moins 𝜋 sur quatre plus deux 𝜋 sur trois 𝑖. Le numérateur de cette expression devient sept 𝜋 sur quatre. Et sept 𝜋 sur quatre divisé par trois égale sept 𝜋 sur 12. Donc notre deuxième racine est deux 𝑒 puissance sept 𝜋 sur 12𝑖.

Et enfin, on remplace 𝑘 par deux. En faisant cela, la partie deux 𝜋𝑘 devient deux 𝜋 fois deux, ce qui fait quatre 𝜋. Et on obtient deux 𝑒 puissance moins 𝜋 sur quatre plus quatre 𝜋 sur trois 𝑖. Le numérateur se simplifie par 15𝜋 sur quatre. Et 15𝜋 sur quatre divisé par trois devient 15𝜋 sur 12, ou cinq 𝜋 sur quatre.

Maintenant, on préfère généralement utiliser la mesure principale de l’argument, qui doit appartenir à l’intervalle ouvert à gauche et fermé à droite de moins 𝜋 à 𝜋. Et pour trouver cette mesure principale, il suffit d’ajouter ou de soustraire des multiples de deux 𝜋 à l’argument. On soustrait donc deux 𝜋 à cinq 𝜋 sur quatre. Et cela nous donne moins trois 𝜋 sur quatre. Nous pouvons donc dire que la dernière racine est deux 𝑒 puissance moins trois 𝜋 sur quatre 𝑖.

Mais la question nous demande de déterminer l’ensemble solution à l’équation. Nous allons donc présenter notre réponse un peu différemment. L’ensemble solution à l’équation 𝑧 au cube égale quatre fois racine carrée de deux moins racine carrée de deux 𝑖 est l’ensemble contenant les éléments deux 𝑒 puissance moins 𝜋 sur 12𝑖, deux 𝑒 puissance sept 𝜋 sur 12𝑖 et deux 𝑒 puissance moins trois 𝜋 sur quatre 𝑖.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.